克里金插值法内插IGS电离层图精度分析

崔书珍,周金国

(1.重庆工程职业技术学院,重庆 402260;2.国家测绘地理信息局重庆测绘院,重庆 400015)



克里金插值法内插IGS电离层图精度分析

崔书珍1,周金国2

(1.重庆工程职业技术学院,重庆 402260;2.国家测绘地理信息局重庆测绘院,重庆 400015)

采用克里金插值法和常用插值方法内插IGS电离层图数据,获得重庆CORS网5个基准站电离层穿刺点处的VTEC值,和利用5个基准站的GPS平滑伪距观测值解算的VTEC值进行比较,发现克里金插值法和常用插值方法的内插精度相当,故克里金插值法内插IGS电离层图的精度是可靠的。

克里金插值法;双线性插值法;Junkins加权插值法;IGS电离层图;垂直总电子含量

0　引　言

IGS发布的全球电离层图能提供经纬度方向5°×2.5°空间分辨率、2 h时间分辨率的VTEC图,电离层格网图的覆盖范围为南纬 87.5°～北纬 87.5°、东经 180°～西经 180°.每天的数据文件是从 UTC00:00 时到 UTC24:00时,总共 13 个整点时刻的电离层电子含量图,每个时刻的电离层图包含该时刻所有格网点处的垂直电子含量(VTEC)。

全球电离层图在使用时,需采用一定的方法对其进行空间和时间内插[1-5],在进行空间内插时,主要是利用待内插穿刺点周围四个格网点的VTEC值进行内插。本文将IGS电离层图上的格网点看成是电离层单层上的采样点,格网点的VTEC值看成是采样点的属性值,采用地质统计学中常用的克里金插值法内插IGS电离层图获取待内插点处的VTEC值,通过和常用插值方法内插的精度进行比较,分析克里金插值法的内插精度。

1　克里金插值法

克里金插值法(Kriging)是一种空间局部插值方法,是在变异函数理论及结构分析基础上,在有限区域内对区域变量的取值进行最优、无偏估计的一种方法。

对于区域变量Z(x),设其在一系列采样点x1,x2,…,xn上的观测值为Z(x1),Z(x2),…,Z(xn),区域中某个采样点x0处的属性值为Z(x0)的估计值为n个已知采样点属性值的加权和,即[6-7]:

(1)

式中,λi(i=1,2,…,n)为待求的权系数。根据克里金插值方法的原则保证估计量无偏且估计方差最小的前提下,求解方程组得出n个权值系数。方程组为

(2)

式中: γ(xi,xj)为采样点xi与xj间的变异函数值,克里金插值变异函数类型较多,有线性模型、指数模型、球状模型、高斯模型等[7-9],文献[7]对这四种模型进行了研究,发现高斯模型内插结果最差,其他三种模型精度相当,本文选取较为简单的线性模型进行处理,由式(2)可得加权系数λi,将其代入式(1)即可求得未采样点x0处的估计值Z(x0).

2　常用插值法

1) 双线性插值法

双线性插值法,又称为双线性内插。IGS电离层图在使用时,如图1所示,需内插的点M(B,L)处的电离层垂直总电子含量V,可用该点周围的四个格网点P0(B0，L0)、P1(B0，L1)，P2(B1，L1)、P3(B1，L0)的垂直总电子含量V0、V1、V2、V3内插获得,由于文献[1]～[3]中内插公式不一致,在此写出该方法的详细计算步骤。

图1　双线性内插原理图

如图1所示,内插时先在经度方向按线性内插,内插出M′和M″点的垂直总电子含量VM′、VM″,公式分别为

(3)

(4)

在纬度方向按线性内插,由VM′、VM″内插出M点的垂直总电子含量V,公式为

(5)

解出式(3)和式(4)中的VM′、VM″,代入式(5)解出V,即得M点的垂直总电子含量通过经纬度方向内插最终式:

V=(1-p)·(1-q)·V0+(1-q)·p·

V1+p·q·V2+(1-p)·q·V3,

(6)

采用四个格网点进行内插时,也可以先在纬度方向进行内插,再在经度方向进行内插。

2)Junkins加权插值法

广域差分GPS中常采用Junkins加权插值法[4-5]获取用户电离层穿刺点处VTEC值,再根据用户与卫星的几何关系求出投影函数,就可以得到用户观测值的电离层改正值。Junkins加权插值法如图1所示,对图1中的M点的垂直总电子含量V,采用周围的四个格网点P0(B0,L0)、P1(B0,L1)、P2(B1,L1)、P3(B1,L0)的垂直总电子含量V0,V1,V2,V3内插时,采用下面公式进行内插:

V=W0(x,y)·V0+W1(x,y)·V1+

W2(x,y)·V2+W3(x,y)·V3

(7)

式中,Junkins加权插值法权函数W1的表达式为

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W0(x,y)=w(1-xp′,1-yp),

(8)

W1(x,y)=w(xp′,1-yp),

(9)

W2(x,y)=w(xp′,yp),

(10)

W3(x,y)=w(1-xp′,yp).

(11)

权函数式(8)至(11)的一般计算公式为

Wi(A,B)=A2B2(9-6A-6B+4AB).

(12)

式(8)至式(11)中xp、yp分别为

(13)

3　IGS电离层格网内插精度分析

图2　重庆CORS网分布图

本文在利用IGS发布的2007年第247天的电离层图(CODG2470.07I)内插重庆CORS网5个基准站上空电离层穿刺点处VTEC时,由于基准站观测数据文件最后一个时刻是23:59:30,故只内插12个整点时刻的VTEC值,即UTC00:00、UTC02:00、UTC04:00、UTC06:00、UTC08:00、UTC10:00、UTC12:00、UTC14:00、UTC16:00、UTC18:00、UTC20:00、UTC22:00,进行比较和分析。图3示出了UTC12:00时刻重庆CORS网5个基准站所有穿刺点(共28个)及该时刻包含所有穿刺点的电离层格网分布图。

图3　UTC12:00时刻所有电离层穿刺点和周围格网点

在采用双线性插值法和Junkins加权插值法进行IGS电离层图内插获得CORS网基准站穿刺点处VTEC时,利用穿刺点周围四个格网点分别按照式(3)和式(4)进行内插,内插了2007年第247天重庆CORS网5个基准站12个整点时刻共472个穿刺点处的VTEC.在采用克里金插值法内插重庆CORS网5个基准站上空某时刻电离层穿刺点处的VTEC值时,采用包含该时刻所有穿刺点的格网点按照式(2)进行内插。三种插值方法内插的5个基准站穿刺点处VTEC的残差散点图如图4所示,纵坐标为电离层穿刺点处残差值,单位为TECU,横坐标为穿刺点个数序列(共472个残差点),从图上可以看出,三种方法内插的重庆5个基准站上空电离层穿刺点处的VTEC值基本都比利用GPS平滑伪距计算的电离层VTEC值大,且三种插值方法获得的穿刺点处VTEC值的残差分布基本相同。

图4　三种插值方法的插值残差散点图

为了分析三种插值残差的内插精度,采用下面三个指标进行精度评定[10]:

1) 绝对平均误差

(14)

2) 平均相对误差

(15)

3) 均方根误差

(16)

式中: n表示插值个数; VTECai表示三种插值方法内插的VTEC值; VTECλi表示GPS平滑伪距观测值解算的VTEC值,通过上面三个式子分别计算克里金插值法、双线性插值法、Junkins加权插值法的插值残差的绝对平均误差、相对平均误差及均方根误差。

表1是重庆CORS网5个基准站12个整点时刻克里金插值法、双线性插值法、Junkins加权插值法内插的穿刺点处VTEC的精度统计表,最后一行为CORS网综合计算的精度指标值。从表中可以看出,三种插值方法内插的5个基准站472个穿刺点处VTEC三个精度指标的值基本相同,和平滑伪距计算的VTEC值比较,发现克里金插值法内插结果偏大约3.454TECU、双线性插值法内插结果偏大约3.451TECU、Junkins加权插值法内插结果偏大约3.466TECU,表中的数据表明不管是从单个基准站还是整个CORS网比较,三种插值法方法的内插精度基本相当,差异微乎其微。若计算时VTEC值和IGS一致,保留1位小数,则三种内插方法计算的三个精度指标几乎全部相等,如表2所示。

表1　2007年第247天克里金插值法和双线性插值法、Junkins加权插值法精度统计(保留3位小数)　单位：TECU

表2　2007年第247天克里金插值法和双线性插值法、Junkins加权插值法精度统计(保留1位小数)　单位：TECU

为了再次验证三种插值方法的插值精度,笔者采用相同的方法利用IGS电离层格网图内插了2007年第244天的5个基准站上空的电离层穿刺点处的VTEC值,克里金插值法和双线性插值法、Junkins插值法精度统计如表3、表4所示,从表中的数据可以看出,三种方法内插的结果精度相当,与第247天三种内插方法精度分析结论一致。

表32007年第244天克里金插值法和双线性插值法、Junkins加权插值法精度统计(保留3位小数)单位：TECU

测站绝对平均误差克里金插值法双线性插值法Junkins加权插值法平均相对误差克里金插值法双线性插值法Junkins加权插值法均方根误差克里金插值法双线性插值法Junkins加权插值法BANA3.4433.4503.4350.2980.2990.2983.7583.7663.758BISH3.2583.2663.2520.2860.2860.2853.5733.5813.570HECU3.1383.1443.1240.2740.2740.2733.4583.4663.451CHSO3.1983.2053.1860.2800.2800.2803.5283.5363.519YUBE3.1873.1873.1970.2820.2820.2833.5263.5263.546CORS3.2653.2703.2590.2860.2860.2863.5843.5903.584

表4　2007年第244天克里金插值法和双线性插值法、Junkins加权插值法精度统计(保留1位小数)

4　结束语

通过利用克里金插值法、双线性插值法和Junkins加权插值法内插IGS电离层图获取重庆CORS网5个基准站2007年第244、247天每天12个整点时刻467个、472个电离层穿刺点的VTEC,经分析可知:三种插值方法内插IGS电离层图获取的电离层VTEC值,都比平滑伪距观测值解算的电离层穿刺点处的VTEC值偏大,且残差分布基本一致;通过计算三种插值方法内插的VTEC值残差的绝对平均误差、平均相对误差及均方根误差可看出,它们的插值精度相当,故克里金插值法内插IGS电离层图的精度是可靠的。

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Analyse the Interpolation Accuracy of IGS Ionospheric Maps Using the Kriging Interpolation Method

CUI Shuzhen1,ZHOU Jinguo2

(1.ChongqingVocationalInstituteofEngineeringUniversity,Chongqing402260,China; 2.ChongqingInstituteofSurveyingandMapping,NASG,Chongqing400015,China)

Through interpolating IGS ionospheric maps adopted Kriging interpolation method and conventional interpolation methods, the vertical total electron contents (VTEC) of the five base stations in Chongqing CORS are obtained. Comparing the interpolation results to the VTEC with GPS smoothed pseudo-range observations of the five base stations, it is found that the accuracy of Kriging interpolation method and conventional methods is approximately equal, which is proved that Kriging interpolation method can be adopt to interpolate the IGS maps, and its accuracy is reliable.

Kriging interpolation; Bilinear interpolation; Junkins interpolation; IGS ionospheric maps; VTEC

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.010

2016-04-24

重庆工程职业技术学院重点课题(编号:KJA201408); 重庆市教育委员会科学技术项目(编号：KJ1503308)

TP274.2

A

1008-9268(2016)04-0043-05

崔书珍(1979-),女,硕士,讲师,研究方向为精密工程测量及3S技术应用。

周金国(1982-),男,高级工程师,主要从事精密工程测量与GPS技术研究。

联系人： 崔书珍E-mail:shuzhen-303@163.com