对形成数学能力因素的探讨

韦玉

什么是数学能力？是指人们在数学活动中，使数学问题解决能够顺利完成的一种特殊的心理机能，这种特殊的心理机能直接影响着数学活动的效率.因此，只有对这种特殊的心理机能施以积极的影响或刺激，才能在教学中有效地促进学生数学能力的发展.在数学活动中，学生解决任何一个数学问题，首先，应具备相应的数学知识和数学思想方法，它是形成数学能力最基本的因素；其二，运用数学知识及思想方法对问题进行合理的判断、推理与论证；其三，要有锐意进取的创新意识，在数学活动中，有独到、灵活与强烈的开拓倾向性.显然，若学生具备这三种因素的心理机能，就能在运算、空间想象、分析问题与解决问题中形成数学能力。

教学中有的放矢地对学生施以这三个方面的训练、培养，才能使每个学生的数学能力发展到应有的水平。

一、数学知识的获取与数学思想方法的渗透

在数学活动中，学生最关心的就是解决问题的方法，即常说的数学方法。它是指在数学思想的指导下为解决数学问题所提供的具体思维方向与操作程序，中学的数学方法可分为三类：

（1）从认识方法上讲，有“观察与实验、比较与分类、归纳与类比、想象、直觉、顿悟”等，这些数学方法隐含于教材之中，必须引导学生挖掘，在解决问题中反复实践，才能从感性认识上升到理性认识，最终达到灵活运。

（2）从逻辑上讲，有“完全归纳法与不完全归纳法、综合法、分析法、演绎法、反证法、同一法等。

（3）在教材中还有一类由几个具体的操作步骤来完成的数学方法。如初中教材上的消去法、配方法、换元法、待定系数法、等积法、基本图形法等。

数学思想是数学活动的基本观点。在教学中，应使学生认识到它们的内在规律及本质，认识到数学思想是对数学知识内在规律及本质与数学方法的高度概括，对解决数学问题具有指导性意义，中学教材上的数学思想有：“符号与变元思想、集合与对应思想、公理化与结构思想、系统与统计思想、化归与辩证思想”等，教学中，如何向学生渗透数学思想呢？

（1）在知识学习中提炼数学思想。

数学思想内隐于教材之中，在知识的发展点与新知识的发生点，存在着丰富的数学思想。在教学中，应该启发学生注意提炼数学思想，如对多边形内角和的探索，可以引导学生把多边形转化为三角形来处理，从中提炼化归思想。

（2）在数学方法的学习中归纳数学思想。

在学生掌握知识的同时，应进一步引导学生归纳解决数学问题的数学方法，不仅要求学生灵活运用这些数学方法去解决数学问题，还要把这些数学方法与已有的数学方法联系起来，归纳概括其共性，并揭示其内在规律及本质，使学生深刻认识到这样的共性在解决数学问题时的作用。如代数中方程与方程组中的换元法，几何中的角、线段、中间比，实际上都体现了变元思想。

（3）小结时强化数学思想。

小结时不仅让学生整理知识结构与数学方法，还要强化数学思想的统摄地位与解决数学问题的作用，尤其是在章末小结，要精心编选习题，使这些习题不仅体现全章的重要知识与数学方法。还要体现这一章的主要数学思想，使学生认识到这一章的数学思想在解决数学问题中起到哪些作用。如三角函数一章小结时，在学生整理完知识结构与数学方法后，要强化符号思想、对应思想与结构思想，并用相应的习题去体现它们，特别是结构思想，要让学生掌握在较复杂的题型或图形中，如何建立直角三角形这种结构去解决问题。

二、数学思想品质的培养

由于解决数学问题是由条件向结论的转化过程，带有一定的方向性。因此，在教学中，集中思维与发散思维的训练是培养学生思维品质的主要内容。

集中思维从形式上看，是“具有定向性、层次性与收敛性”，从内容上讲，是“具有求同性与专注性”。

从教材的逻辑结构分析，方向性、层次性与收敛性比较外显，但引导学生探索每一个知识点的过程，其求同性与专注性又内隐于其中，因此，教学中应引导学生学完一单元或一章内容后，认真系统地阅读教材，结合集中思维的形式与内容，写读后感或制出教材的思维图表，使学生感悟集中思维的内涵。

从解决数学问题的过程分析，创设集中思维的情境，引导学生综合分析条件中的已有信息，朝着结论的方向，把问题分成几个依次递进的小问题，每解决一个小问题，让学生明白，其结论直接影响下一个小问题的思维方向，其思维搜索范围将随之缩小，并逐步向结论推进，最终使问题得到解决。显然，学生在解决问题的过程中，集中思维的品质得到了培养。

对概念、性质、定理的教学，也可给学生提供一个发散思维的情境，让学生去探索解决问题的途径，这种思维从方向上看，“具有逆向性、横向性与多向性”；从内容上讲，“具有变通性与开放性”，常说的逆向思维、求异思维，不过是在解决数学问题的过程中，分析问题的切人点不同，目的都是设法从条件向结论转化。因此，教学中应根据不同的教学内容，创设不同的发散情境，使学生运用已有的数学知识及思想方法，从不同的角度，勇于提出自己的想法，使学生发散性思想品质得到充分的锤炼。

在教学中，发散性思维的培养主要有以下途径：

（1）条件发散，结论不变。启发学生运用已知数学知识及思想方法，尽可能地从不同的角度去探索问题，把结论成立的各种可能的数量关系或图形的位置关系都寻找出来。

（2）结论发散，条件完备。启发学生在探索过程中，利用想象、猜想、尝试与直觉等，把符合条件的结论都探索出来。

（3）解决数学问题的过程发散，即条件完备，结论一定。引导学生从条件与结论中，以不同的信息作为切入点，运用已知的数学知识及思想方法，把解决问题的各种途径都探索出来。

三、创新意识的培养

所谓创新意识，指在解决数学问题的过程中表现出的独到性、变通性、灵活性与开拓性，进而形成的个人能动的倾向性，这种个人能动的倾向性，不仅仅与学生的先天条件有关，还与教师精心培育与正确启发、引导、鼓励有关，因此，教学中应利用学生的好奇心，启发学生独立地发现问题，引导学生运用已有的数学知识及思想方法，灵活地探索未知，鼓励学生开拓，使学生逐渐形成个人能动的倾向性。

从教材上可以看出数学知识的发生与发展过程是一个动态过程，因此在教学中应给学生创设一个动态的思维情境，创设由简单到复杂、由特殊到一般或由一般到特殊的各种情形，在这个动态过程中，启发学生去“发现”现实生活中哪些实际问题与学习的数学内容有关，使学生在动态探索中，其独到、变通与灵活的个人能动倾向性得到培养。

教学中不仅启发学生用发散性思维去探索问题，还要引导学生把条件与结论中的一些特殊的条件（或结论）一般化，一般的条件（或结论）特殊化，引导学生从数量关系与图形位置关系的动态变化中，锤炼独到、变通与灵活的个人能动倾向性。

怎样培养学生开拓数学思路的习惯？

（1）对已有数学模型性质进行开拓。

一些数学模型性质是因一些特殊的数学元素而形成，教学中，可以引导学生利用这些特殊的数学元素，去发现“新的性质”。如在平面几何复习时，已知三角形三边，可求出三角形的高与三边的关系，那么已知三边，某一边的中线，某一角的平分线是否可求？

（2）对学过的数学知识的应用开拓。

当学生学完某一知识点之后，可引导学生利用刚学习的概念、性质等自拟习题并作答，有时可引导学生把自拟习题的范围适当拓宽。如代数问题拓展到几何问题，几何问题拓展到代数问题等，使学生展开思维的翅膀，自由地将所学到的知识进行开拓应用，对违背科学常识的现象要纠正。

（3）对教材上的例习题进行开拓。

教材上的例习题具有典型性与深刻性，引导学生充分利用例习题揭示其深刻性，领悟其典型性。使学生的学习达到举一反三的效果。