数学认知结构的形态及其运作方式

顾志能

现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。在影响学习的诸多因素中，认知结构是决定学习成效的一个关键和直接因素。基于这样的理论，要开展数学教学的研究，就需要对数学认知结构有正确的认识和全面的把握。

李士锜教授对此开展了研究，他提出，数学认知结构在形式上可以看作是由节点和连线组成的复杂的网络。节点就是结构中的元素或对象，它表示数学对象（如概念、性质等）在心理上的表示形态，即数学对象的心理表象。连线则是元素间存在的稳定的联系，它是认识理解问题的入口，是回忆知识的线索，又是指明节点“地址”的“指针”。 数学认知结构最基本的形式有三种：线性结构、树形结构和网络结构（如图1）。

图1

这样的观点，较为形象地展现了数学认知结构的组成形式，也在一定程度上刻画了数学认知结构的运行机制，这为深入研究数学认知结构提供了有益的启示。

然而，尽管李士锜教授对数学认知结构给出了如此形象的解读，但他却又和大多数研究者持有相同的观点，即“心理结构或认知结构只能看作是心理现象、思维形态的一种假设。这个结构不能被肉眼看到，目前也很少有可能真实地全面地描绘出来”。

这就是对数学认知结构的研究一直以来都面临的障碍——不能描绘并呈现出数学认知结构。但显然，这样的观点让人疑惑——倘若我们不知道数学认知结构具体的形态，我们又凭什么去讨论数学认知结构这个概念呢？而“学习的过程就是学生原有认知结构改变或完善的过程”的共识，我们又怎样去认识并研究它呢？

基于上述原因，笔者想在学习相关研究的基础上，结合自己的教学实践和思考，尝试着对数学认知结构的具体形态作一描绘，并简要分析其运作的基本形式。

一、数学认知结构的形态

首先，笔者也倾向于用网络图的形式来表达数学认知结构。之所以如此，是因为笔者觉得，既然“数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结构”，那么，它就应当是以数学知识为基础“材料”，以学习者个性心理特征为“黏合剂”，从无至有、从简单到复杂，逐步搭建起来的一个“建筑物”。而我们所教学的数学知识，其结构有鲜明的层次性和逻辑性，具有网络状的结构，这就会导致我们在搭建“建筑物”时，不可避免地会以这个网络状结构为基本框架，然后去逐步扩展并建构。那么，如此建立出来的数学认知结构，自然也就会具有网络状的结构，即可以用网络图的形式来表达。

下面，笔者就以“三角形”为例，试着描绘某个学生在学习三角形这个单元后，他头脑中具有的关于三角形的认知结构。

图2

图2中的A、B两个圆角矩形，分别表示三角形和平行四边形两个知识点，这样的点，我们暂且称之为基点。基点是认知结构中组成数学结构的主要知识点。在基点的周围，散布着很多个椭圆，这些椭圆中的内容，我们不妨称之为附点。附点与基点紧密相关，主要反映的是基点的属性、特征，或学习者的学习经历、情感等。如图2中，三角形的附点有“概念”“画高”“稳定性”“三边关系”“摆小棒”等很多个。如把这些附点进一步分类，我们就会发现它们可分为指向于知识、技能、思想、经验、情感等不同的方面。如“概念”“三边关系”等就属于知识范畴，“画高”“拼组”则体现出技能的特性，“分类”带有一定的数学思想内涵，“摆小棒”“拼内角”等，较多地反映了学生的活动经验，“有趣”“很麻烦”则是学生学习情感的展示。基点和附点之间，或附点与附点之间，都有一些连接线，这些连接线，我们姑且称之为通道。通道反映了点和点之间存在着内在的联系，这个联系事实上就是学生头脑中对数学知识组织方式的体现。

这样，一个网络状的关于三角形数学认知结构图就呈现出来了（虚线左侧部分）。这个网络图与数学知识结构图的最大区别——它并非仅是三角形知识点的罗列，而是包含着学生对三角形相关内容的理解、感受、经验、情感等各种成分，并且是经由学生的心理重组后而得到的结构图。

从这个结构图中我们还可以看到，三角形的附点“内角和”“拉得动拉不动”“拼组”“沿高剪拼”，都与平行四边形（虚线右侧部分）有一定的联系，如“由三角形内角和180°”可联想至“平行四边形内角和360°”。于是，三角形的数学认知结构就通过这样的附点以及通道，搭建到了（或者联系上了）平行四边形的数学认知结构，数学的认知结构由此可得到扩张。

可以想见，平行四边形认知结构也是一个像三角形那样的复杂系统，而与三角形、平行四边形有关的数学内容还有很多，这些内容都各自会拥有类似这样的系统。这很多个复杂的系统，最后就与三角形、平行四边形一起汇成了一个更加庞大、更加错综复杂的大网络。然而，这个大网络，主要涉及的还仅仅是几何领域。那么，数学的其他领域的内容呢？也都可组成各种各样的网络。最终，这些不同的网络，却又通过内在的微妙的联系，交织在一起，形成了一个更庞大的网络——关于数学的认知结构网。

这样的网络，仅规模而言，就已经复杂到几乎让人难以全面地描述了。带给人更大的挑战是，在这个网络中，除却展现数学知识的基点和部分附点尚可分析外，那些体现学生个体的认知状况、心理特征的附点及相关通道，我们又怎么可能全部知悉，怎么可能准确地建构它们呢？站在这样的角度来想象，一个人的数学认知结构的确“很少有可能真实地全面地描绘出来”——实在太复杂了。

二、数学认知结构的运作方式

研究表明，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。其中的“相互作用”，主要形式就是我们常说的“同化”和“顺应”。下面拟结合实例，以这个过程中数学认知结构运作形式的角度对同化和顺应作具体诠释。

（一）连接旧基点，建立新通道，认知结构自然地扩张——同化

学生在学习新的数学内容时，教师往往会以待解决的问题形式刺激他们，此时，学生就会从脑中已有的数学认知结构中去搜寻可用的资源（即结构图中的有关基点及附点，主要是基点）。倘若，这些基点能对待解决的问题作出解释或处理，那么，新的数学内容就与原有的基点建立起了有意义的联系，解决问题的有效通道（可能是多条）就得以形成，问题得以解决。这就是同化的过程，即把新的数学内容纳入到了原有认知结构中，原有认知结构得到自然扩张的过程。endprint

以“小数加减法”为例，在学习这个内容前，学生已有的认知结构中，有“小数的初步认识”“小数的意义”“整数加减法”等相关知识，对小数可用元、角、分直观理解或用计数单位抽象理解，对整数加减法的法则也非常清晰。此时，新的问题呈现：“水费6.54元，电费20.8元，两项费用一共多少元？”面对6.54+20.8要进行竖式计算，有学生调用了基点1（元、角、分的知识）实现对位并进行解释，有学生调用了基点2（小数意义中计数单位的知识）实现了更理性的操作，也有学生从基点3（整数加减法的法则）迁移过来，三条通道就此建立。在进一步地探究分析之后，小数加减法又和整数加减法实现了沟通，归并到了共同的原理上（相同计数单位的数才可相加减），由此，两个基点又被一个新的内涵串联在了一起（如图3）。这个过程，就是新知与旧基点连接，各种通道新建的过程，这事实上就是知识同化的过程。经过这样的过程，学生原有认知结构自然扩张，认知水平也随之提升。

图3

这个例子，还给我们带来了启示——复习铺垫、自主探究都是有利于同化进行的有效策略。新课前的复习铺垫，能使得原有认知结构中的基点、附点进一步清晰和稳定，成为新知学习、构建通道时强有力的固着点，如上例中对原结构中三个基点的复习就可起到这样的作用。而学生的自主探究，则是学生充分运用自己的能力，对已有结构进行分析和辨别，找寻新旧知识间的通道并提升认知水平的过程，如上例中各个通道的建立。所以，这两种方式都是学生自主建构知识的有效方式。

（二）断开原通道，改组旧网络，认知结构主动地调整——顺应

当新知不能被原有认知结构同化时，我们就需要重新审视原有认知结构，剖析结构中的瑕疵乃至错误，并对它进行调整，以适应新的学习内容的需要。从理论上分析，这种瑕疵或者错误，主要是因为原结构中点与点之间的连接通道存在问题，导致新的数学信息进入时，与原有结构发生矛盾，即产生认知冲突。

以“平行四边形面积”的学习为例，之前，学生受“长方形面积等于长乘宽”和“平行四边形易拉动可变形为长方形”等已有认知的影响，头脑中已建立了如下的结构图（图4虚线以下部分），并误以为平行四边形也可像长方形那样，相邻的两条边相乘就可得到面积。

图4

剖析这个认知结构，我们不难发现，问题产生的根源就是通道①和②的建立。假设没有这两个通道，平行四边形通过拉动化归为长方形进而求面积的错误思路就不会产生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于这个错误的结构，学生才产生了“平行四边形拉动不断变形而面积怎么会不变”的认知冲突，于是，学习进入了反思分析阶段。在这个阶段，学生依托观察、讨论、交流、比较、动手等丰富的学习方式，找到了问题的症结：拉动平行四边形，周长不变，但面积要变化。进一步地，就会发现要实现面积不变的化归，应该断开通道②，然后重新建立附点“可割补成长方形”，以基点“平行四边形”连接它，并再连接“长方形面积等于长乘宽”（虚线以上部分）。如此，一轮对认知结构的调整和改造就完成了，新的结构建立，问题得以解决，这个过程就可看作是顺应的过程。

这种现象，体现在学生的学习中，那就是他们遇到了学习的难点。这也给我们的教学带来启示——遇到教学难点，我们可有意地制造并放大认知冲突，然后将问题抛还给学生。学生应对的过程，就是他们发现问题、分析问题、解决问题的过程，就是他们调动经验、深刻内省、激扬思维的过程。而正是在这样的过程中，学生的认知结构进一步完善，认知能力进一步发展。

当然，数学的学习并非只有同化和顺应两种形式，同化和顺应也不是机械地独立存在于学习的过程中，因此，认知结构的运作也绝不可能如上文所述的两种情况那样简单。人的思维是复杂的，对人的思维的分析永远跟不上人的思维的实际状况，但是，就在这样的分析中，我们却有可能得到进步，教学却有可能得到发展。这，也许就是教学研究的意义！

（浙江省海盐县实验小学教育集团 314300）endprint

以“小数加减法”为例，在学习这个内容前，学生已有的认知结构中，有“小数的初步认识”“小数的意义”“整数加减法”等相关知识，对小数可用元、角、分直观理解或用计数单位抽象理解，对整数加减法的法则也非常清晰。此时，新的问题呈现：“水费6.54元，电费20.8元，两项费用一共多少元？”面对6.54+20.8要进行竖式计算，有学生调用了基点1（元、角、分的知识）实现对位并进行解释，有学生调用了基点2（小数意义中计数单位的知识）实现了更理性的操作，也有学生从基点3（整数加减法的法则）迁移过来，三条通道就此建立。在进一步地探究分析之后，小数加减法又和整数加减法实现了沟通，归并到了共同的原理上（相同计数单位的数才可相加减），由此，两个基点又被一个新的内涵串联在了一起（如图3）。这个过程，就是新知与旧基点连接，各种通道新建的过程，这事实上就是知识同化的过程。经过这样的过程，学生原有认知结构自然扩张，认知水平也随之提升。

图3

这个例子，还给我们带来了启示——复习铺垫、自主探究都是有利于同化进行的有效策略。新课前的复习铺垫，能使得原有认知结构中的基点、附点进一步清晰和稳定，成为新知学习、构建通道时强有力的固着点，如上例中对原结构中三个基点的复习就可起到这样的作用。而学生的自主探究，则是学生充分运用自己的能力，对已有结构进行分析和辨别，找寻新旧知识间的通道并提升认知水平的过程，如上例中各个通道的建立。所以，这两种方式都是学生自主建构知识的有效方式。

（二）断开原通道，改组旧网络，认知结构主动地调整——顺应

当新知不能被原有认知结构同化时，我们就需要重新审视原有认知结构，剖析结构中的瑕疵乃至错误，并对它进行调整，以适应新的学习内容的需要。从理论上分析，这种瑕疵或者错误，主要是因为原结构中点与点之间的连接通道存在问题，导致新的数学信息进入时，与原有结构发生矛盾，即产生认知冲突。

以“平行四边形面积”的学习为例，之前，学生受“长方形面积等于长乘宽”和“平行四边形易拉动可变形为长方形”等已有认知的影响，头脑中已建立了如下的结构图（图4虚线以下部分），并误以为平行四边形也可像长方形那样，相邻的两条边相乘就可得到面积。

图4

剖析这个认知结构，我们不难发现，问题产生的根源就是通道①和②的建立。假设没有这两个通道，平行四边形通过拉动化归为长方形进而求面积的错误思路就不会产生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于这个错误的结构，学生才产生了“平行四边形拉动不断变形而面积怎么会不变”的认知冲突，于是，学习进入了反思分析阶段。在这个阶段，学生依托观察、讨论、交流、比较、动手等丰富的学习方式，找到了问题的症结：拉动平行四边形，周长不变，但面积要变化。进一步地，就会发现要实现面积不变的化归，应该断开通道②，然后重新建立附点“可割补成长方形”，以基点“平行四边形”连接它，并再连接“长方形面积等于长乘宽”（虚线以上部分）。如此，一轮对认知结构的调整和改造就完成了，新的结构建立，问题得以解决，这个过程就可看作是顺应的过程。

这种现象，体现在学生的学习中，那就是他们遇到了学习的难点。这也给我们的教学带来启示——遇到教学难点，我们可有意地制造并放大认知冲突，然后将问题抛还给学生。学生应对的过程，就是他们发现问题、分析问题、解决问题的过程，就是他们调动经验、深刻内省、激扬思维的过程。而正是在这样的过程中，学生的认知结构进一步完善，认知能力进一步发展。

当然，数学的学习并非只有同化和顺应两种形式，同化和顺应也不是机械地独立存在于学习的过程中，因此，认知结构的运作也绝不可能如上文所述的两种情况那样简单。人的思维是复杂的，对人的思维的分析永远跟不上人的思维的实际状况，但是，就在这样的分析中，我们却有可能得到进步，教学却有可能得到发展。这，也许就是教学研究的意义！

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以“小数加减法”为例，在学习这个内容前，学生已有的认知结构中，有“小数的初步认识”“小数的意义”“整数加减法”等相关知识，对小数可用元、角、分直观理解或用计数单位抽象理解，对整数加减法的法则也非常清晰。此时，新的问题呈现：“水费6.54元，电费20.8元，两项费用一共多少元？”面对6.54+20.8要进行竖式计算，有学生调用了基点1（元、角、分的知识）实现对位并进行解释，有学生调用了基点2（小数意义中计数单位的知识）实现了更理性的操作，也有学生从基点3（整数加减法的法则）迁移过来，三条通道就此建立。在进一步地探究分析之后，小数加减法又和整数加减法实现了沟通，归并到了共同的原理上（相同计数单位的数才可相加减），由此，两个基点又被一个新的内涵串联在了一起（如图3）。这个过程，就是新知与旧基点连接，各种通道新建的过程，这事实上就是知识同化的过程。经过这样的过程，学生原有认知结构自然扩张，认知水平也随之提升。

图3

这个例子，还给我们带来了启示——复习铺垫、自主探究都是有利于同化进行的有效策略。新课前的复习铺垫，能使得原有认知结构中的基点、附点进一步清晰和稳定，成为新知学习、构建通道时强有力的固着点，如上例中对原结构中三个基点的复习就可起到这样的作用。而学生的自主探究，则是学生充分运用自己的能力，对已有结构进行分析和辨别，找寻新旧知识间的通道并提升认知水平的过程，如上例中各个通道的建立。所以，这两种方式都是学生自主建构知识的有效方式。

（二）断开原通道，改组旧网络，认知结构主动地调整——顺应

当新知不能被原有认知结构同化时，我们就需要重新审视原有认知结构，剖析结构中的瑕疵乃至错误，并对它进行调整，以适应新的学习内容的需要。从理论上分析，这种瑕疵或者错误，主要是因为原结构中点与点之间的连接通道存在问题，导致新的数学信息进入时，与原有结构发生矛盾，即产生认知冲突。

以“平行四边形面积”的学习为例，之前，学生受“长方形面积等于长乘宽”和“平行四边形易拉动可变形为长方形”等已有认知的影响，头脑中已建立了如下的结构图（图4虚线以下部分），并误以为平行四边形也可像长方形那样，相邻的两条边相乘就可得到面积。

图4

剖析这个认知结构，我们不难发现，问题产生的根源就是通道①和②的建立。假设没有这两个通道，平行四边形通过拉动化归为长方形进而求面积的错误思路就不会产生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于这个错误的结构，学生才产生了“平行四边形拉动不断变形而面积怎么会不变”的认知冲突，于是，学习进入了反思分析阶段。在这个阶段，学生依托观察、讨论、交流、比较、动手等丰富的学习方式，找到了问题的症结：拉动平行四边形，周长不变，但面积要变化。进一步地，就会发现要实现面积不变的化归，应该断开通道②，然后重新建立附点“可割补成长方形”，以基点“平行四边形”连接它，并再连接“长方形面积等于长乘宽”（虚线以上部分）。如此，一轮对认知结构的调整和改造就完成了，新的结构建立，问题得以解决，这个过程就可看作是顺应的过程。

这种现象，体现在学生的学习中，那就是他们遇到了学习的难点。这也给我们的教学带来启示——遇到教学难点，我们可有意地制造并放大认知冲突，然后将问题抛还给学生。学生应对的过程，就是他们发现问题、分析问题、解决问题的过程，就是他们调动经验、深刻内省、激扬思维的过程。而正是在这样的过程中，学生的认知结构进一步完善，认知能力进一步发展。

当然，数学的学习并非只有同化和顺应两种形式，同化和顺应也不是机械地独立存在于学习的过程中，因此，认知结构的运作也绝不可能如上文所述的两种情况那样简单。人的思维是复杂的，对人的思维的分析永远跟不上人的思维的实际状况，但是，就在这样的分析中，我们却有可能得到进步，教学却有可能得到发展。这，也许就是教学研究的意义！

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