探讨递推数列求通项问题

纪宏伟

（如皋高等师范学校，江苏 如皋 226500）

探讨递推数列求通项问题

纪宏伟

（如皋高等师范学校，江苏 如皋 226500）

利用数列的递推关系式求数列的通项公式是数列单元的常见问题，也是近几年高考、模考的热点问题.本文介绍递推数列求通项问题解题策略，并结合高考题和竞赛题验证其具有重要应用价值.

数列；递推式；通项公式

引言

在高考或自主考试中，数列题是压轴题或较难题的题型之一，当它作为压轴题或较难题时，往往结合考查数学思想或数学思想方法，并将函数、导数、方程、不等式等高中数学的主干内容融为一体，呈现出综合性强、知识交叉多、题型变化复杂、思想方法以及能力要求较高的特点.纵览近年来的高考和自主招生试题发现，数列问题如作为压轴题或较难题出现，一般都会具有这么两个特点：（1）命题者通常都会设计一个循序渐进式的“台阶”，第一问为第二问做铺垫，第三问又与前两问有关联，而通常，第一问或第二问一般都是求通项或求和之类问题，至于第三问是什么，有可能是参数取值范围，也有可能是求证不等式，等等，当然，这一问很有难度，目的在于对考生加以区分，但其解题的基础还是前面的台阶;（2）从试题题型模式和基本思路上，具有三式（递推式、通项式、前n项和式）互推形成的“循环推理链”的特点，可用下图来表示：

图1 关系图

1 基本递推式和相应方法

1.1 迭加法类型

例2在数列{an}中，a1=1，an+1=-an+n2，求an.

1.2 迭代法类型

例3设{an}是正项数列，a1=1，(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0，求{an}通项.

1.3 待定系数法类型

形如an+1=λan+μ（λ，μ是常数且λ≠1，μ≠0）类型，可令a+x=λ(a+x)，其中(λ-1)x=μ，x=，从n+1n而构造出一个公比为λ的等比数列{a+}.n

例4已知a1=2，an+1=3an-2，求an.

解 因an+1-1=3(an-1)，{an-1}是一个公比为3的等比数列，a1-1=1，所以an-1=(a1-1)·3n-1，即an=3n-1+1.

1.4 特征根法类型

例5数列{an}中，a1=0，a2=1，an+1=an+6an-1，求an.

1.5 不动点法类型

递推数列求通项公式的基本类型用结构图表述如图2所示.

2 可化为基本递推式的处理策略

2.1 两边同时取倒数

图2 结构图

2.2 两边同时取对数

对于某些根式内是乘积形式的无理递推式，可考虑两边取对数的方法将原式化为熟悉的线性递推式.

2.3 两边同时除以某一因式

有时通过两边同除因式的方法，再加以简单换元，就能将原式转化为前面所述的基本类型.

3.4 两边同时添项或常数

3.5 综合应用

高考、数学竞赛中所给的数列的递推关系式一般都是非基本类型，往往需要策略技巧的综合应用，才可转化为基本类型的结构和模式.

例题11（2010全国大纲卷理科数学压轴题）已知数列{an}中，a1=1，an+1=C-(n=1,2,3…)，（1）设C=，bn=，求数列 {bn}的通项式；（2）求使an〈an+1〈3成立的C的取值范围.

[1]虞 涛.高中课本中的数学基本解题方法[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[2]范端喜.自主招生数学考典[M].北京：北京大学出版社，2013.

[3]雷 波.用不动点法解函数、数列等相关问题[J].中等数学，2008，（10）.

责任编辑：张隆辉

O122

A

1672-2094(2014)05-0154-03

2014-06-25

江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师培养项目(2014),江苏省教育科学“十二五”规划课题“基于概念图的数学教学优化策略研究”阶段性成果（B-b/2013/01/042）.

纪宏伟（1977-），男，江苏通州人，如皋高等师范学校数理系讲师，硕士.研究方向：数学教育、泛函分析、信息技术.