数列在日常理财生活中的应用

赵曼淇

（北京海淀区中央民族大学附属中学，北京 100081）

一、在银行理财品种中，数列的应用及数学模型的建立

1.等差数列在零存整取（整存零取）中的应用

什么是零存整取？在银行存款理财中，有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日间隔一定时间存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时间段后，可以取出全部本金及利息，这是整取。

举例：我们若从年初开始，每3个月初存入1 000元，3个月零存整取利率为a‰，到第12月底的本息和是多少？

分析：若每3个月初存入1 000元，12个月一共存入4期，合计本金4 000元。我们分别计算每期到12月底的本息和：

第一次存1 000元，到12月底的本息和：A1=本金+利息=1 000+1 000×4×a‰；第二次存1 000元，到12月底的本息和：A2=本金+利息=1 000 +1 000×3×a‰；第三次存1 000元，到12月底的本息和：A3=本金+利息=1 000+1 000×2×a‰；第四次存1 000元，到12月底的本息和：A4=本金+利息=1 000+1 000×1×a‰。

通过观察不难发现A1、A2、A3、A4构成一个等差数列，公差是1 000a‰，计算到12月份本息和，就是数列A1、A2、A3、A4的四项和，其本息和是：A=1 000×4+1 000×（4+3+2+1）×a‰=4 000+1 000× 10×a‰；我们按照等差数列求和公式，求得本息和A=1 000×4+1 000×［4×（4+1）×（1/2）］×a‰=4 000+1 000×10×a‰。我们可以比较一下，发现两次计算结果完全相同。

依据以上分析计算，我们得出零存整取或整存零取（单利计息）的存款储蓄品种，它的本息计算可以按照等差数列求和公式，构建起零存整取（整存零取）的本息和的数学计算模型是：本息和=每期存入金额×［存期数+存期数×（存期数+1）×（1/2）×利率］。（以下记做公式1。）

2.等比数列，在银行存款中定期转存的应用

什么是定期转存？在银行存款理财中，有一种储蓄项目，它是从某日存入一定金额的固定存期储蓄，并约定每次到期存款均自动转为下一个存期的定期存款，这就是定期转存。

举例：我们若从年初开始存入1 000元的3个月定期转存储蓄，3个月利率为a‰，到第12月底的本息和是多少？

分析：年初存入的1 000元，3个月到期后，自动转存时，第一个存期的利息，加入的1 000元本金里，作为新的“本金”开始记取利息（这叫“复利”），到12月底时，一共转存了3次，记取了3次复利，正好取出本息。

现在我们分别计算每期结束的本息和：

第一次存期到期的本息和：A1=本金+利息=1 000+1 000×a‰=1 000（1+a‰）；

第二次存期到期的本息和：A2=本金+利息=1 000×（1+a‰）+1 000×a‰×（1+a‰）=1 000×（1+a‰）2；

以此类推，第三次存期到期的本息和：A3=本金+利息=1 000×（1+a‰）3；

第四次存期到期的本息和：A4=本金+利息=1 000×（1+a‰）4；

通过观察，发现A1、A2、A3、A4，构成一个等比数列，它的公比是（1+a‰）。我们可以按照等比数列，已知A1，和公比（1+a‰），运用数列的知识求数列的第4项的值，到期的本息和A=A1×（1+a‰）［4-1］= 1 000×（1+a‰）4，A和上述分析得出的A4相等，也就是两次计算结果完全相同。

依据以上分析计算，我们得出定期转存（复利计息）储蓄，它的本息计算可以按照等比数列的通项公式，构建起这种银行存款品种的本息和的数学计算模型是：本息和=每期存入金额×（1+利率）存期。（以下记做公式2。）

通过对以上两个代表性的银行存款储蓄品种的分析，可以类推出这样的结论，如果是单利计算的储蓄品种，一般都可以应用等差数列建立数学模型，计算利息；如果按照复利支付利息的储蓄品种，一般都可以通过等比数列建立数学模型，计算本息和，算出利息。

二、运用数列知识，分析日常理财收益，规划科学的理财方案

以一个双工薪（一个企业，一个老师）的家庭的薪金收入为例，做好理财方案的分析和规划。收入来源一是工资收入，一人3 000元，一人4 000元；二是前三个季度绩效考核工资3 000元；三是年末的绩效收入10 000元。我们假设以每月4 000元为生活费，年末的10 000元作为全年花销的备用金，其余家庭收入参与理财规划，做一年的理财方案如下：

1.方案一：粗放的活期理财模式

现在的薪金发放，都是打在折（卡）上，粗心的家庭会积攒一年，到年底盘点后，再考虑提取资金，转成高息理财产品。按照这个活期方案，我假定工资都是月初发放，工资收入每月存入3 000元，到12月末收益记作A1，季度绩效月初发放，一共发放3次，每次3 000元，到12月末收益记作A2，年末奖金10 000元次年1月初发放，留做全年备用，收益记作A3。

按照中国银行2014年公布的年利率值：活期0.35%，3个月定期2.6%，零存整取（整存零取）1.71%，半年定期2.8%，一年的定期3.25%。

计算家庭一年薪金理财收益：按照活期月利率=0.35%/12=0.029167%，计算的利息和是：A=A1+A2+A3，其中工资收入的活期利息按照公式（1）进行计算，A1=3 000×12×（12+1）×（1/2）× 0.029167%=60.25元；季度绩效奖金的活期利息按照公式（1）进行计算，A2=3 000×3×（3+1）×（1/2）×（3×0.029167）%=15.75元；10 000元备用金的收益，相当于5 000元存6个月的活期利息，其计算模型：利息=存入金额×存期×月利率（推导过程略去），A3=5 000×6×0.029167%=8.75元。

通过以上计算出理财方案一，每年薪金收入产生的利息之和是：A=60.25+15.75+8.75=84.75元。

2.方案二：“工资零存整取+绩效定期转存+备用金整存零取”的理财模式

我们假定月初发放的工资，每月零存整取的方式存入3 000元，到12月末的收益记作A1，每季度初的3 000元绩效奖，按照3个月的定期转存，到12月末的收益记作A2，上年度的年末奖金10 000元，按照一年4次的整存零取，有计划的季度资金备用方式，到12月末的收益记作A3。

计算家庭一年薪金理财收益的利息和是：A=A1+A2+A3，其中A1，工资的零存整取存款方式，利用（公式1）利息=每期存入金额×存期数×（存期数+1）×（1/2）×月利率］。月利率=1.71%/12=0. 1425%%。计算出A1=3000×12×（12+1）×（1/2）× 0.1425%=333.45元；

A2，绩效奖金按照三个月的定期转存的存款方式，到12月末，一季度的3 000元奖金经历了3个存期，二季度的奖金经历2个存期，三季度的奖金经历1个存期，是复利计息，符合等比数列，按照通项公式建模。直接利用公式（2），本息和=每期存入金额*（1+利率）存期，三个月定期利率=2.6%/4=0.65%。计算的利息A2=3000×（1+0.65%）1+3000×（1+0.65%）2 +3 000×（1+0.65%）-9 000=117.5元。

A3，1 000元备用金年初整存，按照每季度末存款支取2 500元，支取4次，是单利计息。其符合等差数列关系，直接利用数学模型公式（1），计算其本息和=每期消费金额×消费期×（消费期+1）×（1/2）×利率，利率1.71%/4=0.4275%。计算出到期的利息A3=2 500×4×（4+1）×（1/2）×0.4275%=106.87元

通过以上计算出的理财方案二，一年薪金产生的利息是A=A1+A2+A3=333.45+117.5+106.87= 557.82元。

3.理财方案收益效果比较

一个家庭的一年薪金，如果按照方案一粗放的在银行的工资卡上，算作存活期，方便取用，但只能达到钱在银行的“保值”目的，利息收益太低了。方案二采取分类选择相应的理财品种，通过运用数列方法分析计算的资金收益结果看，在既达到资金保值目的同时，又平均提高了家庭理财收益558%，经济效益可观。现做两种理财方案的收益比较表如下：

两种理财方案的收益比较表（一）

通过这次对数列在家庭日常理财中应用的探究，既了解不同储蓄品种的分类及利息计算方式的原理，更主要的是运用数列的公式，建立了利息计算的数学模型，运用这些方法分析论证了薪金的不同，理财方案的效益，这是数学知识解决实际生活问题的一个很好应用。