绕圆盘空化流动的拉格朗日拟序结构分析

白泽宇，王国玉，吴钦，黄彪

(北京理工大学 机械与车辆学院，北京100081)

0 引言

超空泡技术是一种高效的水下航行器减阻方式，其通过将航行器包裹在空泡中以降低粘性阻力从而实现水下航行器的超高速运动。随着俄罗斯暴风雪高速鱼雷的出现，超空泡航行器及超空泡武器逐渐成为各国研究重点。空化器是水下超空泡航行器的重要组成部分之一，它是空泡起始的地方，不仅影响航行器阻力，也为航行器提供升力和姿态控制［1］。隗喜斌等［2］对锥形空化器的空泡形态进行了分析，发现空泡变化具有延迟性和波动性。孟庆昌等［3-4］考虑了水的压缩性对圆盘空化器超空泡流场的影响，基于势流理论计算了亚声速和超声速圆盘空化器的超空化流动。

空化是一种复杂的气液两相流动，涉及两相之间的相互作用和相界面的非定常变化等问题，多相流模型的选取对空化流动的数值计算至关重要。目前，空化流动的计算多采用基于均质平衡流理论的均相流模型，即将气液两相视为一种介质求解控制方程。如袁绪龙等［5］基于均相流假设，计算并分析了3 种典型空化器的空化流动;时素果等［6］建立了一种基于状态方程的当地均相介质模型计算了绕圆盘空化器的通气超空化流动。采用均相流模型无法准确预测流动的非定常特性，往往需要对湍流模型加以修正，如Johansen 等［7］、黄彪等［8］的研究。近年来，随着计算机技术的发展，非均相流模型逐渐应用到多相流数值计算中，该方法分别对各相求解控制方程，把相间界面看作一个移动的边界，并考虑相间的相互作用，能更好地反映流动细节和非定常特性。Boisson 等［9］运用非均相流模型对二维方腔的气泡上升过程进行了数值模拟，部分结果与实验结果吻合较好;Chahed 等［10］运用非均相流模型对泡状流进行了计算，考虑了湍流输运引起的附加质量力变化，得到的速度场与实验结果吻合较好。目前对于空化流动的数值计算，非均相流模型的应用还不广泛，国内外文献中相关报道很少。

涡旋结构的产生可以强化流场内部的湍流强度，尤其是在空化现象中，从而影响空化现象的发展［11］;在高雷诺数下，空化现象的产生，又会使得湍流场内部产生复杂的涡旋结构，增加湍流场和空泡之间的交互作用，使流动变得更加复杂［12］。因此，涡旋结构的研究对空化现象的理解至关重要。涡旋结构的辨识与分析手段较多，使用最为广泛的是基于欧拉体系的涡量判据、Q 判据［13］、Δ 判据［14］、λ2判据［15］等准则，这些判据均由速度梯度张量中的分量构成，需要对速度梯度张量进行精确计算，因而对速度场的精度要求较高;同时，这些判据需要人为选定阈值才能对涡结构进行较好捕捉，这给未知流场的涡结构识别带来了困难。近年来，基于拉格朗日体系的流动结构辨识方法逐渐发展起来。Haller等［16］将流场看做离散粒子组成的动态系统，识别出了流场中的“拉格朗日拟序结构(LCS)”.LCS 的识别基于“有限时间Lyapunov 指数(FTLE)”的求解，当相邻粒子以不同运动特性运动时，会导致FTLE场中出现突出的“脊”的结构——LCS，Haller［17］及Shadden 等［18］对此方法进行了详细描述。LCS 将具有不同运动特性的流场区域分离开来，因此能很好地捕捉涡旋结构。相比传统的欧拉判据，该方法无需求解速度梯度张量，对速度场的空间分辨率要求低，对其中的异常值不敏感;同时不需要人为设定阈值，因而能反映真实的流动结构。Green 等［19］使用FTLE 方法分析了三维槽道湍流流动，成功辨识了马蹄涡结构。Farrell 等［20］基于LCS 提出了在轴对称射流中的涡结构判据准则。目前，FTLE 方法及LCS在空化流动分析中的应用才刚刚起步，Tang 等［21］用该方法分析了绕水翼非定常空化的演化过程，但对涡结构捕捉效果不理想。其他文献中暂未见到该方法在空化流动研究中的应用。

本文采用非均相流模型计算了绕圆盘空化器的非定常空化流动，通过求解FTLE 场识别了流场中的LCS，并结合传统的欧拉分析方法对绕圆盘空化器空化流场涡旋结构的发展规律及流动机理进行了分析。

1 非均相流模型

非均相流模型对每一相单独求解，需要考虑相间传输和相间作用力。第n 相的控制方程为

连续性方程:

式中:αn为第n 相的体积分数为第n 相中的质量源;Smn'为单位体积流体中从n'相到n 相的质量传输流量，本文中的质量传输由空化引起。

动量方程:

式中:μn为第n 相的分子粘性系数;μt为湍流粘性系数;αnρnfi为第n 相中外部体积力;Mni为其他相对第n 相的作用力;为由于相间质量输运引起的动量输运项。

以上控制方程采用标准k-ε 湍流模型封闭［22］，空化模型采用Kubota 空化模型［23］。

2 拉格朗日拟序结构

2.1 Lyapunov 指数

Lyapunov 指数是描述混沌现象的一个重要参数，被用来度量相空间中两条相邻轨迹随时间按指数率收敛或发散的程度［21］。对于初始位置无限接近的两个质点x0和x0+δx0(δx0趋于无穷小)，他们的运动轨迹间发散的平均指数率，即Lyapunov 指数，可通过(3)式计算得到:

式中:δx(x0，t)表示质点的离散程度，其值与质点初始位置x0和时间t 有关。σ ＜0 时，表示相邻点最终靠拢为一点，对应于不动点和周期运动;σ=0 时，系统维持在稳定分离状态;σ ＞0 时，表示相邻点最终将分离，对应于轨迹的局部不稳定性。

2.2 FTLE 和LCS

FTLE 是描述初始时刻系统空间中两个无限接近的流体质点的相对距离在有限时间范围内的平均变动率。x0处的有限时间柯西-格林变形张量［18］定义为

式中:tLE为运动时间;x(t0+tLE;t0，x0)为t0时刻位于x0位置的质点运动 tLE时间后所处位置;为变形梯度张量。FILE 定义为

式中:λmax((x0))定义为(x0)的最大特征值。FTLE 场是一个标量场，它反映了当前时刻流体的特性。当相邻粒子以不同运动特性运动时，会导致FTLE 场中出现突出的“脊”的结构，这种结构称之为LCS.利用LCS 可以分割不同运动特性的流场，从而捕捉流场潜在的动态力学和几何学特性。

3 结果与讨论

本文所取的计算流域和实验段［24］完全相同，为190 mm×70 mm×700 mm，计算采用的圆盘与实验［24］中的几何尺寸相同，其直径为D=15 mm，圆盘后部采用倒锥结构，倒锥角为120°;圆盘后有一支杆，直径d =6 mm.图1给出了计算区域其网格划分。圆盘前端的区域采用C 型结构化网格划分，以较好匹配圆盘头部的形状，在圆盘钝体周围近壁区域进行了网格加密，近壁面y +值为20 ～80 之间，满足壁面函数要求，网格总数为230 000.文献［6］中对本文计算工况做了网格无关性验证，得出网格总数大于180 000 时，空化器阻力系数差别较小。考虑到求解FTLE 场对速度场样本点数量的要求，本文选取的网格总数大于文献［6］.采用速度入口作为边界条件，所取速度ui=10.5 m/s 也和实验工况一致，此时以圆盘直径为特征长度的雷诺数为1.79×105.出口采用压力出口，圆盘表面采用无滑移固壁条件。

图1 计算域及网格划分Fig.1 Computational domain and gir d

数值计算的时间步长取5×10-4s，计算FTLE场时采取的积分时间tLE为0.037 5 s(75 倍时间步长)。

3.1 计算模型验证

表1给出了采用非均相流模型计算得到的空穴形态及截面含气量分布的非定常变化过程，并与实验结果进行了对比，T 为数值计算得到的空穴发展周期。由表1可以发现，采用非均相流模型计算得到的结果与实验结果吻合较好，二者表现出相似的非定常特性。在计算工况下，绕圆盘的空化流动处于典型的云状空化阶段，在圆盘后部产生了一个环状空穴，空穴前端为透明气相区，中后部为水气混合区，如表1中圆圈所示。两个区域之间存在强烈的相互作用，在反向射流的作用下，透明气相区的范围周期性增大和减小;整个云状空泡团表现出较为规律的非定常特性，空泡绕支杆呈螺旋状向后发展，支杆四周的环状空穴交替性的膨胀收缩，收缩时发生断裂脱落，表现出明显的周期性，数值计算得到的周期为T=21 ms，与文献［24］实验值19 ms 较为接近。

表1 实验结果与数值计算非定常空穴形态结果对比Tab.1 Experimental and calculated unsteady cavity forms

3.2 FTLE 分布与LCS 分析

表2给出了截面含气量αg分布、Q 分布和FTLE分布。Q 分布为欧拉体系下的涡判据准则，其定义为Q=1/2(|Ω|2- |S|2)［21］，式中:Ω 为涡量张量，反映旋转效应;S 为应变速率张量，反映变形效应。Q ＞0 的区域定义为涡，即在涡旋的区域内流体的旋转比较应变率大小而言起主导作用。

表2中黑色实线为流线，用以直观表现在当前时刻下的流动状态和涡旋结构。由表2可以发现，绕圆盘的空化流动属于典型的涡空化，在圆盘后部的空化区域内存在一个大尺度涡旋结构，围绕在支杆四周。由含气量分布图可以发现，涡心的位置处于环状空穴的闭合端，随着支杆四周空穴交替性的膨胀收缩，涡心的位置也交替前后运动，且涡心的运动相对于空穴的运动有所延迟，t0+2/6T 时刻，支杆上侧的空穴膨胀到最大，下侧的空穴收缩到最小，而涡心在t0+3/6T 时刻才运动到上下游的极限位置。由Q 分布图可以发现，在圆盘前端，有一个Q ＜0 区域，说明该区域内，流体的变形效应占据主导地位，从流线图中可以看出该区域没有形成涡结构;圆盘后部，存在Q ＞0 的区域，说明该区域内，流体的旋转效应占据主导地位，存在涡旋结构，该区域与空穴覆盖区域重叠较好。根据Q 判据的理论，涡心处应该具有最大的Q 值，涡边界处的Q 值较小。而对于绕圆盘的空化流动，存在若干个Q 极大值，可以发现Q 的极大值区域并没有与涡心重叠，且Q 最大值出现在圆盘圆锥段后部，这说明Q 判据不能准确捕捉涡心的位置，只能大致表现存在涡旋结构的区域;同时也说明对于绕圆盘空化流动中的大尺度涡旋结构，Q 判据的效果不好，没有准确识别出涡的边界。文献［25］中指出，对于大尺度涡的识别，基于欧拉体系的判据准则存在较大的困难，这与本文得到的结论一致。

观察表2中的FTLE 分布可以发现，绕圆盘的空化流场中出现了明显的LCS，即图中红色的部分。LCS 分为两种:1)在圆盘前端出现了两条平直的LCS;2)在圆盘后部，支杆的两侧出现了环状的LCS.需要注意的是，求解FTLE 场时会过度预测壁面的FTLE 值，文献［21］中也提到了这一点，因此只关注远离壁面区域的LCS.

1)对于圆盘前端的平直LCS，观察不同时刻的FTLE 分布可以发现，随着时间推移，两条LCS 始终保持平行，在圆盘前端划分出一个窄流道。观察流线图可以发现，在LCS 形成的流道内，流线延伸至圆盘端面后贴壁向两侧发展，而流道外的流线直接绕过圆盘，延伸至圆盘后部流场区域。这说明流道内的质点流动受到圆盘阻碍，而流道外的质点能畅通地往下游流动，二者具有不同的运动特性，因而被LCS 分割开来。

2)对于圆盘后部的环状LCS，图2给出了其局部放大图。Haller 等［16-17］通过严格的数学推导证明，流体微团将在涡旋边界面上出现最大拉伸率或压缩率，因而能被LCS 捕捉到。结合流线图可以发现环状LCS 很好地捕捉了圆盘后端空化区域的两个涡旋结构，LCS 与涡旋的边界吻合较好;涡心处于环状LCS 的包裹之中，LCS 的运动规律与涡心保持一致。由此说明LCS 能准确识别大尺度涡旋结构，且能捕捉涡心的位置。

表2 含气量分布、Q 分布和FTLE 分布Tab.2 Gas volume fraction，Q-criterion and FTLE

值得一提的是，LCS 是FTLE 场中的极大值构成的“脊”结构，其对涡旋结构的识别不需要人为设定阈值，而基于欧拉体系的涡判据的识别效果很大程度上依赖于设定的阈值，如前文所用到的Q 分布。

结合表2和图2，可以说明空化发展与涡旋结构运动之间的关系。空穴尺度增大时，其内部含气量升高，两相界面更为清晰，由表2的流线图和Q分布图可以发现，流线分布更为密集且Q 值增大，说明位于空穴闭合端的涡旋结构得到加强;由FTLE分布图可以发现，空穴尺度增大时，LCS 尺度变小，主要分布在空穴闭合端，说明此时的涡旋结构范围变小，分布更为集中。

图2 环状LCS 局部放大图Fig.2 Details of circular LCS

LCS 将流场划分为运动特性不同的若干区域，为了进一步分析不同流场区域的流体运动特性，分别在5 个区域放置了一簇追踪粒子，用不同颜色表示。表3给出了0.93T(T 为周期)内典型粒子的运动轨迹即迹线，给出了运动0.465T 后粒子所处的位置，初始位置用矩形符号表示，末了位置用倒三角符号表示。由表3可以发现，对于1 和2 区域的粒子，其迹线绕过圆盘和涡旋区向下游流动，由粒子的始末位置可以看出，初始时刻呈团状排列的粒子在运动过程中被拉伸成直线排列，这是由于粒子间的运动速度存在差异，受到圆盘的阻碍作用，沿中轴线向两侧，粒子的运动速度逐渐增大。对于3 区域的粒子，其迹线到达圆盘后终止，由始末位置分布同样可以看出，初始时刻呈团状分布的粒子在运动0.465T后在圆盘前端面均匀分布，表示该区域的粒子到达圆盘端面后贴壁向两侧运动。对于4 和5 区域的粒子，其运动的轨迹较为复杂，粒子的运动受涡旋结构的大小以及涡心与粒子的相对位置影响，通过观察不同时刻的FTLE 及LCS 分布，可以得出以下规律:1)由表3的迹线图可知，环状LCS 中的粒子呈螺旋状向外运动，运动到LCS 边界后，粒子随主流向下游流动;部分粒子会受到反向射流的影响，运动到圆盘端面，如t0+4/6T 时刻4 区域的粒子。2)由表3的粒子始末位置图可知，分布于大尺度LCS 中心的追踪粒子，其运动规律较为一致，在运动0.465T 后，其相对位置变化不大，仍保持团状分布，如t0时刻4区域和t0+4/6T 时刻5 区域的粒子，这是因为大尺度LCS 内部的FTLE 值较小，相邻粒子的分离程度较小;对于小尺度LCS 中的粒子以及分布于环状LCS 边界上的粒子，其分离程度较大，如t0+2/6T时刻4、5 区域的粒子。

表3 追踪粒子迹线图及始末位置分布Tab.3 The tracks and position changes of particles

3.3 反向射流分析

图3给出圆盘后端面FTLE 分布以及速度矢量的局部放大图，由图3可以发现，圆盘后端面附近的位置，近壁面存在低FTLE 值的区域，见圆圈标示的位置。t0+2/6T 时刻，该区域出现在支杆下侧，t0+5/6T 时刻出现在上侧，由速度矢量图可以发现，该区域的反向射流强度较大。图4给出了4 条监测曲线上X 方向的速度分布，监测曲线位置见图3(a)所示。由图4可以发现，远离壁面的区域，速度大小与来流一致;在气液交界面具有很大的速度梯度，速度迅速减小;近壁面附近，由于反向射流的存在，速度减小为负值。t0+2/6T 时刻，4 个位置的负向速度均为支杆上侧较小，支杆下侧较大，说明下侧低FTLE 区域反向射流强度较大;t0+5/6T 时刻，速度分布规律相同，与t0+2/6T 时刻呈上下对称状分布。对比4 个位置的速度分布图发现，沿圆盘端面往后，反向射流的强度逐渐增大，这是因为圆盘限制了反向射流的发展。

图3 圆盘后端面FTLE 分布与速度矢量图Fig.3 FTLE and velocity vector distribution on the back face of disc

图5给出了相应时刻的空穴形态及含气量分布图。由图5可以发现，在低FTLE 区域的一侧，透明气相区范围较小，且空穴收缩至最小，空泡出现断裂和脱落，这是由于该时刻反向射流强度较大，沿支杆推进的距离较大造成的。支杆四周的反向射流的强度交替增大和减弱，呈现周期性变化，故引起了环状空穴周期性的膨胀收缩，造成了空穴的交替断裂和空泡脱落。

图4 X 方向速度分布Fig.4 Velocity distribution in X direction

反向射流与主流共同构成了圆盘下游的大尺度涡旋结构，因此反向射流强度的变化必然会引起涡旋结构的变化和运动。结合图2、表3可以发现，反向射流强度较大的一侧，环状LCS 结构较大，且涡心位置距圆盘较近。由于主流强度与来流速度有关，在流动中较为稳定，因此反向射流强度的增大会引起大尺度涡旋结构的增大，从而引起涡心向上游运动。3.2 节中提到涡心的运动与空穴的膨胀收缩正是由于二者的运动均由反向射流强度变化引起。

图5 空穴形态及含汽量分布图Fig.5 Cavity forms and gas volume fraction

图6 截面流线分布图Fig.6 Streamlines on the axial cross section

为了分析LCS 与壁面分离的现象以及反向射流强度变化的原因，在距离圆盘后端面1 mm 处取了一个截面，如图5(a)所示，图6给出了截面上的流线图。由图6可以发现，支杆周围的流动存在明显的三维效应，流线存在同一个起始点，且起始点位置并不在支杆壁面上，而是与支杆存在一定距离，如图中圆圈所示。起始点引出的流线分为不对称的两股，从支杆的两侧形成三维绕流，并在起始点逆时针方向90°的位置汇聚成一股。随着时间发展，起始点的位置逆时针绕支杆转动，这与空泡绕支杆螺旋状发展规律一致。观察t0+2/6T 和t0+5/6T 时刻的流线图，可以发现起始点正好处于支杆四周低FTLE 区域边界的位置。结合图3和图4可以发现，流线起始点实际上是反向射流最集中、强度最大的位置，反向射流沿轴向发展到圆盘端面附近后，受到圆盘的阻碍作用，从支杆两侧绕过，形成三维绕流。近壁面低FTLE 区域位于起始点内侧，与远离壁面的区域具有不同的流动状态，从流线图可以发现，起始点靠近壁面的一侧形成绕支杆的三维流动，远离壁面的一侧流线向流场中发散。

4 结论

本文采用非均相流模型计算了绕圆盘的非定常空化流动，通过求解FTLE 场识别了流场中的LCS，并结合传统的欧拉分析方法对绕圆盘空化流场涡旋结构的发展过程及流动机理进行了分析，得到了以下结论:

1)非均相流模型能准确预测绕圆盘空化流动的非定常特性，表现出云状空泡团绕支杆的螺旋状发展以及支杆四周空穴的交替膨胀收缩和空泡脱落，空穴形态呈周期性变化，与实验结果一致。

2)LCS 将流场划分为运动特性不同的区域:①平直段LCS 在圆盘前端划分出窄流道，流道外的流体质点绕过圆盘向下游流动，流道内的流体质点流动受到圆盘阻碍，贴壁向两侧运动;②环状LCS 准确捕捉了圆盘后部大尺度涡旋结构的边界及涡心的位置，且能捕捉涡的运动规律，对涡结构的识别效果明显好于Q 判据;LCS 内部的流体质点呈螺旋状往外运动，达到LCS 边界后随主流往下游流动，环状LCS 结构越大，其内部质点的运动规律越接近。

3)随着空穴尺度的增大，涡旋结构得到加强，且涡旋结构的尺度减小，分布范围更加集中。

4)反向射流强度的周期性变化是造成空穴和涡旋结构周期性变化和运动的原因;圆盘后端面出现低FTLE 值区域，这是由于反向射流强度增大造成的;支杆附近绕流存在明显的三维效应，其轴截面上存在流线起始点，对应低FTLE 区域的边界，起始点两侧流动状态不同。

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