MTF曲面构造方法研究

朱近

（南京理工大学计算机科学与工程学院，南京 210094）

0 引言

调制传递函数（modulation transfer function，MTF）是反映成像系统在对目标物成像过程中信号扩散与衰减程度的函数[1]。MTF以空间频率的函数形式存在，其值的大小反映了光学成像系统的清晰度，是客观表示像质的一个重要指标，并可以扩展到成像过程的各个环节。

假定成像系统具有线性及空间不变性的特点，而MTF是定义在二维空间频率域的实函数，因此可以用一个空间曲面——MTF曲面来描述。在数字成像系统中，MTF二维曲面常用一个MTF矩阵来近似表示。在航天相机系统设计、成像系统品质评价、遥感影像复原等领域[2-4]，准确估算MTF曲面是研究工作的前提。但成像系统MTF曲面不能直接通过测量获得，需要对几个特定方向进行测量，以获取各方向的一维MTF曲线[5-6]，再由这些特定方向的一维MTF曲线构造二维的MTF曲面[7-9]。

本文对现有的构造MTF曲面方法：乘积法和插值法进行分析，提出一种利用多个方向的一维MTF曲线绕中心轴旋转生成MTF曲面算法：旋转插补法。采用（准）高斯函数和4次多项式函数作为二维MTF曲面的模拟标准，对上述各方法的有效性和误差分布进行定量分析。

1 二维MTF曲面构造方法

一维MTF是一条随频率变化的单值连续曲线[10]，其横坐标为频率u，以截止频率作为基准对频率坐标做归一化处理，取频率区间u∈[–0.5,0.5]，u=0.5处称为Nyquist频率；纵坐标为MTF值。曲线MTFu(u)＞0与原点对称，归一化处理后在0频(u=0)处取最大值，MTFu(0)=1。

设空间频率坐标系为UOV，二维MTF曲面MTFuv(u,v)应具有性质：

1）在u,v∈[–0.5,0.5]，MTFuv(u,v)是单值、连续的；

2）MTFuv(u,v)≥0，归一化处理后在原点取最大值MTFuv(0,0)=1；

3）由于模的对称性，MTF曲面与原点对称。

因此，本文对MTF曲面的推导计算均在第I象限进行，由对称性可方便地推广到其他3个象限。目前常用的由多个特定方向的一维MTF曲线，建立二维的MTF曲面的方法包括乘积法和插值法。

1.1 乘积法

已知U、V两个特定方向的MTF曲线分别为MTFu(u)和MTFv(v)，则二维MTF曲面的表达式为[6]

用对称于原点的二维高斯函数模拟MTFuv(u,v)曲面为

式中σ1、σ2为U，V方向的尺度参数；ρ为相关系数。

根据二维概率分布函数的定义，当参数ρ=0时，MTFuv(u,v)函数曲面独立，为

此时的MTFuv(u,v)函数曲面如图1所示，满足MTFu(u)=MTFuv(u,0)，MTFv(v)=MTFuv(0,v)；可用式（1）的计算结果精确构建对应的二维MTF曲面。

在实际成像系统中，二维MTF曲面一般不满足独立性要求[6]。用式（1）构造的二维MTF曲面在±45°方向边界上的值会出现与常规MTF曲面不一致的局部极小现象[3]。

图1 二维高斯曲面Fig.1 2-D Gaussian surface

1.2 插值法

为了弥补乘积法的缺陷，文献[3]提出了一种使用二维插值构造MTF曲面的方法，经推导整理得到计算步骤为：

但在实际计算中，往往无法获得真实的45°方向MTF曲线，文献[4]提出了一种估算MTF45°(0.5)的经验公式，即：

2）根据U方向的MTF向量之间的比例关系进行一维插值：

式中k1和m1为直线方程的斜率和截距；MTFuv(0.5,v)即为通过插值得到的MTF曲面v方向的一维边界函数。

3）通过一维插值获得第I象限中MTF曲面在(u,v)点的值MTFuv(u,v)为

式中k(v)，m(v)为与v相关的中间变量。

使用这种方法需要已知45°方向的一维MTF曲线，增加了构造难度；并且仅使用了45°方向的MTF曲线在u=0.5处的值，没有充分使用45°方向的完整MTF数据。在使用经验公式情况下，边界条件的准确度难以保证。

1.3 旋转插补方法

针对上述两种方法存在的不足，本文提出了一种新方法——旋转插补方法。基于旋转插补方法的两维MTF曲面的构建式为

式中θ为归一化角度，θ∈[0,1]；u,v∈ (0,0.5]；d为(u,v)点到原点距离。计算结果对应第I象限，利用曲面关于原点对称的特性，可得到其他各象限的结果。

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在构造MTF曲面时，如能获得额外方向(φ,φ＜π/2)的一维MTF曲线作为边界条件，则可将旋转插补区间进行分段：将[0,π/2]区间分为[0,φ]和(φ,π/2]两个区间进行构造，这样就能减少MTF曲面重建的误差。

2 实验与分析

2.1 二维M TF曲面的模拟标准设计

由于不同系统的二维MTF曲面形状也各不相同，而且很难测量得到准确的MTF曲面。为定量研究不同方法构造二维MTF曲面的误差，本文设计了两种满足二维MTF曲面特性的函数：准高斯函数和4次多项式函数作为参考标准，用于模拟MTF曲面。设定各向不同性的约束条件：MTFu(0.5)=0.3、MTFv(0.5)=0.2和MTFu(0.5)=0.4、MTFv(0.5)=0.3。所有实验均在MATLAB 7.0环境[11]下进行。

（1）准高斯函数曲面

对于标准高斯曲面的表达式，当使用参数ρ＜0模拟（不满足独立性的）二维MTF曲面时，所构造的函数曲面在(u,v)=0的边界处会出现与常规MTF曲面不一致的局部极小现象。为此对式（2）的相关系数项做修改，得到“准高斯曲面”函数为

由约束条件可计算得到准高斯曲面的参数为：σ1=0.455 68，σ2=0.394 12；ρ为相关系数，可调整曲面的4个顶点值。取ρ=–0.15时，函数曲面如图2所示，其外形与取相同参数σ1和σ2且ρ=0的标准高斯曲面相似，但4个边界点的值大于标准高斯函数。

（2）4次多项式函数曲面

4次多项式函数曲面的数学表达式为

式中a，b为多项式系数。

由约束条件可计算得到参数：a=–1.809 1，b=–2.211 1，函数图形如图3所示。

2.2 实验设计

具体实验步骤如下：

1）用式（1）、（9）和（10）定义的（准）高斯函数以及4次多项式函数作为二维MTF曲面的模拟标准，记为MTFuv0(u,v)；

图2 二维准高斯曲面（ρ=–0.15）Fig.2 2-D QuasiGaussian surface（ρ= –0.15）

图3 4次多项式曲面（a=–1.809 1，b=–2.211 1）Fig.3 4-degree polynom ial surface（a= –1.809 1，b= –2.211 1）

2）根据U和V方向上精确的一维MTF函数曲线，分别用乘积法、插值法和旋转插补法构造MTF曲面：MTFuvi(u,v)；

3）计算MTFuvi(u,v)与标准二维MTF曲面的误差为

E(u,v)为构造曲面与标准MTF模拟曲面在(u,v)点的误差，以4次多项式函数作为标准的MTF曲面，构造误差分布见图4。

Eave为平均误差，与误差的大小和分布有关，期望值为0。

Rmse为均方差，表示构造曲面与标准MTF模拟曲面的总体偏差。实验结果见表1。

表1 M TF曲面构造误差Tab.1 The errors of MTF surface construction

表1中的Emax为实际最大误差。插值法1为式（4）估算4个边界点得到的计算结果，插值法2为由式（3）获取4个精确边界点得到的计算结果。

图4 MTF曲面构造误差分布图Fig.4 The errorsmaps of MTF surface construction

2.3 结果分析

由于高斯曲面（ρ=0）满足独立条件，作为模拟MTF曲面标准时，乘积法可通过U和V两个方向的一维高斯曲线构造得到精确的高斯曲面，所以表1中对应的3个误差都为0。

插值法的误差与4个边界点（MTF45°(0.5)）的精确度相关。在边界点为精确值时（见表1中插值法2），用准高斯函数（ρ=0，–0.15）作为标准，具有很好的重构性，其误差基本为0。在4次多项式函数作为标准曲面时，边界点的精确值为2.6×10–5；而由式（4）计算的估值为(0.2+0.3)/2×0.9=0.225，而导致重构误差增大：Emax=0.225，Rmse=0.0639。

相比之下，旋转插补法具有较小的重建误差，特别是在4次多项式函数作为标准时。但该方法需要对U、V两个方向的一维MTF曲线进行外推计算，因此对一维MTF曲线的精确性有一定的要求。

3 结束语

通过U、V两个方向的一维MTF曲线构造二维MTF函数曲面问题，实际上是一个由特定边界条件构建二维MTF函数曲面的数学问题[13]。为研究构建曲面模型算法，客观评价算法的有效性，在对现有的乘积法、插值法构造MTF函数曲面的方法进行了分析和研究，并提出了一种新的旋转插补法。最后设计使用了（准）高斯函数和4次多项式函数作为二维MTF曲面的模拟标准，对现有的各种方法的有效性进行了定量分析。其结果显示：各种方法在针特定的目标函数和条件时，有各自的优点；但总体上看，旋转插补法具有更好的适用性。

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