浅谈几何概型的测度

韦克琳

其中，公式中的长度、面积及体积等就是所谓的几何概型的测度.

教材关于几何概型的定义的本质内涵：设D是一个可度量的区域（如线段（或圆弧），平面图形，立体图形等）.每个基本事件可视为从区域内D随机地取一点，区域D内的每个点被取到的可能性都一样；随机事件A的发生可视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.那么事件A发生的概率与d的测度（长度，面积，体积等）成正比例，而与d的形状和位置无关.因此上述公式也可表示为P（A）=

关于公式中的测度应该这样去理解：（1）测度是一个由等可能的点组成的区域D，这个区域可以是线段（或圆弧），平面图形或立体图形等.（2）随机事件A的发生所取到的区域d的测度与区域D的测度一致，且由D的测度确定.（3）区域D是可以度量的，度量的带有单位的结果就是该区域的测度（其单位由D的具体情况而定）.（4）测度是多样的，是由具体问题的限制而定，即可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积或立体图形的体积等.

关于这两个问题的解答，前者学生是容易理解的，但后者学生就难以接受了.原因是同是AB上的点M，为什么前者能用长度作为测度，而后者却不能呢？作为老师就必须在这个问题上引导学生进行认真的分析和探究，厘清它们的本质区别，实现教学的有效突破.

我们发现，例1中的点M是直接在AB上取，所以AB边的长度作为总测度是正确的.但例2却不是，点M的取得是在角内作射线（其实是在角内作角）与AB相交而得，因此，应当用角度作为测度才能保证在角内作射线实现“等可能”.

所谓等可能是指每一个对象被取到的可能性一样大.这里，射线与线段AB的交点M与在AB上取点M不是一回事.在AB上取点是任意的，故每个点被取到是可能性的.但射线与线段AB的交点不是任意的，而是由射线CM（角度）的变化引来交点的变化，因此这交点在AB上未必是等可能出现的.下面举例说明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：这里有一个角度转换为长度的等价转换）.若过C作∠ACB的平分线CN，再作∠ACN的平分线CQ（如图3），设CQ∩AB=P，容易证明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，这就是说，当射线CQ由CA匀速运动到CQ，再匀速运动到CN时，这角度（或弧）的变化是均匀相等的，但与边AB的交点P的变化却不是匀速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根据以上的分析我们不难看到，对于一个几何概型的一个几何量能否作为测度，关建在于看它是否满足公式中要求的“等可能”的条件.

至此，我们对以上关于测度的分析与思考进行总结，可以得到关于测度的一些性质：

（1）测度是多样的（它可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积，立体图形的体积和角度等）；

（2）测度是可求的（相应图形的长度、面积、体积以及角度都是可求的）；

（3）测度是可转换的（其转换必须是等可能的等价转换）.endprint

其中，公式中的长度、面积及体积等就是所谓的几何概型的测度.

教材关于几何概型的定义的本质内涵：设D是一个可度量的区域（如线段（或圆弧），平面图形，立体图形等）.每个基本事件可视为从区域内D随机地取一点，区域D内的每个点被取到的可能性都一样；随机事件A的发生可视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.那么事件A发生的概率与d的测度（长度，面积，体积等）成正比例，而与d的形状和位置无关.因此上述公式也可表示为P（A）=

关于公式中的测度应该这样去理解：（1）测度是一个由等可能的点组成的区域D，这个区域可以是线段（或圆弧），平面图形或立体图形等.（2）随机事件A的发生所取到的区域d的测度与区域D的测度一致，且由D的测度确定.（3）区域D是可以度量的，度量的带有单位的结果就是该区域的测度（其单位由D的具体情况而定）.（4）测度是多样的，是由具体问题的限制而定，即可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积或立体图形的体积等.

关于这两个问题的解答，前者学生是容易理解的，但后者学生就难以接受了.原因是同是AB上的点M，为什么前者能用长度作为测度，而后者却不能呢？作为老师就必须在这个问题上引导学生进行认真的分析和探究，厘清它们的本质区别，实现教学的有效突破.

我们发现，例1中的点M是直接在AB上取，所以AB边的长度作为总测度是正确的.但例2却不是，点M的取得是在角内作射线（其实是在角内作角）与AB相交而得，因此，应当用角度作为测度才能保证在角内作射线实现“等可能”.

所谓等可能是指每一个对象被取到的可能性一样大.这里，射线与线段AB的交点M与在AB上取点M不是一回事.在AB上取点是任意的，故每个点被取到是可能性的.但射线与线段AB的交点不是任意的，而是由射线CM（角度）的变化引来交点的变化，因此这交点在AB上未必是等可能出现的.下面举例说明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：这里有一个角度转换为长度的等价转换）.若过C作∠ACB的平分线CN，再作∠ACN的平分线CQ（如图3），设CQ∩AB=P，容易证明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，这就是说，当射线CQ由CA匀速运动到CQ，再匀速运动到CN时，这角度（或弧）的变化是均匀相等的，但与边AB的交点P的变化却不是匀速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根据以上的分析我们不难看到，对于一个几何概型的一个几何量能否作为测度，关建在于看它是否满足公式中要求的“等可能”的条件.

至此，我们对以上关于测度的分析与思考进行总结，可以得到关于测度的一些性质：

（1）测度是多样的（它可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积，立体图形的体积和角度等）；

（2）测度是可求的（相应图形的长度、面积、体积以及角度都是可求的）；

（3）测度是可转换的（其转换必须是等可能的等价转换）.endprint

其中，公式中的长度、面积及体积等就是所谓的几何概型的测度.

教材关于几何概型的定义的本质内涵：设D是一个可度量的区域（如线段（或圆弧），平面图形，立体图形等）.每个基本事件可视为从区域内D随机地取一点，区域D内的每个点被取到的可能性都一样；随机事件A的发生可视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.那么事件A发生的概率与d的测度（长度，面积，体积等）成正比例，而与d的形状和位置无关.因此上述公式也可表示为P（A）=

关于公式中的测度应该这样去理解：（1）测度是一个由等可能的点组成的区域D，这个区域可以是线段（或圆弧），平面图形或立体图形等.（2）随机事件A的发生所取到的区域d的测度与区域D的测度一致，且由D的测度确定.（3）区域D是可以度量的，度量的带有单位的结果就是该区域的测度（其单位由D的具体情况而定）.（4）测度是多样的，是由具体问题的限制而定，即可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积或立体图形的体积等.

关于这两个问题的解答，前者学生是容易理解的，但后者学生就难以接受了.原因是同是AB上的点M，为什么前者能用长度作为测度，而后者却不能呢？作为老师就必须在这个问题上引导学生进行认真的分析和探究，厘清它们的本质区别，实现教学的有效突破.

我们发现，例1中的点M是直接在AB上取，所以AB边的长度作为总测度是正确的.但例2却不是，点M的取得是在角内作射线（其实是在角内作角）与AB相交而得，因此，应当用角度作为测度才能保证在角内作射线实现“等可能”.

所谓等可能是指每一个对象被取到的可能性一样大.这里，射线与线段AB的交点M与在AB上取点M不是一回事.在AB上取点是任意的，故每个点被取到是可能性的.但射线与线段AB的交点不是任意的，而是由射线CM（角度）的变化引来交点的变化，因此这交点在AB上未必是等可能出现的.下面举例说明.

=︱CA︱∠ACN（弧度）=∠CAN（注：这里有一个角度转换为长度的等价转换）.若过C作∠ACB的平分线CN，再作∠ACN的平分线CQ（如图3），设CQ∩AB=P，容易证明△ACP≌△NCP，所以AP=NP，而△MNP是直角三角形，故NP>PM，即AP>PM，这就是说，当射线CQ由CA匀速运动到CQ，再匀速运动到CN时，这角度（或弧）的变化是均匀相等的，但与边AB的交点P的变化却不是匀速的（AP>PM），所以它不是等可能的.

根据以上的分析我们不难看到，对于一个几何概型的一个几何量能否作为测度，关建在于看它是否满足公式中要求的“等可能”的条件.

至此，我们对以上关于测度的分析与思考进行总结，可以得到关于测度的一些性质：

（1）测度是多样的（它可以是线段（或圆弧）的长度，平面图形的面积，立体图形的体积和角度等）；

（2）测度是可求的（相应图形的长度、面积、体积以及角度都是可求的）；

（3）测度是可转换的（其转换必须是等可能的等价转换）.endprint