反比例函数图象的一个结论及其应用

刘玉红

图1结论如图1，正比例函数y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）与反比例函数y3=k1x（k>0）的图像在第一象限内分别交于点A和点B，设直线AB的解析式为y=k0x+b，△OAB的面积为S。则k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

证明如图1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C点，过点B作BD⊥x轴，垂足为D点，设点A（a，k1a），点B（m，k2m），其中a>0，m>0，因为点A，点B都在反比例函数y3=k1x（k>0）的图像上，则AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四边形BECD，所以S△AOE=S四边形BECD，所以S△AOB=S四边形ACDB。因为DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四边形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因为点A（a，k1a），点B（m，k2m）在直线y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面谈谈这个结论的应用。

图2例1如图2，已知反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）.

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积.

分析要想用结论求△POQ的面积需要确定出直线OP的比例系数，直线OQ的比例系数，反比例函数的比例系数.

解（1）反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函数的解析式为y=41x；点Q是反比例函数和直线y=-x+b的交点，所以m=1，所以点Q的坐标是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直线的解析式为y=-x+5.

（2）因为直线y=-x+5与反比例函数y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以点P的坐标为（1，4），因为正比例函数OP经过点点（1，4），所以k1=4，因为正比例函数OQ经过点点（4，1），所以k2=114，反比例函数的系数k=4，根据k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面积为1512.

例2如图3，直线l与反比例函数y=21x的图像在第一象限内交于A，B两点，与x轴的正半轴交于点C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），则三角形OAB的面积（用m表示）为.

图3分析借助比例线段，反比例函数的解析式，利用含m的代数式分别表示出点A、点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因为BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，设BE=a，则AD=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的横坐标为21am，点C的横坐标为21a，所以直线OA的比例系数k1=a2m212，直线OC的比例系数k2=a212，反比例函数的系数k=2，根据k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

图4例3如图4，双曲线y=k1x经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是.

分析借助比例线段，反比例函数的解析式，巧妙引入未知数a，并用a的代数式分别表示出点A，点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，则AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以OD1OM=OA1ON，因为OA=2AN，所以OA1ON=213，所以OD1OM=213，设OD=2a，则OM=3a，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的纵坐标为k12a，点B的纵坐标为k13a，所以直线OA的比例系数k1=k14a2，直线OC的比例系数k2=k19a2，反比例函数的系数k，S=5，根据k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

图5例4如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=k1x（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F。过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C。若BE1BF=11m（m为大于1的常数）。记△OEF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S11S2=。（用含m的代数式表示）

分析确定出E、F、C的坐标是解题的关键.

解过点F作FD⊥y轴，垂足为点D，则BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因为BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，设ME=a，则DF=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点E、F，所以点E的纵坐标为k1a，点F的纵坐标为k1am，所以直线OE的比例系数k1=k1a2，直线OF的比例系数k2=k1a2m2，反比例函数的系数k，三角形OEF的面积为S1，根据k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因为FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面积为S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint

图1结论如图1，正比例函数y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）与反比例函数y3=k1x（k>0）的图像在第一象限内分别交于点A和点B，设直线AB的解析式为y=k0x+b，△OAB的面积为S。则k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

证明如图1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C点，过点B作BD⊥x轴，垂足为D点，设点A（a，k1a），点B（m，k2m），其中a>0，m>0，因为点A，点B都在反比例函数y3=k1x（k>0）的图像上，则AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四边形BECD，所以S△AOE=S四边形BECD，所以S△AOB=S四边形ACDB。因为DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四边形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因为点A（a，k1a），点B（m，k2m）在直线y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面谈谈这个结论的应用。

图2例1如图2，已知反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）.

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积.

分析要想用结论求△POQ的面积需要确定出直线OP的比例系数，直线OQ的比例系数，反比例函数的比例系数.

解（1）反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函数的解析式为y=41x；点Q是反比例函数和直线y=-x+b的交点，所以m=1，所以点Q的坐标是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直线的解析式为y=-x+5.

（2）因为直线y=-x+5与反比例函数y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以点P的坐标为（1，4），因为正比例函数OP经过点点（1，4），所以k1=4，因为正比例函数OQ经过点点（4，1），所以k2=114，反比例函数的系数k=4，根据k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面积为1512.

例2如图3，直线l与反比例函数y=21x的图像在第一象限内交于A，B两点，与x轴的正半轴交于点C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），则三角形OAB的面积（用m表示）为.

图3分析借助比例线段，反比例函数的解析式，利用含m的代数式分别表示出点A、点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因为BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，设BE=a，则AD=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的横坐标为21am，点C的横坐标为21a，所以直线OA的比例系数k1=a2m212，直线OC的比例系数k2=a212，反比例函数的系数k=2，根据k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

图4例3如图4，双曲线y=k1x经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是.

分析借助比例线段，反比例函数的解析式，巧妙引入未知数a，并用a的代数式分别表示出点A，点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，则AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以OD1OM=OA1ON，因为OA=2AN，所以OA1ON=213，所以OD1OM=213，设OD=2a，则OM=3a，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的纵坐标为k12a，点B的纵坐标为k13a，所以直线OA的比例系数k1=k14a2，直线OC的比例系数k2=k19a2，反比例函数的系数k，S=5，根据k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

图5例4如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=k1x（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F。过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C。若BE1BF=11m（m为大于1的常数）。记△OEF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S11S2=。（用含m的代数式表示）

分析确定出E、F、C的坐标是解题的关键.

解过点F作FD⊥y轴，垂足为点D，则BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因为BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，设ME=a，则DF=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点E、F，所以点E的纵坐标为k1a，点F的纵坐标为k1am，所以直线OE的比例系数k1=k1a2，直线OF的比例系数k2=k1a2m2，反比例函数的系数k，三角形OEF的面积为S1，根据k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因为FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面积为S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint

图1结论如图1，正比例函数y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）与反比例函数y3=k1x（k>0）的图像在第一象限内分别交于点A和点B，设直线AB的解析式为y=k0x+b，△OAB的面积为S。则k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

证明如图1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C点，过点B作BD⊥x轴，垂足为D点，设点A（a，k1a），点B（m，k2m），其中a>0，m>0，因为点A，点B都在反比例函数y3=k1x（k>0）的图像上，则AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四边形BECD，所以S△AOE=S四边形BECD，所以S△AOB=S四边形ACDB。因为DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四边形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因为点A（a，k1a），点B（m，k2m）在直线y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面谈谈这个结论的应用。

图2例1如图2，已知反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）.

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积.

分析要想用结论求△POQ的面积需要确定出直线OP的比例系数，直线OQ的比例系数，反比例函数的比例系数.

解（1）反比例函数y=k1x（k>0）的图象经过点（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函数的解析式为y=41x；点Q是反比例函数和直线y=-x+b的交点，所以m=1，所以点Q的坐标是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直线的解析式为y=-x+5.

（2）因为直线y=-x+5与反比例函数y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以点P的坐标为（1，4），因为正比例函数OP经过点点（1，4），所以k1=4，因为正比例函数OQ经过点点（4，1），所以k2=114，反比例函数的系数k=4，根据k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面积为1512.

例2如图3，直线l与反比例函数y=21x的图像在第一象限内交于A，B两点，与x轴的正半轴交于点C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），则三角形OAB的面积（用m表示）为.

图3分析借助比例线段，反比例函数的解析式，利用含m的代数式分别表示出点A、点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因为BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，设BE=a，则AD=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的横坐标为21am，点C的横坐标为21a，所以直线OA的比例系数k1=a2m212，直线OC的比例系数k2=a212，反比例函数的系数k=2，根据k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

图4例3如图4，双曲线y=k1x经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是.

分析借助比例线段，反比例函数的解析式，巧妙引入未知数a，并用a的代数式分别表示出点A，点B的坐标，从而确定直线OA，直线OB的比例系数，后根据公式即可完成问题的求解.

解过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，则AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以OD1OM=OA1ON，因为OA=2AN，所以OA1ON=213，所以OD1OM=213，设OD=2a，则OM=3a，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点A、B，所以点A的纵坐标为k12a，点B的纵坐标为k13a，所以直线OA的比例系数k1=k14a2，直线OC的比例系数k2=k19a2，反比例函数的系数k，S=5，根据k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

图5例4如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=k1x（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E、F。过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C。若BE1BF=11m（m为大于1的常数）。记△OEF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S11S2=。（用含m的代数式表示）

分析确定出E、F、C的坐标是解题的关键.

解过点F作FD⊥y轴，垂足为点D，则BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因为BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，设ME=a，则DF=ma，因为反比例函数y=k1x在第一象限的图像经过点E、F，所以点E的纵坐标为k1a，点F的纵坐标为k1am，所以直线OE的比例系数k1=k1a2，直线OF的比例系数k2=k1a2m2，反比例函数的系数k，三角形OEF的面积为S1，根据k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因为FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面积为S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint