整体EiBI-单极子

金兴华

(上海商学院 数学系,上海 200235)

0 引 言

早期宇宙的相变能产生各种拓扑缺陷,这些拓扑缺陷在宇宙学中有很重要的意义[1].整体单极子是最重要的缺陷之一.Barriola和Vilenkin[2]首先研究了整体单极子的引力效应.当考虑引力时,整体单极子的线性发散质量有一个效果,这个效果类似于一个欠缺角.Harari 和Loust`o[3],还有史和李[4]已经表明,这个小引力势实际上是排斥的.在FRW 时空中,拓扑缺陷也已被研究过了[5-7].在渐近dS/AdS时空[8-9]和Brans-Dicke 理论下[10]的整体单极子的性质被发现和通常的单极子有很大的不同.如果将非正则动能相引入到整体单极子,金等[11]发现引力场可能是吸引的,也可能是排斥的,这依赖于不同的非正则动能项.刘等[12]已探讨过Dirac-Born-Infeld 整体单极子的自引力问题.

历史上,为了解决库仑场和点粒子自能的发散问题,Born和Infeld[13]将行列式形式引入作用量.1924年,Eddington[14]提出了一个不同与广义相对论的引力理论,行列式形式出现在了作用量中,他认为基本场应该是联络.对该作用量进行变分可以得到等效的爱因斯坦方程.但是该理论并不完备,因为它不包含物质部分.最近,Banados 和Ferreira 基于Eddington 的理论,提出了一个改进的引力理论,通常称为Eddington-inspired Born-Infeld(简记EiBI)引力[15].该理论的作用量可以包含物质部分,它弥补了Eddington 引力理论中的问题.为了克服高阶导数和ghost带来的问题,EiBI引力采用的是Palatini形式,即将度规和联络处理为独立的场.

EiBI引力是非常吸引人的,因为在真空的情况下,它可以退化为广义相对论,并且可以避开大爆炸理论和恒星引力塌缩过程中的奇点问题.但是,EiBI引力理论也存在问题.例如,在多方星的表面存在曲率奇点[16].类似的奇性也存在于恒星内部的相变过程[17].最近,有研究认为恒星表面的奇点问题可以被克服[18].

本文作者基于EiBI引力理论,导出整体EiBI-单极子的方程,并给出参数κ很小时方程的渐近形式,进一步讨论了整体EiBI-单极子在无穷远处的级数解.

1 EiBI引力理论

整个讨论过程中,单位取c=G=1.EiBI引力理论的作用量为:

(1)

2 整体EiBI-单极子

弯曲时空中引力的整体EiBI-单极子的作用量为:

(4)

其中σ0是一个以质量为单位的对称破缺标度.描写整体EiBI-单极子的刺猬构形为:

(5)

其中xaxa=ρ2,a=1,2,3,如果在空间无穷远处h→1,将得到一个整体EiBI-单极子解.

在静态球对称时空中,时空度规gμν和辅助度规qμν采用如下形式:

其中 dΩ2=dθ2+sin2θdφ2.引入无量纲参数r=σ0ρ,由方程(4)和(5),可以得到关于h的运动方程:

(8)

其中,撇表示对r求导.由方程(3),可以得到关系:

(9)

其中

由方程(2)可以得到两个独立的方程:

(10)

(11)

当|κ|≪1,可以得到方程(8),(10)和(11)关于κ的渐近形式:

(12)

(13)

(14)

其中

容易发现,当|κ|→0时,这些方程可以恢复到标准的整体单极子方程.

在r≫1区域,可以展开h(r),A(r),B(r),f(r)得

(19)

由此,ε2描写时空的一个立体欠缺角.

为了显示立体欠缺角的效果,研究整体EiBI-单极子周围测试粒子的运动.为求解测地线方程,引入一个无量纲量u=GM∞/r,于是可以得到u关于φ的二阶微分方程

(20)

(21)

其中e表示偏心率.当一个测试粒子绕整体EiBI-单极子转一圈时,它的进动是:

(22)

相比正常星的进动情况,方程(22)的最后一项是修正项.

参考文献:

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