圆周运动临界问题规律及高考链接

白鹏翔

摘要：高中物理中，临界问题很多，其中圆周运动的临界问题一直是高考的热点问题，此类问题分为竖直平面与水平面内的圆周运动。文章就竖直平面内圆周运动的规律及共性的问题做一下总结，并就在高考中的题型进行一下追踪，分析综合点及解决思路。

关键词：竖直平面；圆周运动；临界条件；高考链接

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2014）02-0103-03

圆周运动的临界问题在高考中题型有时以选择题出现，有时在综合性计算题当中出现，多与机械能守恒、动能定理、动量守恒、牛顿定律等知识综合应用，竖直平面内的圆周运动的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，分以下几种情况讨论：

第一类问题：绳拉球、水流星、外侧轨道最高点的临界问题（如图1、2所示），此类问题的解题思路是一样的，即临界条件并求出临界速度。

思路：由一般到特殊。一般情况下，如果弹力不为零，则方向一定向下，小球受到重力与弹力（绳子的拉力或外侧轨道的支持力，或容器底面对水的支持力）的作用，向心力公示的表达式为G+F=mv2/R，弹力随着速度的增加而增加、减小而减小，当速度减小到F=0时，线速度具有最小值，此时有G=mv2/R，v=■，所以F=0为小球恰好能过最高点的临界条件，临界速度为v=■（注：如果小球的线速度小于■，则会做向心运动），即小球能做完整的圆周运动的条件为F≥0，此时v≥v=■。

例1 如图1中绳长为L，求小球恰好能过最高点的速度（ ）

A ■ B v=■ Cv=■ D ■

变式1-1 在上题的基础上，求小球在最低点的速度？

变式1-2 求小球在最低点受到绳子弹力大小？

变式1-3 如果把小球换成是盛水的小桶，问，要使水桶转到最高点不从小桶里流出来，这时小桶的线速度至少是多少？（ ）

A■ B■ C■ D 2■

分析：例1中答案无可非议为A，变式1-1是把临界问题与机械能守恒定律相结合，由mg2L+1/2mv2=1/2mv2x，v=■，解得：vx=■；在变式1-2中由F箒G=mv2x/L，解得F=6mg；变式1-3例1的答案一样为■。这样在总结共性问题的过程中，达到举一反三、触类旁通的效果。

高考链接：

1.（2007年全国二卷23题）如图4所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，一质量为m的物体从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物体能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间压力不能超过5mg，（g为重力加速度），求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

分析：这是一道圆周运动的临界问题与机械能守恒相综合计算题，设物块在圆形轨道的最高点的速度为v，由机械能守恒定律得

mgh=2mgR+1/2mv2 ①

物块能过最高点的条件为F≥0，mg+F=mv2/R ②

解得v≥■ ③

联立①、③式，解得h≥2.5R ④

又由于F≤5mg，由②式得v≤■gR ⑤

联立①、⑤式得h≤5R。所以h的取值范围为2.5R≤h≤5R。

2.（2008年全国统一招生 天津卷24题）如图5所示，光滑水平面内上放着一个质量mA=1kg的物块A与质量mB=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能EP=49J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示，放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点C.取g=10m/s2，求：（1）绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；（2）绳拉断的过程对B的冲量I的大小；（3）绳拉断的过程对A所做的功。

分析：做对这道题的关键是结合物体的受力情况分析清楚两球的运动过程，在松开手后到弹簧恢复到原长的过程中，A球静止，B球做加速运动，再到绳子断开过程中，A加速，B减速，直到绳子断了后，B球到达圆形轨道做圆周运动：

（1）在绳子拉断的瞬间，会对B做功、给B一个冲量，由于水平面光滑，小球B刚冲上轨道的速度等于绳子刚拉断时速度vB，用动能定理与动量定理都无法求出小球B获得的速度，所以分析全过程，在绳子刚断开到小球到达C点的过程中，机械能守恒，而且题目当中隐含了一个重要的条件就是“B恰能到达最高点C”，即达到临界速度，临界条件弹力F=0，只有重力提供向心力，即mBg=mBv2/R，v=■ ①

这样B球在最高点的机械能就知道了，就等于绳子刚断开时B球的动能，由机械能守恒定律得1/2mBvB2=2mBgR+1/2mBv2 ②

联立①、②，解得：vB=5m/s。

（2）在弹簧恢复到自然长度时，B物体获得的速度为v1

（此过程中A一直处于静止状态），由能量守恒定律得EP=1/2mBv12 ①

此后一直到绳子断开过程中，只有绳子拉力对A、B做功，对B应用动量定理，规定向右为正方向，有I=mBvB箒mBv1②

联立①、②，得I=4箒N.s，方向水平向左。

（3）设向右方向为正方向，在绳子刚断开的一瞬间，绳子对A物体有向右的弹力，所以A物体离开墙面，所以A、B组成的系统动量守恒，有mBv1=mAvA+mBvB ①endprint

对A，由动能定理得W=1/2 mAvA2 ②

联立①、②，解得W=8J。

总结：这是一道典型的多过程、多知识点的综合性计算题，把圆周运动的临界问题与动量定理、动能定理、动量守恒、能量守恒结合起来，覆盖的重点知识点多，综合性强，对学生的分析、解决问题的能力有很好的考查效果，做对这道题的关键就是找着圆周运动的临界条件，求出临界速度。

第二类问题：把绳子换成杆或者是双侧轨道（如上图3所示）。因为杆与绳子的弹力不一样，杆的弹力可以向各个方向，在最高点时，弹力的方向可以向上，也可以向下，所以弹力为零是临界条件，临界速度也为v=■，如果v>■，则需要的向心力不够，需要弹力补充，即杆的弹力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，弹力方向向上，所以杆的弹力可以为推力也可以为拉力。同样，双侧轨道内侧轨道弹力方向向上，外侧轨道弹力方向向下，上下弹力都为零为临界条件，此时有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外侧轨道有弹力，方向向下，如v<■，内侧轨道有弹力，方向向上。

高考链接：

例2（2004年全国理综） 如图6轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F（？摇 ？摇）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

变式2-1 长L=0.5m，质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m=2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（图4），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1=1m/s时；②当A的速率v2=4m/s时。

变式2-2（1999年全国卷） 长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图4所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（？摇 ？摇）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力

C.24N的拉力？摇 ？摇D.24N的压力

分析：由以上分析不难得出，例2选择答案D，变式2-1，先求出临界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，杆对小球的弹力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同样的方法分析变式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球对杆的力为压力，互为相互作用力，大小也为6N，故选择B。还有一种方法，就是在不知道弹力方向的情况下，规定重力方向为正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F为正值，则与规定的正方向相同（方向向下），如为负值则与规定的正方向相反（方向向上）。

第三类问题：车过桥，此类问题如果有弹力，方向一定向上，向心力表达式为G箒F=mv2/R，弹力随着速度的增大而减小，当速度增大到F=0时，此时v=■，如果速度再增大（即v>■），车就会离心而做平抛运动。

总结：这三类问题的临界条件都为弹力F=0，为共性问题。其分析思路也一样：

1.确定研究对象，对其最高点受力分析；

2.结合向心力公式，分析临界条件，求出临界速度；

3.求解。

在与其他知识点综合考察的高考计算题中，先分析清楚是哪一类临界问题，然后运用各自的规律找出临界条件，求出临界速度，以速度作为纽带与其他知识点进行综合。

对A，由动能定理得W=1/2 mAvA2 ②

联立①、②，解得W=8J。

总结：这是一道典型的多过程、多知识点的综合性计算题，把圆周运动的临界问题与动量定理、动能定理、动量守恒、能量守恒结合起来，覆盖的重点知识点多，综合性强，对学生的分析、解决问题的能力有很好的考查效果，做对这道题的关键就是找着圆周运动的临界条件，求出临界速度。

第二类问题：把绳子换成杆或者是双侧轨道（如上图3所示）。因为杆与绳子的弹力不一样，杆的弹力可以向各个方向，在最高点时，弹力的方向可以向上，也可以向下，所以弹力为零是临界条件，临界速度也为v=■，如果v>■，则需要的向心力不够，需要弹力补充，即杆的弹力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，弹力方向向上，所以杆的弹力可以为推力也可以为拉力。同样，双侧轨道内侧轨道弹力方向向上，外侧轨道弹力方向向下，上下弹力都为零为临界条件，此时有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外侧轨道有弹力，方向向下，如v<■，内侧轨道有弹力，方向向上。

高考链接：

例2（2004年全国理综） 如图6轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F（？摇 ？摇）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

变式2-1 长L=0.5m，质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m=2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（图4），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1=1m/s时；②当A的速率v2=4m/s时。

变式2-2（1999年全国卷） 长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图4所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（？摇 ？摇）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力

C.24N的拉力？摇 ？摇D.24N的压力

分析：由以上分析不难得出，例2选择答案D，变式2-1，先求出临界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，杆对小球的弹力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同样的方法分析变式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球对杆的力为压力，互为相互作用力，大小也为6N，故选择B。还有一种方法，就是在不知道弹力方向的情况下，规定重力方向为正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F为正值，则与规定的正方向相同（方向向下），如为负值则与规定的正方向相反（方向向上）。

第三类问题：车过桥，此类问题如果有弹力，方向一定向上，向心力表达式为G箒F=mv2/R，弹力随着速度的增大而减小，当速度增大到F=0时，此时v=■，如果速度再增大（即v>■），车就会离心而做平抛运动。

总结：这三类问题的临界条件都为弹力F=0，为共性问题。其分析思路也一样：

1.确定研究对象，对其最高点受力分析；

2.结合向心力公式，分析临界条件，求出临界速度；

3.求解。

在与其他知识点综合考察的高考计算题中，先分析清楚是哪一类临界问题，然后运用各自的规律找出临界条件，求出临界速度，以速度作为纽带与其他知识点进行综合。

对A，由动能定理得W=1/2 mAvA2 ②

联立①、②，解得W=8J。

总结：这是一道典型的多过程、多知识点的综合性计算题，把圆周运动的临界问题与动量定理、动能定理、动量守恒、能量守恒结合起来，覆盖的重点知识点多，综合性强，对学生的分析、解决问题的能力有很好的考查效果，做对这道题的关键就是找着圆周运动的临界条件，求出临界速度。

第二类问题：把绳子换成杆或者是双侧轨道（如上图3所示）。因为杆与绳子的弹力不一样，杆的弹力可以向各个方向，在最高点时，弹力的方向可以向上，也可以向下，所以弹力为零是临界条件，临界速度也为v=■，如果v>■，则需要的向心力不够，需要弹力补充，即杆的弹力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，弹力方向向上，所以杆的弹力可以为推力也可以为拉力。同样，双侧轨道内侧轨道弹力方向向上，外侧轨道弹力方向向下，上下弹力都为零为临界条件，此时有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外侧轨道有弹力，方向向下，如v<■，内侧轨道有弹力，方向向上。

高考链接：

例2（2004年全国理综） 如图6轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F（？摇 ？摇）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

变式2-1 长L=0.5m，质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m=2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（图4），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1=1m/s时；②当A的速率v2=4m/s时。

变式2-2（1999年全国卷） 长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图4所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（？摇 ？摇）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的压力

C.24N的拉力？摇 ？摇D.24N的压力

分析：由以上分析不难得出，例2选择答案D，变式2-1，先求出临界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，杆对小球的弹力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同样的方法分析变式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球对杆的力为压力，互为相互作用力，大小也为6N，故选择B。还有一种方法，就是在不知道弹力方向的情况下，规定重力方向为正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F为正值，则与规定的正方向相同（方向向下），如为负值则与规定的正方向相反（方向向上）。

第三类问题：车过桥，此类问题如果有弹力，方向一定向上，向心力表达式为G箒F=mv2/R，弹力随着速度的增大而减小，当速度增大到F=0时，此时v=■，如果速度再增大（即v>■），车就会离心而做平抛运动。

总结：这三类问题的临界条件都为弹力F=0，为共性问题。其分析思路也一样：

1.确定研究对象，对其最高点受力分析；

2.结合向心力公式，分析临界条件，求出临界速度；

3.求解。

在与其他知识点综合考察的高考计算题中，先分析清楚是哪一类临界问题，然后运用各自的规律找出临界条件，求出临界速度，以速度作为纽带与其他知识点进行综合。