柯西不等式的应用

覃发岗　宁纪献

摘要：对柯西不等式基本形式作了介绍，给出了柯西不等式的应用。

关键词：不等式；应用；柯西不等式

1.引言

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，本文将给出其在数学的其他方面的应用。

柯西不等式[1-3] 已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，则∑ni = 1ai bi 2≤∑ni = 1a2i ∑ni = 1b2i ，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n时等号成立。

2.主要结果

2.1在证明等式中的应用

例1若α，β∈0，π4且（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα=2sec β，求证：α+β=π4。

证明由柯西不等式得，

[（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα]2≤（1-tanβ）2+（1+tanβ）2」（sin2α+cos2α）=2（1+tan2β）=2sec2β，

则

（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα≤2secβ

当（1-tanβ）cosα=（1+tanβ）sinα即tanα=1-tanβ1+tanβ=tanπ4-β时等号成立。

又α，β∈0，π4，所以α=π4-β，即α+β=π4。

2.2在证明不等式中的应用

例2设x，y，z是正数，证明：1+yz+zx（1+x+y）2+1+zx+xy（1+y+z）2+1+xy+yz（1+z+x）2≥1

证明由柯西不等式得

[z（x+y）+1]x+yz+1≥（x+y+1）2，

即

（zx+zy+1）x+y+zz≥（x+y+1）2，

所以

1+yz+zx（1+x+y）2≥zx+y+z（1）

同理可得

1+zx+xy（1+y+z）2≥xx+y+z，（2）

1+xy+yz（1+z+x）2≥yx+y+z（3）

将上面三个不等式⑴，⑵，⑶相加，得

1+yz+zx（1+x+y）2+1+zx+xy（1+y+z）2+1+xy+yz（1+z+x）2≥1，

故原不等式得证.

2.3在解方程或方程组问题中的应用

例3解方程4x+3+21-2x=15

解原方程可变形为2·2x+32+21-2x=15

由柯西不等式可得

（15）2=15=2·2x+3221-2x2

≤[（2）2+22]2x+322+（1-2x）2=15，

其中等号成立的充要条件为2x+322=1-2x2。

解得

x=-13，

故原方程的解为x=-13。

例4在实数集内解方程x2+y2+z2=2

3x+4y-5z=10。

解由柯西不等式得

（x2+y2+z2）32+42+（-5）2」=（3x+4y-5z）2，

又

（x2+y2+z2）[32+42+（-5）2]=2×（9+16+25）=100=102，

（3x+4y-5z）2=102，

故

（x2+y2+z2）（32+42+（-5）2）=（3x+4y-5z）2。

即柯西不等式中只有取等号时上式才成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

x3=y4=z-5，

它与3x+4y-5z=10联立得：

x=35，y=45，z=-1。

2.4在求参数范围中的应用

例5已知对于满足等式x2+6y2=6的任意实数，对（x，y）恒有ax+y≤5，求实数a的范围。

解由柯西不等式得，

（ax+y）2=ax+166y2

≤a2+16（x2+6y2）

=6a2+1，

故