分类链接逐层整合

首轮中考复习的一项重要任务就是教师引导学生“串”读教材，在知识点的再现中，弥补遗漏的知识点，在知识点的细化中夯实基础，掌握通法、通则，在积累数学活动经验中，领悟基本思想和方法，同时打破教材章节顺序，将相关概念、定理进行组合，使新旧知识衔接自然，形成知识的“板块”化、条理化和系统化。知识是复习的轴心，形成能力是复习的归宿，复习中离不开解题这一环节，此时教师可把要做的题和已做过的类型相似、解法相通的题进行分类链接，引导学生在逐层整合中进行类比、联想、转化和归纳等系列思维活动，从中寻求共性，感悟知识之间的内在联系和转化，使学生在问题解决的过程中，做到举一反三，触类旁通.

1在相关知识的链接和整合中，内化知识点

基础知识包括基本概念和定理（法则、公式等），相关知识的链接就是打破教材章节顺序，依据知识之间的内在联系进行重新组合，目的就是通过比较相近或相关知识的异同点，做到准确理解概念的内涵，把握概念要点，分清定理的题设和结论，将概念、定理中的文字、图形和符号三种语言融为一体，便于知识的提取和应用。在知识的再现中，进行巩固和提高。在复习教学中引导学生依据复习提纲养成读书的习惯，看懂书上的数学概念、定义式、定理和基本图形，能抓住关键的字、词和句，明细和内化每一个知识点.

案例：一元二次方程定义

1。定义再现

填空：方程两边都是，只含有未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成形式。这种形式叫做一元二次方程的。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数，是常数项.

注：能抓住关键的字、词和句，领会概念内涵。同时能链接到“二次函数”的定义.

2。定义检测

（1）识别方程：在下列方程中，一元二次方程的个数是（）.

①3x2+7=0；

②ax2+bx+c=0；

③（x-2）（x+5）=x2-1；

④3x2-51x=0.

A。1个B。2个C。3个D。4个

注：一部分学生误选了答案B。将②或④误认为一元二次方程，原因就是忽视了定义中的几个要点，把概念的形式和本质二者混为一谈.

（2）深化概念

题1：关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是.

题2：关于x的方程：（1）（m+1）x2-6mx=3m+1；（2）（k2+1）x2+kx-k=9是否为一元二次方程？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项.

注：通过从形式到本质的层面变化，引导学生透彻理解一元二次方程的一般式，特别要强调二次项系数不为0的条件.

3。概念链接

理解一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念：当a=0且b≠0时，为一元一次方程，而这点常常容易被忽视.

例：关于x的方程（m2-4）x2-（m-2）x-1=0，当m时是一元二次方程；当m时是一元一次方程.

注：以概念为“重头戏”的课型应注重相关概念之间异同点的辨析。通过辨析，增强对定义式中二次项系数不为0的条件的理解和应用.

4。中考链接

（2013年四川泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）.

A。k>-1B。k<1且k≠0

C。k≥-1且k≠0D。k>-1且k≠0

注在中考链接中，结合学生出现的问题，使学生意识到一元二次方程的二次项字母系数经常隐含在题目中，而时常又被忽视，需要从已知条件中去挖掘.

2在相关图形的链接和整合中，寻求不变的东西

以平移、旋转、翻折等变换方式为特征的题，均可以进行分类链接，从中让学生感知和体验图形变换的特点，从变中寻求不变之处.

例1如图1，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证AP=BP.（人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册（以下简称“九上”）101页习题第4题）

分析例1是学完切线性质之后的一个习题。“见切线，连半径”是解与切线有关问题常见的一条辅助线。连接OP。因为AB切小圆于点，所以OP⊥AB，所以AP=BP.

图1图2图3链接1：如图2，两个圆都以点O为圆心，求证AC=BD。（九上101页习题24。1第8题）

分析链接1是学完垂径定理后的一个习题。解答与弦有关的问题常需过圆心作弦的垂线段。过点O作OP⊥AB于P，则CP=DP，AP=BP。由等式性质，得AC=BD.

注链接1中的弦AB（与小圆相交）通过向下平移就能得到例1中弦与小圆相切的情形。从图1到图2是一个由特殊到一般的演变过程.

链接2：如图3，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE。（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册82页习题第6题）

分析链接2是学完等腰三角形性质后的一个习题。目的是考查等腰三角形“三线合一”性质的应用.

证明作AM⊥BC于点M。因为AB=AC，AD=AE，所以BM=CM，DM=EM。由等式性质，得BD=CE.

注①从表面上看，链接1和链接2似乎无关。但将链接1中的两个圆“隐藏”后，便能得到链接2。由链接1到链接2的这一过程让学生体验到垂径定理与等腰三角形“三线合一”定理二者间的相通性，从而感悟到相关知识间的内在联系.

②在例1中可用含弦长的式子表示出圆环面积（π14AB2），其过程体现了一个整体思想，即大圆半径、小圆半径和弦长的一半能组成一个直角三角形.endprint

链接3：如图4，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小圆相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。（九上103页习题第16题）

图4图5分析阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积，而两个半圆的半径都未知（形成问题解决的难点）。把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面积未变。通过平移，就转化为例1中的圆环面积问题.

解把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5.连接OB，OF，则OF⊥AB。

S阴影部分=πOB212-πOF212=π12（OB2-OF2）

=π12BF2=π12（AB12）2=2π.

注链接3通过将小圆平移，使得大、小圆的圆心重合，这样转化到了例1的情形。例1及它的三个链接图形看上去不同，但通过类比、联想和转化，都可归结到垂径定理的基本图形上。“动中寻静”是解这类题的策略，其中对图形的变换是寻求转化的关键.

链接4：边长为10的正十边形的外接圆和内切圆组成的圆环的面积是.

注类异法同的链接，而考查的核心知识点不变，反映了学生对知识的迁移能力。同时，这里的正十边形可以改成任意正n边形（n≥3的整数），而圆环面积仍为25π。

3在思想方法的链接和整合中，触类旁通

某些习题虽承载的知识虽有所不同，但蕴含的思想方法是相同或相通的，基于此，可把这样的题链接于一起，通过比较，做到异中求同，寻求本质.

例2如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，求△ABC的内切圆半径r。（九上103页习题24。2第15题）

分析例2中给出了直角三角形的三条边，并且均为字母，用其表示内切圆半径，对此，许多学生找不到头绪。为解答例2，可通过如下题做为铺垫，通过相关题的解答，使学生产生对要解答问题的类比、联想和迁移.图6图7链接：△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。（九上98页练习第2题）

解如图7，设内切圆O与AB，BC，CA的切点分别为F，D，E，连接OF，OD，OE，OA，OB，OC，则OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，所以S△ABC=112AB·OF+112BC·OD+112AC·OE=112r（AB+BC+AC）=112rl.

注此题将所求三角形的面积分割为三小部分，化大为小，各个“击破”，体现了“整体到局部再到整体”思路。把此题的结论推广到例2，得112ab=112r（a+b+c）。由此，得r=ab1a+b+c。例2及链接的解答均用到面积的分割法.

有时同一个问题，解决的方法并不唯一，寻求问题解决的途径也不相同，自然体现的思想方法就有所不同.

图8例2的结果还可用另一种方式表达。如图8，设边BC，CA，AB分别且⊙O于点D，E，F，连接OD，OE，则OD⊥BC，OE⊥AC，易证四边形ODCE为正方形，其边长为r。所以BD=a-r，AE=b-r。由切线长定理，得BF=BD=a-r，AF=AE=b-r。由a-r+b-r=c，得r=a+b-c12.

注这种解法融入了方程的思想。同一个内切圆的半径用了两个式子表示，使得结果的形式不同。那么又将如何证明ab1a+b+c=a+b-c12？

提示：分析综合法，即ab1a+b+c=a+b-c12（a+b+c）（a+b-c）=2ab（a+b）2-c2=2aba2+b2+2ab-c2=2ab。由于∠C=90°，所以a2+b2=c2，a2+b2+2ab-c2=2ab2ab=2ab.

从知其然到知其所以然的追问，是深化学生思维的有效方法。

例3如图9，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？（九上册49页第9题）

注此题可用例1的链接3做铺垫，因为二者都可采用平移法巧妙解答，故此它们是从从思想方法的角度链接于一起的.

图9图104在背景异，实质同问题的链接和整合中，提炼出核心点

有些题所选用的背景不同，但去背景之后，提炼出的核心内容是相同的。因此，具备这个特点的题则能链接于一起，旨在培养学生透过现象看本质的能力.

例4如图10，有一块长方形铁片，长100，宽50，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁片各角应切去多大的正方形？（九上25页“问题1”）

链接1。在美术馆里，张红看到一幅画面不大的古典名画镶嵌在一个四周宽度相同的十分精致的画框内，占据了墙面上很大的一块地方。如果这幅名画的长为20cm，高为30cm，在墙面上所占的面积为3000cm2，那么这幅名画的画框的宽度为多少厘米？

链接2：一张桌子的桌面长为6，宽为4，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长与宽.

注“吹尽狂沙始到金”。例4及其两个链接题选取的背景虽不一样，但都可以归结为小长方形镶嵌于大正方形内且四周宽度相同的图形问题.

概念、定理的链接反映了知识之间的内在联系和转化。题的链接是一个有量到质的过程，要根据学生的现有基础和潜在的思维水平，做到适时、适量和适度，在“借题”解题中，有利于学生思维的联想、类比、迁移和转化，这种不以题论题的方式，表面上看去完成的是一个题，而实则完成的是一类题，通过题的链接和逐层整合既能收到举一反三和触类旁通的效果，又能将学生从题海中解放出来，久之，解题就便能成为学生的一种兴趣，而不是一种心理负担和思想包袱.

作者简介刘家良，1966年生，男，中学高级教师。静海县教改积极分子、优秀班主任和优秀教师。发表80余篇文章.endprint

链接3：如图4，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小圆相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。（九上103页习题第16题）

图4图5分析阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积，而两个半圆的半径都未知（形成问题解决的难点）。把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面积未变。通过平移，就转化为例1中的圆环面积问题.

解把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5.连接OB，OF，则OF⊥AB。

S阴影部分=πOB212-πOF212=π12（OB2-OF2）

=π12BF2=π12（AB12）2=2π.

注链接3通过将小圆平移，使得大、小圆的圆心重合，这样转化到了例1的情形。例1及它的三个链接图形看上去不同，但通过类比、联想和转化，都可归结到垂径定理的基本图形上。“动中寻静”是解这类题的策略，其中对图形的变换是寻求转化的关键.

链接4：边长为10的正十边形的外接圆和内切圆组成的圆环的面积是.

注类异法同的链接，而考查的核心知识点不变，反映了学生对知识的迁移能力。同时，这里的正十边形可以改成任意正n边形（n≥3的整数），而圆环面积仍为25π。

3在思想方法的链接和整合中，触类旁通

某些习题虽承载的知识虽有所不同，但蕴含的思想方法是相同或相通的，基于此，可把这样的题链接于一起，通过比较，做到异中求同，寻求本质.

例2如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，求△ABC的内切圆半径r。（九上103页习题24。2第15题）

分析例2中给出了直角三角形的三条边，并且均为字母，用其表示内切圆半径，对此，许多学生找不到头绪。为解答例2，可通过如下题做为铺垫，通过相关题的解答，使学生产生对要解答问题的类比、联想和迁移.图6图7链接：△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。（九上98页练习第2题）

解如图7，设内切圆O与AB，BC，CA的切点分别为F，D，E，连接OF，OD，OE，OA，OB，OC，则OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，所以S△ABC=112AB·OF+112BC·OD+112AC·OE=112r（AB+BC+AC）=112rl.

注此题将所求三角形的面积分割为三小部分，化大为小，各个“击破”，体现了“整体到局部再到整体”思路。把此题的结论推广到例2，得112ab=112r（a+b+c）。由此，得r=ab1a+b+c。例2及链接的解答均用到面积的分割法.

有时同一个问题，解决的方法并不唯一，寻求问题解决的途径也不相同，自然体现的思想方法就有所不同.

图8例2的结果还可用另一种方式表达。如图8，设边BC，CA，AB分别且⊙O于点D，E，F，连接OD，OE，则OD⊥BC，OE⊥AC，易证四边形ODCE为正方形，其边长为r。所以BD=a-r，AE=b-r。由切线长定理，得BF=BD=a-r，AF=AE=b-r。由a-r+b-r=c，得r=a+b-c12.

注这种解法融入了方程的思想。同一个内切圆的半径用了两个式子表示，使得结果的形式不同。那么又将如何证明ab1a+b+c=a+b-c12？

提示：分析综合法，即ab1a+b+c=a+b-c12（a+b+c）（a+b-c）=2ab（a+b）2-c2=2aba2+b2+2ab-c2=2ab。由于∠C=90°，所以a2+b2=c2，a2+b2+2ab-c2=2ab2ab=2ab.

从知其然到知其所以然的追问，是深化学生思维的有效方法。

例3如图9，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？（九上册49页第9题）

注此题可用例1的链接3做铺垫，因为二者都可采用平移法巧妙解答，故此它们是从从思想方法的角度链接于一起的.

图9图104在背景异，实质同问题的链接和整合中，提炼出核心点

有些题所选用的背景不同，但去背景之后，提炼出的核心内容是相同的。因此，具备这个特点的题则能链接于一起，旨在培养学生透过现象看本质的能力.

例4如图10，有一块长方形铁片，长100，宽50，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁片各角应切去多大的正方形？（九上25页“问题1”）

链接1。在美术馆里，张红看到一幅画面不大的古典名画镶嵌在一个四周宽度相同的十分精致的画框内，占据了墙面上很大的一块地方。如果这幅名画的长为20cm，高为30cm，在墙面上所占的面积为3000cm2，那么这幅名画的画框的宽度为多少厘米？

链接2：一张桌子的桌面长为6，宽为4，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长与宽.

注“吹尽狂沙始到金”。例4及其两个链接题选取的背景虽不一样，但都可以归结为小长方形镶嵌于大正方形内且四周宽度相同的图形问题.

概念、定理的链接反映了知识之间的内在联系和转化。题的链接是一个有量到质的过程，要根据学生的现有基础和潜在的思维水平，做到适时、适量和适度，在“借题”解题中，有利于学生思维的联想、类比、迁移和转化，这种不以题论题的方式，表面上看去完成的是一个题，而实则完成的是一类题，通过题的链接和逐层整合既能收到举一反三和触类旁通的效果，又能将学生从题海中解放出来，久之，解题就便能成为学生的一种兴趣，而不是一种心理负担和思想包袱.

作者简介刘家良，1966年生，男，中学高级教师。静海县教改积极分子、优秀班主任和优秀教师。发表80余篇文章.endprint

链接3：如图4，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小圆相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。（九上103页习题第16题）

图4图5分析阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积，而两个半圆的半径都未知（形成问题解决的难点）。把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面积未变。通过平移，就转化为例1中的圆环面积问题.

解把小半圆向右平移，使两个圆心重合，如图5.连接OB，OF，则OF⊥AB。

S阴影部分=πOB212-πOF212=π12（OB2-OF2）

=π12BF2=π12（AB12）2=2π.

注链接3通过将小圆平移，使得大、小圆的圆心重合，这样转化到了例1的情形。例1及它的三个链接图形看上去不同，但通过类比、联想和转化，都可归结到垂径定理的基本图形上。“动中寻静”是解这类题的策略，其中对图形的变换是寻求转化的关键.

链接4：边长为10的正十边形的外接圆和内切圆组成的圆环的面积是.

注类异法同的链接，而考查的核心知识点不变，反映了学生对知识的迁移能力。同时，这里的正十边形可以改成任意正n边形（n≥3的整数），而圆环面积仍为25π。

3在思想方法的链接和整合中，触类旁通

某些习题虽承载的知识虽有所不同，但蕴含的思想方法是相同或相通的，基于此，可把这样的题链接于一起，通过比较，做到异中求同，寻求本质.

例2如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，求△ABC的内切圆半径r。（九上103页习题24。2第15题）

分析例2中给出了直角三角形的三条边，并且均为字母，用其表示内切圆半径，对此，许多学生找不到头绪。为解答例2，可通过如下题做为铺垫，通过相关题的解答，使学生产生对要解答问题的类比、联想和迁移.图6图7链接：△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。（九上98页练习第2题）

解如图7，设内切圆O与AB，BC，CA的切点分别为F，D，E，连接OF，OD，OE，OA，OB，OC，则OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，所以S△ABC=112AB·OF+112BC·OD+112AC·OE=112r（AB+BC+AC）=112rl.

注此题将所求三角形的面积分割为三小部分，化大为小，各个“击破”，体现了“整体到局部再到整体”思路。把此题的结论推广到例2，得112ab=112r（a+b+c）。由此，得r=ab1a+b+c。例2及链接的解答均用到面积的分割法.

有时同一个问题，解决的方法并不唯一，寻求问题解决的途径也不相同，自然体现的思想方法就有所不同.

图8例2的结果还可用另一种方式表达。如图8，设边BC，CA，AB分别且⊙O于点D，E，F，连接OD，OE，则OD⊥BC，OE⊥AC，易证四边形ODCE为正方形，其边长为r。所以BD=a-r，AE=b-r。由切线长定理，得BF=BD=a-r，AF=AE=b-r。由a-r+b-r=c，得r=a+b-c12.

注这种解法融入了方程的思想。同一个内切圆的半径用了两个式子表示，使得结果的形式不同。那么又将如何证明ab1a+b+c=a+b-c12？

提示：分析综合法，即ab1a+b+c=a+b-c12（a+b+c）（a+b-c）=2ab（a+b）2-c2=2aba2+b2+2ab-c2=2ab。由于∠C=90°，所以a2+b2=c2，a2+b2+2ab-c2=2ab2ab=2ab.

从知其然到知其所以然的追问，是深化学生思维的有效方法。

例3如图9，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？（九上册49页第9题）

注此题可用例1的链接3做铺垫，因为二者都可采用平移法巧妙解答，故此它们是从从思想方法的角度链接于一起的.

图9图104在背景异，实质同问题的链接和整合中，提炼出核心点

有些题所选用的背景不同，但去背景之后，提炼出的核心内容是相同的。因此，具备这个特点的题则能链接于一起，旨在培养学生透过现象看本质的能力.

例4如图10，有一块长方形铁片，长100，宽50，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600，那么铁片各角应切去多大的正方形？（九上25页“问题1”）

链接1。在美术馆里，张红看到一幅画面不大的古典名画镶嵌在一个四周宽度相同的十分精致的画框内，占据了墙面上很大的一块地方。如果这幅名画的长为20cm，高为30cm，在墙面上所占的面积为3000cm2，那么这幅名画的画框的宽度为多少厘米？

链接2：一张桌子的桌面长为6，宽为4，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长与宽.

注“吹尽狂沙始到金”。例4及其两个链接题选取的背景虽不一样，但都可以归结为小长方形镶嵌于大正方形内且四周宽度相同的图形问题.

概念、定理的链接反映了知识之间的内在联系和转化。题的链接是一个有量到质的过程，要根据学生的现有基础和潜在的思维水平，做到适时、适量和适度，在“借题”解题中，有利于学生思维的联想、类比、迁移和转化，这种不以题论题的方式，表面上看去完成的是一个题，而实则完成的是一类题，通过题的链接和逐层整合既能收到举一反三和触类旁通的效果，又能将学生从题海中解放出来，久之，解题就便能成为学生的一种兴趣，而不是一种心理负担和思想包袱.

作者简介刘家良，1966年生，男，中学高级教师。静海县教改积极分子、优秀班主任和优秀教师。发表80余篇文章.endprint