π－余模代数的π－余模理想

衡美芹，孙建华

（1．宿迁学院教师教育系，江苏 宿迁223800；2．扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

近年来，Hopf代数一直是人们感兴趣的课题，随着研究的不断深入，弱化意义下的Hopf代数越来越受到重视，出现了如弱Hopf代数［1］、扭Hopf代数［2］、分次Hopf代数［3］和Hopf群（余）代数［4］（即Hopfπ－余代数，这里π是一个群）等推广形式．Hopfπ－余代数是Turaev于2000年引进的一类代数结构，用来构造π－范畴并证明这样的范畴可以产生3维同伦量子场理论．后来Virelizier［1］利用Hopfπ－余代数构造了3维流形上主π－丛的Hennings－like与Kuperberg－like不变量．在文献［1－3］中，作者曾讨论了Hopfπ－（余）代数的一些性质，如Morita contexts和π－Galois扩张等．笔者［4］也研究过Hopfπ－余代数的π－子余代数，给出了π－子余代数的等价条件．在本文中，笔者将探讨Hopfπ－余代数H 上的π－余模代数的π－余模（右）理想的性质．

1 预备知识

设k为域，文中的向量空间、余代数和代数均指域k上的向量空间、余代数和代数．π是任意一个乘法群，其单位元记为1．域k上向量空间上的张量积A⊗kB 简写成A⊗B．Hopfπ－（余）代数的有关概念和记号参见文献［1，5－7］．

若｛Hα｝α∈π是 一 簇 向 量 空 间，且 赋 予 一 簇k－线 性 映 射｛Δα，β：Hαβ→Hα⊗Hβ｝α，β∈π及k－线 性 映 射ε：H1→k，使得对于任意的α，β，γ∈π，满足等式（Δα，β⊗idHγ）Δαβ，γ＝（idHα⊗Δβ，γ）Δα，βγ，（idHα⊗ε）Δα，1＝idHα＝（ε⊗idHα）Δ1，α，则称H＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）为π－余代数．

注1）记Δα，β（h）＝∑h（1，α）⊗h（2，β）∈Hα⊗Hβ，对于任意的h∈Hαβ，α，β∈π．

2）对于任意的α，β，γ ∈π，h ∈Hαβγ，则定义1．1中第1个条件等式可表示为

定义1．1设H ＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）为π－余代数，给定一簇k－线性映射S ＝｛Sα｜Hα→Hα－1｝α∈π，若H 满足以下条件：①∀α∈π，（Hα，mα，uα）是k－代数；②∀α，β∈π，k－线性映射Δα，β：Hαβ→Hα⊗Hβ和ε：H1→k都是代数同态；③∀α∈π，mα（Sα－1 ⊗idHα）Δα－1，α＝uαε＝mα（idHα⊗Sα－1）Δα，α－1，则称H ＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）为Hopfπ－余代数．

注Hopfπ－余代数不是一般的Hopf代数，也不是分次Hopf代数或扭Hopf代数［8－9］．由定义容易看出（H1，Δ1，1，ε，m1，u1，S1）是一个一般的Hopf代数，因此Hopfπ－余代数是Hopf代数的一种推广形式．

定义1．2设H ＝（｛Hα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε）是一个π－余代数．若存在一簇k－ 向量空间U ＝｛Uα｝α∈π以及一簇k－ 线性映射ρ ＝｛ρα，β：Uαβ→Uα⊗Hβ｝α，β∈π，使得等式（ρα，β⊗idHγ）ραβ，γ＝（idUα⊗Δβ，γ）ρα，βγ，（idUα⊗ε）ρα，1 ＝idUα，∀α，β，γ∈π成立，则称（U，ρ）为π－H－ 余模．

注记则定义1．2中第1个条件等式可表示为∑x（0，αβ）（0，α）⊗x（0，αβ）（1，β）⊗x（1，γ）＝∑x（0，α）⊗x（1，βγ）（1，β）⊗x（1，βγ）（2，γ），对于任意的α，β，γ∈π，x ∈Uαβγ．

定义1．3设H ＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）为Hopfπ－余代数，A ＝（Aα，mα′，uα′）α∈π为一簇k－代数．若对于任意的α，β∈π，x，y∈Aαβ，满足3个条件：①（A，ρ）是π－H－余模；②则称（A，ρ）为H 上的一个π－余模代数或π－H－ 余模代数．

设｛＾Hα｝α∈π为一簇k－向量空间，若存在一簇k－线性映射｛mα，β：＾Hα⊗＾Hβ→＾Hαβ｝α，β∈π及k－线性映射u：k→＾H1，使得对于任意的α，β，γ∈π，h∈＾Hα，满足mαβ，γ（mα，β⊗id＾Hγ）＝mα，βγ（id＾Hα⊗mβ，γ），mα，1则称为π－代数．

定义1．4设＾H＝（｛＾Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）为π－代数．给定一簇k－线性映射若还满足以下条件：①∀α∈π，｛＾Hα，Δα，εα｝是k－余代数；②∀α，β∈π，线性映射u：k→＾H1和mα，β：＾Hα⊗＾Hβ→＾Hαβ均为余代数同态；③∀α∈π，mα－1，α（＾Sα⊗id＾Hα）Δα＝uεα＝mα，α－1（id＾Hα⊗＾Sα）Δα，则称＾H为Hopfπ－代数．

注Hopfπ－代数可以视为通常意义下的Hopf代数［1］76．

定义1．5设是一个π－代数．若存在一簇向量空间V＝｛Vα｝α∈π以及一簇k－线性映射η＝且 使 得 下 式 成 立：对 于 任 意 的则称（V，η）为模．

定义1．6设为Hopfπ－代数，为一 簇k－ 余 代 数．若∀α，β ∈π，x ∈Cα，h ∈＾Hβ，满 足 以 下 条 件：①（C，η）是π－＾H－ 模；②则称（C，η）为＾H 上π－模余代数或π－＾H－ 模余代数．

如果Hopfπ－余代数H ＝｛Hα｝α∈π中的每一个Hα（∀α∈π）都是有限维的向量空间，则称H 为局部有限维的．类似地可定义局部有限维的π－余模代数A．以下总设Hopfπ－余代数H 是局部有限维的，π－H－余模代数A 是局部有限维的．

引理1．7［4］707Hopfπ－余代数的对偶空间H＊＝是一个Hopfπ－代数．

引理1．8［10］设H＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）为Hopfπ－余代数，（A，ρ）＝（｛Aα，mα′，uα′｝α∈π，｛ρα，β｝α，β∈π）是π－H－余模代数，则（A＊，¯η）＝（｛A＊α，¯Δα′，¯εα′｝α∈π，｛¯ηα，β｝α，β∈π）是π－H＊－模余代数．

2 π－余模右理想

定义2．1设H＝（｛Hα，mα，uα｝α∈π，｛Δα，β｝α，β∈π，ε，｛Sα｝α∈π）为Hopfπ－余代数，（A，ρ）为π－H－余模代数．若I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π为A 的一簇右理想，且I是A的一个π－H－子余模（即满足ρα，β（Iαβ）⊆Iα⊗Hβ，∀α，β∈π），则称I是A 的一个π－H－余模右理想．

定义2．2设＾H＝（｛＾Hα，Δα，εα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u，｛＾Sα｝α∈π）为Hopfπ－代数，（C，η）为π－＾H－模余代数．若J＝｛Jα：Jα⊆Cα｝α∈π为C 的一簇右余理想，且J 是C 的一个π－＾H－子模，则称J 是C 的一个π－＾H－模右余理想．

设U＝｛Uα｝α∈π为一簇k－向量空间，V＝｛Vα｜Vα⊆Uα｝α∈π是一簇k－子空间，记V⊥＝｛V⊥α｝α∈π，其中V⊥α＝｛cα∈U＊α｜〈cα，vα〉＝0，∀vα∈Vα｝为U＊α的k－子空间．同样，若L＝｛Lα｜Lα⊆U＊α｝α∈π是一簇k－子空间，记L⊥＝｛L⊥α｝α∈π，其中L⊥α＝｛vα∈Uα｜〈lα，vα〉＝0，∀lα∈L＊α｝为Uα的k－子空间．

引理2．3设H 为Hopfπ－余代数，（U，ρ）为π－H－余模，V 是（U，ρ）的π－H－子余模，则V⊥是（U＊，¯η）的π－H＊－子模．

证明 对于任意的α，β∈π，f∈U＊α，g∈H＊β，a∈Uαβ，由于Vα是Uα的子空间，故可考虑嵌入映射．为此，设一簇k－线性映射i＝｛iα｝α∈π，其中iα：Vα→Uα为嵌入映射，显然i＝｛iα｝α∈π为π－H－余模同态．考虑一簇映射其中为iα的对偶映射，则有即为π－H＊－模同态．

引理2．4设A 是一个有限维的代数，则

1）P 是A 的右理想充要条件P⊥是A＊的右余理想；

2）P 是A 的理想充要条件P⊥是A＊的子余代数．

证明 参考文献［7］53．

定理2．5设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是π－H－余模代数．若I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π是A 的π－H－余模右理想，则I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，¯η）的π－H＊－模右余理想．

证明 由引理2．3和引理2．4可得证．

引理2．6设H 为Hopfπ－余代数，（U，ρ）是一个π－H－余模．若L＝｛Lα：Lα⊆U＊α｝α∈π是（U＊，¯η）的一个π－H＊－子模，则L⊥＝｛L⊥α｝α∈π是（U，ρ）的一个π－H－子余模．

证明 对于任意的α，β∈π，x∈Uαβ，z∈Lα，g∈H＊β，设一簇线性映射j＝｛jα｝α∈π，其中jα：Lα→U＊α为嵌入映射．注意到Uα是有限维的，所以U＊α与Uα同构．又因为L 为U＊的π－H＊－子模，故可知｛jα：Lα→U＊α｝α∈π为π－H＊－模同态．考虑一簇线性映射j＊＝｛j＊α：Uα→L＊α｝α∈π，则有〈z⊗g，（j＊α⊗idHβ），即j＊＝｛j＊α｝α∈π为π－H－余模同态．

又由于L⊥α＝｛x∈Uα｜〈lα，x〉＝0，∀lα∈Lα｝，且ker j＊α＝｛x⊆Uα｜〈lα，x〉＝0，∀lα∈Lα｝，即L⊥α＝ker j＊α；再因为（j＊α⊗idHβ）ρα，β（L⊥αβ）＝¯ρα，βj＊αβ（L⊥αβ）＝0，所以ρα，β（L⊥αβ）⊆ker（j＊α⊗idHβ）．而ker（j＊α⊗idHβ）＝ker j＊α⊗Hβ＋Uα⊗ker idHβ＝ker j＊α⊗Hβ＝L⊥α⊗Hβ，即因此L⊥是U 的一个π－H－子余模．

定理2．7设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是一个π－H－余模代数．若J＝｛Jα：Jα⊆A＊α｝α∈π是（A＊，¯η）的一个π－H＊－模右余理想，则J⊥＝｛J⊥α｝α∈π是（A，ρ）的一个π－H－余模右理想．

证明 由引理2．3和引理2．6可得证．

定理2．8设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是一个π－H－余模代数，则I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π是（A，ρ）的π－H－余模右理想当且仅当I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，¯η）的π－H＊－模右余理想．

证明 由定理2．5和定理2．7可得证．

3 π－余模理想

定义3．1设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）为π－H－余模代数．若I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π是A 的一簇理想，且I是（A，ρ）的一个π－H－子余模，则称I是（A，ρ）的一个π－H－余模理想．

定义3．2设＾H 为Hopfπ－代数，（C，η）为π－＾H－模余代数．若J＝｛Jα：Jα⊆Cα｝α∈π是C 的一簇子余代数，并且J 是（C，η）的一个π－＾H－子模，则称J 是（C，η）的一个π－＾H－模子余代数．

定理3．3设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是π－H－余模代数．若I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π是A 的π－H－余模理想，则I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是A＊的π－H＊－模子余代数．

证明 由引理2．3和引理2．4之2）可得证．

定理3．4设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是一个π－H－余模代数．若J＝｛Jα：Jα⊆A＊α｝α∈π是（A＊，¯η）的一个π－H＊－模子余代数，则J⊥＝｛J⊥α｝α∈π是（A，ρ）的一个π－H－余模理想．

证明 注意到J⊥⊥α＝J⊥α，∀α∈π，再由引理2．4和引理2．6可得证．

定理3．5设H 为Hopfπ－余代数，（A，ρ）是一个π－H－余模代数，则I＝｛Iα：Iα⊆Aα｝α∈π是（A，ρ）的π－H－余模理想当且仅当I⊥＝｛I⊥α｝α∈π是（A＊，¯η）的π－H＊－模子余代数．

证明 由定理3．3和定理3．4可得证．

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