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“圆”形毕露

2014-03-20刘清泉杨一丽

中学数学杂志(初中版) 2014年2期
关键词:外接圆考试题情形

刘清泉 杨一丽

圆是几何图形中最规范、最简约的一种,许多数学问题与圆密切相关,特别是一些“直线型”图形的相关问题,求解时若能根据题意构造“辅助圆”,则达到避繁就简的效果,其求解过程流畅清晰。虽然由于新课标减少了与圆相关的知识和技能的安排,降低了与圆相关的思想与方法的要求,在中考试题中,平面几何部分似乎重“直”轻“曲”,但是笔者认真研究近几年的中考试题后,发现许多直线型的问题若以能“曲”辅“直”,可别开生面.

引例如图1,在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点(不与B、M重合),将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示),并加以证明。

(北京市,2012年)

简解连结PC,不难得到PC=PA=PQ,故以P为圆心、PA为半径作辅助圆⊙P,从而∠ACQ=112∠APQ=α,进而,在Rt△CDM中,∠CDB=90°-∠ACD=90°-α.

小结显见,辅助圆的巧妙构造为直线型问题的解决开辟了一个新的“曲线”通道。事实上,借助“辅助圆”求解不仅方法巧妙,而且构造缘起自然。笔者发现在近几年中考试题的客观题、主观题中,许多题目都可以利用“辅助圆”解答,特别地,这些题目往往都具有压轴的味道。笔者以其中的典型案例简要分析,其中案例的具体求解过程及利用直线型相关方法的求解过程,此处不再赘述.

图1图2例1定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则把这条对角线叫这个四边形的和谐线。若四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数。(宁波市,2013年)

简析如图2,可知点B、A、D相对固定,满足条件的点C可如下寻找:(1)以B为圆心、AB为半径作⊙B;(2)分别以A、D为圆心,AD为半径的作⊙A、⊙D以及AD中垂线;得五个公共点C1~C5,考虑五种情形进而求解(此处不再赘述).

小结“等腰三角形”作为特殊三角形,中考试题中很多见,相关的许多中考题中,常常涉及与例1类似的题目,解答时首先需要画出可能情形的示意图,进而分类讨论解答,其中用到的“交轨法”涉及到“辅助圆”(利用圆的定义),这一环节十分关键,倘若“离散”寻找满足题目条件的所有情形,除费时、费力外,也容易情形疏漏。再比如2012年扬州市中考题27、2010年济南市中考题12等也都需要运用“交轨法”。

例2如图3,在△ACE中,AC=CE,M、B、D分别是AE、AC、CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形,求证:△FMH是等腰直角三角形。(河北省,2009年)

图3简解连结CM、CF、CH、AF、EH,由AC=CE及M为AE中点,得CM⊥AE,不难得到,∠AFC=∠AMC=90°,从而,A、M、C、F四点共圆,在⊙B中,∠FMA=112∠FBA=45°,同理,E、M、C、H四点共圆,在⊙D中,∠HME=112∠HDE=45°,进而∠FMH=90°,由AC=CE,得∠CAM=∠CEM.又∠FAB=∠HED=45°,则∠FAM=∠HEM,又⊙B与⊙D为等圆,得FM=HM,故△FMH为等腰直角三角形.

小结本题利用辅助圆求解,主要运用圆周角定理,其思路直接、条理清晰,从“圆”的角度解决了直线型问题,极大丰富了解决问题的策略,事实上,添加辅助圆的依据可归结为:同线异侧张角互补获得四点共圆(即对角互补的四边形为圆内接四边形),本例同线异侧张直角为其中的特殊情形,2013年宜兴市中考一模题28第(1)小题、也是这种情况,而2011年莆田中考题25第(2)①题亦可以利用“同线异侧张角互补”获得四点共圆,进而求解。当然,本例以“圆的定义”为切入点亦可添加辅助圆⊙B、⊙D.

例3如图4,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的点。∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF。(临沂市,2009年)

简解连结AF、AC,易得∠ACF=90°=∠AEF,故A、E、C、F四点共圆,从而∠AFE=∠ACE=45°,进而易得AE=EF.

小结证明线段相等,除考虑全等三角形外,等腰三角形也是常用的方法,故“连结AF”比较自然,进而连结AC利用辅助圆证明,其解法简约大方,辅助线的类别是“连结线”,比构造“全等三角形”添加的辅助线更直接。本例中,由同线同侧张角相等获得四点共圆,进而求解。另外,北京市2011年中考题24的(2)、(3)小题也是同类情形的案例.

上述案例求解时大体上“挖掘隐含的辅助圆解题”:问题的题设或图形本身隐含“点共圆”,此时,补出辅助圆,合理挖掘图形隐含的性质,从而使题设和结论的逻辑关系明朗化。

图4图5例4如图5,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0,8),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD、DE,以CD,DE为边作CDEF。点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形,求出所有满足条件的m的值。(温州市,2013年)

简析显然,“CDEF为矩形”等价于“在CDEF中,∠CDE=90°”,“x轴上的点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形”等价于“在运动过程中,x轴上存在唯一的点,使∠CDE=90°”,进而等价于“以CE为直径的圆与x轴相切(包括圆位于x轴上方、下方两种)或过原点O(包括O、C重合与E、A重合两种)”。考虑四种情形进而求解(此处不再赘述).

小结显然,本例中的“CDEF为矩形”等价于“△CDE为直角三角形(D为直角顶点)”,“直角三角形”作为特殊三角形,中考试题中也很多见,例如2013年福州市中考题21、2012年海南省中考题24、2012年广州市中考题24、2012年云南省中考题23、2008年天津市中考题10等,涉及“线段张直角”的情形。“张直角”的线段有“固定”的、亦有“运动”的(如本例),求解时,图6常常转化为直线与圆的位置关系,进而寻求解决的策略.endprint

例5如图6,点M(x,y)为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点,当∠AMB≤45°时,请直接写出点M横坐标的取值范围。(宁波市副卷,2012年)

简解不难确定,点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方,且∠AMB=45°时,作△AMB的外接圆⊙P,连结PA、PB,作PQ⊥x轴,由题意不难得到,P(312,512)、且⊙P半径r=5122,

则(x-312)2+(y-512)2=5122,(1)

y=112x2-312x-2。(2)

由(2),得(x-312)2=2y+2514,代入(1),

进而求得y1=0(舍),y2=3,此时x1=-2,x2=5,故x≤-2或x≥5时,∠AMB≤45°.

小结本例中,由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P,通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题,利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求,不过本例实是“数形结合”的集大成者,有以形助数,亦有以数辅形。数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=8。点D是AC的中点,点P在BC边上运动,连结DP,以DP所在直线为对称轴,△DPC经轴对称变换后得到△DPC′,射线PC′交边AB于点E,当E是AB中点时,求CP的长。(宁波市副卷,2013年)

简析在运动的过程中,对于PC′,保持不变的条件为:(1)DC′=DC=DA;故点C′在以D为圆心,DC为半径的圆弧上;(2)∠PC′D=90°,故PC′切⊙D于C′;(3)射线PC′过AB中点E,故过点E作⊙D的两条切线,切点为C′(C″)、与BC交点为P(P′).

小结本例若是“离散”探寻,也会获得满足题意的两种情形,不过从“辅助圆”的角度审视问题,更加和谐地统一了两种情形。这样,两种情形不再是“离散”的,同时,由于两种情形的内在统一,使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8,A在半径为3的⊙O内,且OA=3,P为⊙O上一点,当∠OPA最大时,求PA的长。(北京市西城区中考一模,2011年)

简解过O作⊙O′与⊙O内切,设切点为P′(显然P′唯一),故O、O′、P′共线,从而,OP′为⊙O′直径,进而,在Rt△OAP′中,求得P′A=6,即为所求,事实上,对于在⊙O上除P′外的所有点P,均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”,求解的方法令人叹为观止,立意很高。作为解决问题的思路之一,可谓高屋建瓴,可以引领学生开阔思路。不过,对于学生,与利用“锐角三角函数”等方法求解相比,这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例,主要是让我们意识到:利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略,但一般不是唯一的策略,可以说,在中考试题中,利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”:问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时,可构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例,利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题,可谓:道是无“圆”也有“圆”。可以看出,这些案例在中考试题中很重要,运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上,利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题,不过,显然在中考命题中出现不大妥当,应该说,新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性,同时,我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”,借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法,其中不乏经典的“直线型”解法,笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想,另外,文中案例对应的原题,大都有多个小问题,问题之间,层层递进、层层深入,引导学生探究对应的解决策略,凝聚了命题老师的集体智慧,笔者为缩短篇幅简约表达,在不影响题意的前提下对原题作以修改,而且没有完整解答,要揣摩案例更深层次的内涵,请读者参阅对应的中考试题,这里不再赘述.

作者简介刘清泉,男,中学高级教师,浙江省教坛新秀,宁波市骨干教师,镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖,优质课评比区第一名、市二等奖,综合素质竞赛区一等奖,命题竞赛区一等奖,荣获全国联赛优秀指导教师四次,十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint

例5如图6,点M(x,y)为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点,当∠AMB≤45°时,请直接写出点M横坐标的取值范围。(宁波市副卷,2012年)

简解不难确定,点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方,且∠AMB=45°时,作△AMB的外接圆⊙P,连结PA、PB,作PQ⊥x轴,由题意不难得到,P(312,512)、且⊙P半径r=5122,

则(x-312)2+(y-512)2=5122,(1)

y=112x2-312x-2。(2)

由(2),得(x-312)2=2y+2514,代入(1),

进而求得y1=0(舍),y2=3,此时x1=-2,x2=5,故x≤-2或x≥5时,∠AMB≤45°.

小结本例中,由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P,通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题,利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求,不过本例实是“数形结合”的集大成者,有以形助数,亦有以数辅形。数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=8。点D是AC的中点,点P在BC边上运动,连结DP,以DP所在直线为对称轴,△DPC经轴对称变换后得到△DPC′,射线PC′交边AB于点E,当E是AB中点时,求CP的长。(宁波市副卷,2013年)

简析在运动的过程中,对于PC′,保持不变的条件为:(1)DC′=DC=DA;故点C′在以D为圆心,DC为半径的圆弧上;(2)∠PC′D=90°,故PC′切⊙D于C′;(3)射线PC′过AB中点E,故过点E作⊙D的两条切线,切点为C′(C″)、与BC交点为P(P′).

小结本例若是“离散”探寻,也会获得满足题意的两种情形,不过从“辅助圆”的角度审视问题,更加和谐地统一了两种情形。这样,两种情形不再是“离散”的,同时,由于两种情形的内在统一,使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8,A在半径为3的⊙O内,且OA=3,P为⊙O上一点,当∠OPA最大时,求PA的长。(北京市西城区中考一模,2011年)

简解过O作⊙O′与⊙O内切,设切点为P′(显然P′唯一),故O、O′、P′共线,从而,OP′为⊙O′直径,进而,在Rt△OAP′中,求得P′A=6,即为所求,事实上,对于在⊙O上除P′外的所有点P,均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”,求解的方法令人叹为观止,立意很高。作为解决问题的思路之一,可谓高屋建瓴,可以引领学生开阔思路。不过,对于学生,与利用“锐角三角函数”等方法求解相比,这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例,主要是让我们意识到:利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略,但一般不是唯一的策略,可以说,在中考试题中,利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”:问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时,可构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例,利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题,可谓:道是无“圆”也有“圆”。可以看出,这些案例在中考试题中很重要,运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上,利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题,不过,显然在中考命题中出现不大妥当,应该说,新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性,同时,我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”,借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法,其中不乏经典的“直线型”解法,笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想,另外,文中案例对应的原题,大都有多个小问题,问题之间,层层递进、层层深入,引导学生探究对应的解决策略,凝聚了命题老师的集体智慧,笔者为缩短篇幅简约表达,在不影响题意的前提下对原题作以修改,而且没有完整解答,要揣摩案例更深层次的内涵,请读者参阅对应的中考试题,这里不再赘述.

作者简介刘清泉,男,中学高级教师,浙江省教坛新秀,宁波市骨干教师,镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖,优质课评比区第一名、市二等奖,综合素质竞赛区一等奖,命题竞赛区一等奖,荣获全国联赛优秀指导教师四次,十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint

例5如图6,点M(x,y)为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点,当∠AMB≤45°时,请直接写出点M横坐标的取值范围。(宁波市副卷,2012年)

简解不难确定,点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方,且∠AMB=45°时,作△AMB的外接圆⊙P,连结PA、PB,作PQ⊥x轴,由题意不难得到,P(312,512)、且⊙P半径r=5122,

则(x-312)2+(y-512)2=5122,(1)

y=112x2-312x-2。(2)

由(2),得(x-312)2=2y+2514,代入(1),

进而求得y1=0(舍),y2=3,此时x1=-2,x2=5,故x≤-2或x≥5时,∠AMB≤45°.

小结本例中,由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P,通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题,利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求,不过本例实是“数形结合”的集大成者,有以形助数,亦有以数辅形。数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=8。点D是AC的中点,点P在BC边上运动,连结DP,以DP所在直线为对称轴,△DPC经轴对称变换后得到△DPC′,射线PC′交边AB于点E,当E是AB中点时,求CP的长。(宁波市副卷,2013年)

简析在运动的过程中,对于PC′,保持不变的条件为:(1)DC′=DC=DA;故点C′在以D为圆心,DC为半径的圆弧上;(2)∠PC′D=90°,故PC′切⊙D于C′;(3)射线PC′过AB中点E,故过点E作⊙D的两条切线,切点为C′(C″)、与BC交点为P(P′).

小结本例若是“离散”探寻,也会获得满足题意的两种情形,不过从“辅助圆”的角度审视问题,更加和谐地统一了两种情形。这样,两种情形不再是“离散”的,同时,由于两种情形的内在统一,使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8,A在半径为3的⊙O内,且OA=3,P为⊙O上一点,当∠OPA最大时,求PA的长。(北京市西城区中考一模,2011年)

简解过O作⊙O′与⊙O内切,设切点为P′(显然P′唯一),故O、O′、P′共线,从而,OP′为⊙O′直径,进而,在Rt△OAP′中,求得P′A=6,即为所求,事实上,对于在⊙O上除P′外的所有点P,均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”,求解的方法令人叹为观止,立意很高。作为解决问题的思路之一,可谓高屋建瓴,可以引领学生开阔思路。不过,对于学生,与利用“锐角三角函数”等方法求解相比,这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例,主要是让我们意识到:利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略,但一般不是唯一的策略,可以说,在中考试题中,利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”:问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时,可构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例,利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题,可谓:道是无“圆”也有“圆”。可以看出,这些案例在中考试题中很重要,运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上,利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题,不过,显然在中考命题中出现不大妥当,应该说,新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性,同时,我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”,借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法,其中不乏经典的“直线型”解法,笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想,另外,文中案例对应的原题,大都有多个小问题,问题之间,层层递进、层层深入,引导学生探究对应的解决策略,凝聚了命题老师的集体智慧,笔者为缩短篇幅简约表达,在不影响题意的前提下对原题作以修改,而且没有完整解答,要揣摩案例更深层次的内涵,请读者参阅对应的中考试题,这里不再赘述.

作者简介刘清泉,男,中学高级教师,浙江省教坛新秀,宁波市骨干教师,镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖,优质课评比区第一名、市二等奖,综合素质竞赛区一等奖,命题竞赛区一等奖,荣获全国联赛优秀指导教师四次,十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint

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