“圆”形毕露

刘清泉　杨一丽

圆是几何图形中最规范、最简约的一种，许多数学问题与圆密切相关，特别是一些“直线型”图形的相关问题，求解时若能根据题意构造“辅助圆”，则达到避繁就简的效果，其求解过程流畅清晰。虽然由于新课标减少了与圆相关的知识和技能的安排，降低了与圆相关的思想与方法的要求，在中考试题中，平面几何部分似乎重“直”轻“曲”，但是笔者认真研究近几年的中考试题后，发现许多直线型的问题若以能“曲”辅“直”，可别开生面.

引例如图1，在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点（不与B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明。

（北京市，2012年）

简解连结PC，不难得到PC=PA=PQ，故以P为圆心、PA为半径作辅助圆⊙P，从而∠ACQ=112∠APQ=α，进而，在Rt△CDM中，∠CDB=90°-∠ACD=90°-α.

小结显见，辅助圆的巧妙构造为直线型问题的解决开辟了一个新的“曲线”通道。事实上，借助“辅助圆”求解不仅方法巧妙，而且构造缘起自然。笔者发现在近几年中考试题的客观题、主观题中，许多题目都可以利用“辅助圆”解答，特别地，这些题目往往都具有压轴的味道。笔者以其中的典型案例简要分析，其中案例的具体求解过程及利用直线型相关方法的求解过程，此处不再赘述.

图1图2例1定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则把这条对角线叫这个四边形的和谐线。若四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数。（宁波市，2013年）

简析如图2，可知点B、A、D相对固定，满足条件的点C可如下寻找：（1）以B为圆心、AB为半径作⊙B；（2）分别以A、D为圆心，AD为半径的作⊙A、⊙D以及AD中垂线；得五个公共点C1～C5，考虑五种情形进而求解（此处不再赘述）.

小结“等腰三角形”作为特殊三角形，中考试题中很多见，相关的许多中考题中，常常涉及与例1类似的题目，解答时首先需要画出可能情形的示意图，进而分类讨论解答，其中用到的“交轨法”涉及到“辅助圆”（利用圆的定义），这一环节十分关键，倘若“离散”寻找满足题目条件的所有情形，除费时、费力外，也容易情形疏漏。再比如2012年扬州市中考题27、2010年济南市中考题12等也都需要运用“交轨法”。

例2如图3，在△ACE中，AC=CE，M、B、D分别是AE、AC、CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形，求证：△FMH是等腰直角三角形。（河北省，2009年）

图3简解连结CM、CF、CH、AF、EH，由AC=CE及M为AE中点，得CM⊥AE，不难得到，∠AFC=∠AMC=90°，从而，A、M、C、F四点共圆，在⊙B中，∠FMA=112∠FBA=45°，同理，E、M、C、H四点共圆，在⊙D中，∠HME=112∠HDE=45°，进而∠FMH=90°，由AC=CE，得∠CAM=∠CEM.又∠FAB=∠HED=45°，则∠FAM=∠HEM，又⊙B与⊙D为等圆，得FM=HM，故△FMH为等腰直角三角形.

小结本题利用辅助圆求解，主要运用圆周角定理，其思路直接、条理清晰，从“圆”的角度解决了直线型问题，极大丰富了解决问题的策略，事实上，添加辅助圆的依据可归结为：同线异侧张角互补获得四点共圆（即对角互补的四边形为圆内接四边形），本例同线异侧张直角为其中的特殊情形，2013年宜兴市中考一模题28第（1）小题、也是这种情况，而2011年莆田中考题25第（2）①题亦可以利用“同线异侧张角互补”获得四点共圆，进而求解。当然，本例以“圆的定义”为切入点亦可添加辅助圆⊙B、⊙D.

例3如图4，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点。∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF。（临沂市，2009年）

简解连结AF、AC，易得∠ACF=90°=∠AEF，故A、E、C、F四点共圆，从而∠AFE=∠ACE=45°，进而易得AE=EF.

小结证明线段相等，除考虑全等三角形外，等腰三角形也是常用的方法，故“连结AF”比较自然，进而连结AC利用辅助圆证明，其解法简约大方，辅助线的类别是“连结线”，比构造“全等三角形”添加的辅助线更直接。本例中，由同线同侧张角相等获得四点共圆，进而求解。另外，北京市2011年中考题24的（2）、（3）小题也是同类情形的案例.

上述案例求解时大体上“挖掘隐含的辅助圆解题”：问题的题设或图形本身隐含“点共圆”，此时，补出辅助圆，合理挖掘图形隐含的性质，从而使题设和结论的逻辑关系明朗化。

图4图5例4如图5，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD、DE，以CD，DE为边作CDEF。点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，求出所有满足条件的m的值。（温州市，2013年）

简析显然，“CDEF为矩形”等价于“在CDEF中，∠CDE=90°”，“x轴上的点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形”等价于“在运动过程中，x轴上存在唯一的点，使∠CDE=90°”，进而等价于“以CE为直径的圆与x轴相切（包括圆位于x轴上方、下方两种）或过原点O（包括O、C重合与E、A重合两种）”。考虑四种情形进而求解（此处不再赘述）.

小结显然，本例中的“CDEF为矩形”等价于“△CDE为直角三角形（D为直角顶点）”，“直角三角形”作为特殊三角形，中考试题中也很多见，例如2013年福州市中考题21、2012年海南省中考题24、2012年广州市中考题24、2012年云南省中考题23、2008年天津市中考题10等，涉及“线段张直角”的情形。“张直角”的线段有“固定”的、亦有“运动”的（如本例），求解时，图6常常转化为直线与圆的位置关系，进而寻求解决的策略.endprint

例5如图6，点M（x，y）为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点，当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围。（宁波市副卷，2012年）

简解不难确定，点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方，且∠AMB=45°时，作△AMB的外接圆⊙P，连结PA、PB，作PQ⊥x轴，由题意不难得到，P（312，512）、且⊙P半径r=5122，

则（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

进而求得y1=0（舍），y2=3，此时x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5时，∠AMB≤45°.

小结本例中，由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P，通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题，利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求，不过本例实是“数形结合”的集大成者，有以形助数，亦有以数辅形。数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。点D是AC的中点，点P在BC边上运动，连结DP，以DP所在直线为对称轴，△DPC经轴对称变换后得到△DPC′，射线PC′交边AB于点E，当E是AB中点时，求CP的长。（宁波市副卷，2013年）

简析在运动的过程中，对于PC′，保持不变的条件为：（1）DC′=DC=DA；故点C′在以D为圆心，DC为半径的圆弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射线PC′过AB中点E，故过点E作⊙D的两条切线，切点为C′（C″）、与BC交点为P（P′）.

小结本例若是“离散”探寻，也会获得满足题意的两种情形，不过从“辅助圆”的角度审视问题，更加和谐地统一了两种情形。这样，两种情形不再是“离散”的，同时，由于两种情形的内在统一，使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8，A在半径为3的⊙O内，且OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA最大时，求PA的长。（北京市西城区中考一模，2011年）

简解过O作⊙O′与⊙O内切，设切点为P′（显然P′唯一），故O、O′、P′共线，从而，OP′为⊙O′直径，进而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即为所求，事实上，对于在⊙O上除P′外的所有点P，均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”，求解的方法令人叹为观止，立意很高。作为解决问题的思路之一，可谓高屋建瓴，可以引领学生开阔思路。不过，对于学生，与利用“锐角三角函数”等方法求解相比，这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例，主要是让我们意识到：利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以说，在中考试题中，利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”：问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息，此时，可构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例，利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题，可谓：道是无“圆”也有“圆”。可以看出，这些案例在中考试题中很重要，运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上，利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题，不过，显然在中考命题中出现不大妥当，应该说，新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性，同时，我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”，借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法，其中不乏经典的“直线型”解法，笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想，另外，文中案例对应的原题，大都有多个小问题，问题之间，层层递进、层层深入，引导学生探究对应的解决策略，凝聚了命题老师的集体智慧，笔者为缩短篇幅简约表达，在不影响题意的前提下对原题作以修改，而且没有完整解答，要揣摩案例更深层次的内涵，请读者参阅对应的中考试题，这里不再赘述.

作者简介刘清泉，男，中学高级教师，浙江省教坛新秀，宁波市骨干教师，镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖，优质课评比区第一名、市二等奖，综合素质竞赛区一等奖，命题竞赛区一等奖，荣获全国联赛优秀指导教师四次，十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint

例5如图6，点M（x，y）为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点，当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围。（宁波市副卷，2012年）

简解不难确定，点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方，且∠AMB=45°时，作△AMB的外接圆⊙P，连结PA、PB，作PQ⊥x轴，由题意不难得到，P（312，512）、且⊙P半径r=5122，

则（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

进而求得y1=0（舍），y2=3，此时x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5时，∠AMB≤45°.

小结本例中，由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P，通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题，利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求，不过本例实是“数形结合”的集大成者，有以形助数，亦有以数辅形。数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。点D是AC的中点，点P在BC边上运动，连结DP，以DP所在直线为对称轴，△DPC经轴对称变换后得到△DPC′，射线PC′交边AB于点E，当E是AB中点时，求CP的长。（宁波市副卷，2013年）

简析在运动的过程中，对于PC′，保持不变的条件为：（1）DC′=DC=DA；故点C′在以D为圆心，DC为半径的圆弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射线PC′过AB中点E，故过点E作⊙D的两条切线，切点为C′（C″）、与BC交点为P（P′）.

小结本例若是“离散”探寻，也会获得满足题意的两种情形，不过从“辅助圆”的角度审视问题，更加和谐地统一了两种情形。这样，两种情形不再是“离散”的，同时，由于两种情形的内在统一，使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8，A在半径为3的⊙O内，且OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA最大时，求PA的长。（北京市西城区中考一模，2011年）

简解过O作⊙O′与⊙O内切，设切点为P′（显然P′唯一），故O、O′、P′共线，从而，OP′为⊙O′直径，进而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即为所求，事实上，对于在⊙O上除P′外的所有点P，均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”，求解的方法令人叹为观止，立意很高。作为解决问题的思路之一，可谓高屋建瓴，可以引领学生开阔思路。不过，对于学生，与利用“锐角三角函数”等方法求解相比，这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例，主要是让我们意识到：利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以说，在中考试题中，利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”：问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息，此时，可构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例，利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题，可谓：道是无“圆”也有“圆”。可以看出，这些案例在中考试题中很重要，运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上，利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题，不过，显然在中考命题中出现不大妥当，应该说，新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性，同时，我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”，借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法，其中不乏经典的“直线型”解法，笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想，另外，文中案例对应的原题，大都有多个小问题，问题之间，层层递进、层层深入，引导学生探究对应的解决策略，凝聚了命题老师的集体智慧，笔者为缩短篇幅简约表达，在不影响题意的前提下对原题作以修改，而且没有完整解答，要揣摩案例更深层次的内涵，请读者参阅对应的中考试题，这里不再赘述.

作者简介刘清泉，男，中学高级教师，浙江省教坛新秀，宁波市骨干教师，镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖，优质课评比区第一名、市二等奖，综合素质竞赛区一等奖，命题竞赛区一等奖，荣获全国联赛优秀指导教师四次，十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint

例5如图6，点M（x，y）为抛物线y=112x2-312x-2上的一个动点，当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围。（宁波市副卷，2012年）

简解不难确定，点M不可能位于x轴下方。当M位于x轴上方，且∠AMB=45°时，作△AMB的外接圆⊙P，连结PA、PB，作PQ⊥x轴，由题意不难得到，P（312，512）、且⊙P半径r=5122，

则（x-312）2+（y-512）2=5122，（1）

y=112x2-312x-2。（2）

由（2），得（x-312）2=2y+2514，代入（1），

进而求得y1=0（舍），y2=3，此时x1=-2，x2=5，故x≤-2或x≥5时，∠AMB≤45°.

小结本例中，由定线AB张角∠AMB=45°入手作△AMB的外接圆⊙P，通过构造“辅助外接圆”将问题转化为抛物线与圆交点问题，利用方程组思想求解。尽管方程组求解有较高要求，不过本例实是“数形结合”的集大成者，有以形助数，亦有以数辅形。数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力.

例6如图7，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=8。点D是AC的中点，点P在BC边上运动，连结DP，以DP所在直线为对称轴，△DPC经轴对称变换后得到△DPC′，射线PC′交边AB于点E，当E是AB中点时，求CP的长。（宁波市副卷，2013年）

简析在运动的过程中，对于PC′，保持不变的条件为：（1）DC′=DC=DA；故点C′在以D为圆心，DC为半径的圆弧上；（2）∠PC′D=90°，故PC′切⊙D于C′；（3）射线PC′过AB中点E，故过点E作⊙D的两条切线，切点为C′（C″）、与BC交点为P（P′）.

小结本例若是“离散”探寻，也会获得满足题意的两种情形，不过从“辅助圆”的角度审视问题，更加和谐地统一了两种情形。这样，两种情形不再是“离散”的，同时，由于两种情形的内在统一，使得接下来的求解更加容易.

图7图8例7如图8，A在半径为3的⊙O内，且OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA最大时，求PA的长。（北京市西城区中考一模，2011年）

简解过O作⊙O′与⊙O内切，设切点为P′（显然P′唯一），故O、O′、P′共线，从而，OP′为⊙O′直径，进而，在Rt△OAP′中，求得P′A=6，即为所求，事实上，对于在⊙O上除P′外的所有点P，均有∠OPA<∠OP′A.

小结本例构造“辅助内切圆”其构造缘起“定线张角”，求解的方法令人叹为观止，立意很高。作为解决问题的思路之一，可谓高屋建瓴，可以引领学生开阔思路。不过，对于学生，与利用“锐角三角函数”等方法求解相比，这种方法的要求较高。之所以以本例的“辅助圆”解法为尾例，主要是让我们意识到：利用“辅助圆”解决问题是一种灵动巧妙的策略，但一般不是唯一的策略，可以说，在中考试题中，利用“辅助圆”的策略是利用“直线型”相关求解策略的有益补充.

上述案例求解时大体上“构造相关的辅助圆解题”：问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息，此时，可构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

纵观文中的八个案例，利用“辅助圆”巧妙地解决“直线形”问题，可谓：道是无“圆”也有“圆”。可以看出，这些案例在中考试题中很重要，运用“辅助圆”对其解答也很重要。事实上，利用“弦切角”、“相交弦”、“双割线”等定理的逆定理也可构造“辅助圆”解决相关的问题，不过，显然在中考命题中出现不大妥当，应该说，新课标降低与“圆”相关问题的要求有其必然性，同时，我们也绝对反对让与圆相关的诸多“偏、难、繁”的题目“死灰复燃”，借助辅助圆解决问题的“模型思想”是关键.

文中的案例的解决方法大都有多种方法，其中不乏经典的“直线型”解法，笔者只是从以“曲”辅“直”的角度阐述了构建“辅助圆”的模型思想，另外，文中案例对应的原题，大都有多个小问题，问题之间，层层递进、层层深入，引导学生探究对应的解决策略，凝聚了命题老师的集体智慧，笔者为缩短篇幅简约表达，在不影响题意的前提下对原题作以修改，而且没有完整解答，要揣摩案例更深层次的内涵，请读者参阅对应的中考试题，这里不再赘述.

作者简介刘清泉，男，中学高级教师，浙江省教坛新秀，宁波市骨干教师，镇海区学科带头人、骨干教师、“轻负高质”先进个人、红烛奖，优质课评比区第一名、市二等奖，综合素质竞赛区一等奖，命题竞赛区一等奖，荣获全国联赛优秀指导教师四次，十余篇论文在国家级、省级杂志上发表.endprint