迭代学习PMLSM跟踪控制

赵玉杰

（厦门兴才学院工学院，福建厦门 361024）

0 引 言

在永磁材料性能不断提高以及电力电子技术不断发展的推动下，拥有较高的能量密度、高可靠性和高效率等优势［1－2］的永磁直线同步电机（PMLSM）被广泛地应用到伺服系统中。但由于永磁直线同步电机去除了旋转电机由旋转运动到直线运动的机械传动链的中间环节，外部扰动和负载的变化将直接作用于伺服系统。而直线电动机本身所存在的系统参数的变化、摩擦阻力的非线性变化、状态的观测噪声、永磁体磁链谐波等产生推力纹波、端部效应以及齿槽效应等都会降低系统的伺服性能和机床的加工精度［3］。重复运动方式在机器人、数控机床等伺服系统应用的很多场合都比较常见。在该系统的设计过程中，一个重要的设计目标就是要不断减小位置跟踪误差，以及提高系统的响应速度和位置跟踪精度。

由于一些非线性因素和永磁同步直线电机的不精确数学模型，PID控制很难满足永磁同步直线电机控制的运动控制系统要求。而前馈－反馈控制器在重复的轨迹跟踪系统的控制中得到了广泛的应用。一种基于PID反馈的神经网络控制方法在文献［4］中被应用到永磁同步直线电机的控制系统中，该方法在提高了直线伺服系统跟踪精度的同时，还有效地降低了负载扰动以及参数变化对系统的影响。迭代学习控制由于其学习过程简单和控制精确性高［5］，被广泛地应用到各个控制领域。

文中提出了一种新型的前馈－反馈控制方法。迭代学习控制器的设计克服了轨迹跟踪系统中存在的外部扰动和非线性的影响，提高了系统的跟踪特性和控制精度。而IP反馈控制器的设计旨在提高系统的抵抗扰动特性。

1 永磁直线同步电机（PMLSM）简单的数学模型

PMLSM的电压方程和磁链方程为［6］：

式中：ud，uq——分别为PMLSM的d，q轴的电压分量；

Ld，Lq——分别为d，q轴等效的电感，对于永磁体表面安装的电机而言，Ld＝Lq；

id，iq——分别为d，q轴的等效永磁体电流；

p——微分算子；

λd，λq——分别为d，q轴磁链；

Rs——定子电阻；

λPM——定子永磁体产生的励磁磁链。

电磁推力表达式为：

由式（5）可以看出，推力仅由iq决定，从而得到运动方程为：

式中：v——动子的运动速度；

s——动子位移；

KF——推力系数；

D——粘滞摩擦系数；

Fe——电磁推力；

FL——负载阻力；

M——动子质量；

Fd——推力总量；

Fef——端部效应。

永磁同步直线电机端部效应的简化波形为

式中：Fefm——端部效应力波动的幅值；

τ——极距；

θ0——初始相位电角度。

将式（8）和式（9）写成状态方程的形式：

其中，

PMLSM的结构如图1所示。

图1 PMLSM的结构图

2 前馈－反馈控制器的设计

将IP反馈和迭代学习前馈相结合，旨在提高具有重复性运动特性系统的抗扰动能力和跟踪精度。控制系统结构如图2所示。

图2 控制系统结构

如图2可知，控制输入

k——迭代学习的次数。

2.1 IP反馈控制器的设计

对参数变化和外部扰动具有强鲁棒性以及快速而又准确的跟踪能力是高性能的伺服系统设计的重要指标。前馈控制器保证了直线伺服系统的跟踪特性，系统对扰动和参数变化的鲁棒性由反馈控制器来完成。通过设计较高积分增益的IP控制器来提升系统的响应速度和抑制负载扰动的影响。具体设计方法见文献［7］，IP反馈控制器结构如图3所示。

图3 IP反馈控制器结构

2.2 迭代学习控制器的设计

迭代学习控制通过不断的迭代学习过程，获得系统的经验知识，能够在有限的时间间隔内改进具有重复操作特性系统的跟踪性能，补偿对象模型的不确定性和扰动。PD-型迭代学习控制是文中所采用的学习算法，其迭代学习率为：

式中：Γ，Q——关于误差学习算子；

k——迭代次数；

yd（t）——期望输出值。

首先，建立系统（11）的状态空间表达式：

式中：xk（t）∈Rn，uk（t）∈Rm，yk（t）∈Rr——分别为系统的状态、控制和输出向量；

wk（xk（t），t）——系统状态扰动；

E（·）∈Rr×n——常数阵；

t∈［0，T］——每次迭代的运行时间。

函数：

为了证明收敛性，先作以下定义：

设非线性系统的动态方程见式（12），且t∈［0，T］中满足如下条件：

1）函数f（·，·），wk（·，·）和B（·，·）在区间［0，T］上满足Lipschitz条件。

2）第K次迭代的系统初始状态误差满足：‖xd（0）－xk（0）‖≤bx0，∀κ。

3）存在唯一理想控制ud（t），使得系统的状态和输出为期望值。

定理1 对于式（12）的非线性系统，满足条件1）～3），如果存在正数ρ，使得

成立，其中

那么在系统（12）采用综合了迭代学习前馈控制和IP反馈控制的控制器进行控制时，如果初始状态误差δx（0）、状态扰动wk（xk（t），t）均有界的情况下，当k→∞时，跟踪误差‖yd（t）－yk（t）‖渐进收敛且趋于0，即跟踪误差渐进趋近于零。

证明：

则

利用系统（12）和ILC控制律得

整理上式得：

对上式取范数得

下面求‖δxk‖：

其中

对式（16）两端取λ范数并合并

令

将方程（18）代入方程（15）可得

那么如果满足定理条件

则

同理可得：

从式（20）和式（21）中可以看出，在初始状态误差δx（0）、状态扰动wk（xk（t），t）有界的情况下，当k→∞时，通过ILC，跟踪误差‖yd（t）－yk（t）‖的渐近收敛到0。

3 Matlab仿真

系统参数为Mn＝11.0kg，Dn＝8.0N·s／m，Kf＝28.5N／A。控制参数为KS＝6.07，KI＝809.56，Kp＝34.602，Γ＝10.4，Q＝6.8。通过Matlab仿真软件对所设计控制器进行了系统的仿真研究。在迭代方向上的均方误差曲线（直线表示为IP反馈的均方误差，虚线为有迭代学习前馈的均方误差曲线）如图4所示。

从图中可知，带有迭代学习前馈的IP反馈控制器在轨迹跟踪和消除参数变化和外部扰动上比单独的IP反馈控制器具有更好的效果，使跟踪误差逐渐减小，渐进趋于零，从而证明了该方法的有效性。

图4 均方误差曲线

4 结 语

针对永磁直线同步电机在具有重复运动的轨迹跟踪控制系统中的应用，设计了前馈－反馈结构控制器。该控制结构包括了IP反馈和迭代学习前馈两部分。IP反馈部分来保证系统对扰动和参数变化的鲁棒性，迭代学习前馈用来进一步加强系统的跟踪特性，减小系统的跟踪误差。仿真结果验证了该方法对提高系统的跟踪精度以及消除系统的扰动和参数变化具有很好的效果。

［1］ P Pillay，R Krishnan.Application characteristics of permanent magnet synchronous and brushless DC motors for servo drives［J］.IEEE Trans.Industry Applications，1991，27：986-996.

［2］ Bimal K Bose.Power electronics and motion control technology status and recent trends［J］.IEEE Trans.Industry Applications，1993，29：902-909.

［3］ P Pillay，R Krishnan.Modeling simulation and analysis of PM drives Part I：The permanent magnet synchronous motor drives［J］.IEEE Trans.Industry Application，1989，25（2）：265-272.

［4］ Otten Gerco，de Vries Theo JA，van Amerongen Job，et al.Linear motor motion control using a learning feedforward controller［J］.IEEE／ASME Transactions on Mechatronics，1997，2（3）：161-170.

［5］ S Arimoto，S Kawamura，F Miyazaki.Bettering operation of robotics by learning control［J］.Robotic System，1984（1）：123-140.

［6］ 郭庆鼎，王成元.交流伺服系统［M］.北京：机械工业出版社，1994.

［7］ 郭庆鼎，周悦，郭威.高精度永磁直线同步电动机伺服系统鲁棒位置控制器的设计［J］.Electric Machines and Control，1998，2（4）：208-213.