经验改造：修复“教”与“学”断层的有效通道

刘善娜

教学就是经验的改造或改组，教学过程就是帮助学生从已有经验向应有的学习经验跋涉的过程。在教学中，经常会出现教师教学的路径与学生原有经验不吻合即教和学断层的现象。面对“教”和“学”的断层，教师通常是立足于“教路”，以“暗示”的方式对“学路”加以修复。如教学三角形的面积，教师会引导学生回顾平行四边形面积的转化过程，并提供装有两个完全一样的三角形的学习包，让学生自主探究三角形面积的计算方法。但这个看似立足经验、自主探究的教学过程，其实质依然是“教路”下的铺脚石，并没有基于学生经验加以改造或改组。

教学过程中的经验改造，体现在一节课里，大致会呈现“原初性经验→再生性经验、再认性经验→概括性经验”这样一个抽象程度递增的经验层次。而放大到一个知识序列的教学中，如平面图形的面积计算体系，也会呈现相应的不断螺旋上升的经验层次。要帮助学生从已有经验顺利改造、提升成应有的学习经验，就应以整体架构的视野深入思考内隐经验在知识体系结构中的张力，深入剖析“教”与“学”的断层，瞻前顾后，立足经验的层次特点对经验进行合理改造。

一、改造原初性经验，抓住断层铺垫提升，对接“教”与“学”的通道

数学学习是以经验为起点，激活、利用、提升和改造经验的数学活动。原初性经验，是指从第一次数学活动中获得的数学活动经验，属于低层次的经验。只有找准学生的原初性经验，扣准原初性经验与需要的经验之间的断层，才能有效对接教与学的通道。

长方形面积计算公式的推导有赖于认识面积单位时积累的测量经验。这一测量经验即长方形面积计算的原初性经验。学生的“测量经验”是“目测”“叠测”以及“不断剪拼叠测”。而“教”的路径则要求学生能利用第三方——面积单位进行测量比较。显然，学生原有经验与需要的经验之间出现了断层。如果直接提供“学习包”让学生用正方形去摆放比出大小，那么对学生而言就仅仅是多经历了一次操作活动，原初性经验并未得到提升。

原初性经验虽浅显却极具价值，教师需要帮助学生在此基础上进行提升，使学生自发领悟“为什么无法比较就要摆一摆？为什么一定要摆正方形？”从而达到启动经验序列、促成“教”“学”经验对接的目的。

当学生用目测法比较出课桌面与数学书封面的大小后，让他们再估计一下大约几本数学书能铺满课桌面，并借助问题“到底几本最接近”，使学生自然地想到“铺铺看”的方法；铺一铺后，让学生比较课桌面与黑板上画的长方形的大小；两个面的大小非常接近，既无法依靠“目测”得出结论，也无法将课桌面与板画上的长方形进行“叠测”。这就激活了学生刚刚积累的“铺一铺”的经验：“刚才已经测量出课桌面的大小相当于8本数学书面的大小，只要量一量黑板上这个长方形是几本数学书封面的大小就行了！”于是学生自悟可以借助第三方比较大小，这就提升了学生的面积比较经验。

用数学书铺桌面的数学活动，直击了面积的测量本质，有效地帮助学生生成了“利用第三方测量比较课桌面和板画上的长方形面积大小”的经验。因此，提升原初性经验，就需要根据经验断层的特点铺垫活动，促成经验对接，拓宽学生自悟的空间。

二、改造再认性经验，抓住断层溯源化异，沟通“教”与“学”的通道

当学生再次遇到与最初活动相类似的情境时，就会把上次活动的经验加以迁移运用，形成再认性经验。再认性经验在新知学习中正、负迁移都有可能发生。教学的关键就是如何让学生暴露再认性经验并加以改造与提升。

在学习平行四边形面积时，用邻边相乘（“长×宽”）计算长方形面积就是学生再认性经验的体现。如何让停留于“邻边相乘”学路上的学生悟到“剪拼转化”呢？如果仅仅是以“你能通过剪一剪、拼一拼的方法，将一个平行四边形变成长方形吗”加以引导，学生会更多地停留在正确实施剪拼的活动中，难以深入理解“平行四边形的面积、底、高、邻边与长方形的面积、长、宽” 之间的联系和区别。

当经验出现差异式断层，可以让学生感悟差异，追本溯源，以经验原点的同一性助推再认性经验的改造，沟通“教”与“学”的通道。在学生坚信这个平行四边形面积=底×邻边=9×6=54（平方厘米）时，呈现格子图（见图A）。学生会将平行四边形的面积锁定在8×4=32（平方厘米）和10×4=40（平方厘米）之间。这一过程不仅让学生认识到长方形面积和平行四边形面积的差异，也让学生在面积测量的本质层面沟通了平行四边形面积与长方形面积的计算方法，即“每行摆单位面积的个数×摆的行数”。接下来，让学生自己利用格子图探究平行四边形的面积计算公式就可水到渠成。

原有经验引发的错误被充分展示，学生才能主动经历“从肯定到否定，从错到对，从破到立”的公式推导过程，将再认性经验提升至应用经验的高度。

三、改造再生性经验，抓住断层先用后拓，联结“教”和“学”的通道

当学生再次遇到和前一次数学活动一样的情境时，前一次的数学活动经验完全再现，学生能照着模式套用，这样的经验称为再生性经验。如学生探究梯形面积时再现的三角形面积推导经验就是再生性经验。如果三角形面积推导能照搬平行四边形面积推导经验，依然用割补法转化推导（见图B），那也是再生性经验。

但教材采用的是两个完全一样的三角形进行拼接（简称双拼法），这就与学生“再现”的割补经验出现了差异，就属于再认性经验。

利用学生的再生性经验也能推导出三角形面积的计算方法。无论是等腰三角形还是不等边三角形，都能通过割补法转化成平行四边形或长方形。那么，教材为什么放弃了割补法，选择了双拼法？就认知发展水平而言，学生已经完全具备对等腰三角形进行割补转化的能力。但不等边三角形需要沿中位线割补转化，却超出了学生已有的知识水平。凭学生自己的能力很难想到这一方法，即便教师告知了方法，如果不辅之动态直观支撑，学生也难以理解，甚至难以操作成功。而教材选择的双拼法（见图C），无论是哪一类三角形，都非常直观形象，学生很容易理解。endprint

再生性经验无法“再生”的现状，致使很多人忽略了其“再生”本质。如实施前文所提的以“暗示”的方式对“学路”加以修复，导致平行四边形与三角形的面积推导经验无法有效衔接融合。

要有效联结“割补法”与“双拼法”，就必须利用学生自发的再生性经验——“割补法”。教师可以给学生提供1个等腰三角形和1个不等边三角形。学生之前的割补经验再现，拿起三角形就沿着高剪、拼。在这一过程中，学生发现1个三角形能成功转化，顺利推导出“三角形面积=底÷2×高”，但另1个三角形却割补转化失败。一起观察剪开的图形：为什么这一个三角形能很容易地成功转化？原来这一个是等腰三角形，能沿着高剪成2个完全相同的三角形。有什么方法能使不等边三角形也转化？学生会想到“也使它变成两个完全相同的三角形”“再找一个和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面积=底×高÷2”。此时，教师只要抓住“底÷2×高”与“底×高÷2”的联系进行沟通，就能让学生获取与割补经验有效衔接的“双拼法”面积推导经验。

学生在自发的再生性经验基础上，借助比较、观察等探究活动生成了再认性经验，解决了不等边三角形面积推导问题。教师随即引导学生将两种推导经验打通，又进一步深化了学生对推导过程的理解。先用后延，立足再生性经验，延伸再认性经验，学生获取的不仅仅是三角形面积推导经验，更积累了基于原有经验解决新问题的有效经验。

四、改造概括性经验，抓住断层分解难度，构建“教”和“学”的通道

当学生遇到形式不同、本质一样的新情况时，按照原有“模式”经验解决新问题的经验就称为概括性经验。经调查发现，六年级学生初次接触圆的面积时，有近60%学生认为圆能转化成平行四边形推导其面积。这种在直线图形中积累形成的割补、拼接经验就称其为概括性经验。

这一经验虽然有利于圆面积公式的推导，但因为圆面积的“形式”与学生之前接触的直线图形的“形式”太过“不同”，所以学生仍然无法借此模式解决新问题。只有11%的学生想到沿着半径切割拼成平行四边形，其中还包括了预习过教材的学生。经个别访谈发现，即便是已经了解了圆面积推导过程的学生也认为圆只能“近似”地转化成直线图形。可见，学生形成了转化的探究思路后，随即陷入了因“化曲为直”“极限思想”匮乏所造成的经验困境。

如果教师从“转化”入手，指导学生沿直径将圆平均分成几份再拼成近似的平行四边形（或长方形），学生就能运用概括性经验完成后续面积公式的推导。但这样的过程无疑掠过了学生的认知难点，学生无法真正理解圆面积推导的准确性。造成教、学经验断层的主要原因有两个：一是学生原有转化经验里没有教材所呈现的“图形展合”经验；二是极限思想对于小学生而言抽象度过高。要修复教与学的断层，教师就必须突破这两个难点，需要借助直观图像、动手操作活动进行分层突破，帮助学生积累相应的经验，然后让学生凭借概括式经验展开自主探究。

第一层：丰厚“曲直”转化经验

在认识圆以后，教师要引导学生关注“曲直”转化经验的积累。让学生多说多操作，如将圆的周长用线一绕再把线拉直，感受化曲为直，将正方形纸折成圆扇，感受直线图形化为曲线图形等。

第二层：感受“圆始于方”，感悟极限

从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多、越来越短……在直观图像的支撑下，学生初悟“圆始于方”。

生：边会越来越多，越来越短。

生：我觉得圆就是一个正无数边形。

师：正无数边形？那得是怎样的边？

生：就像一个点那样的边。

生：无数条边，每个边是一个点，就是 “圆”了。

第三层：切割“正多边形”，积累中心切割经验

当学生感悟到圆就像一个“正无数边形”时，教师追问：那么多的边，怎么研究呢？学生提出“化繁为简”先研究正八边形面积，再推导圆的面积。正八边形面积，学生借助直观图会很快将其分割成8个一样大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面积。通过交流，逐步拓展到正N边形只要沿着中心点与顶点的连线分割成N个一样大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面积。

第四层：直观操作，引导学生利用概括式经验自主推导面积

有了中心切割正多边形这一脚手架，学生就能带着“圆如何分割成三角形？分割成几个三角形适合你探究？分割出来的三角形又和圆的什么有关？”这些问题，边操作，边思考，利用概括式经验自主推导出面积。

生：我将圆平均分成8个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×8=周长×半径÷2。

生：我将圆平均分成24个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×24=周长×半径÷2。

师：这两位同学的方法有什么相似点？

生：我发现最后的结论都是圆的面积=周长×半径÷2。

生：假设把圆平均分成n个三角形，每个三角形的底就是圆周长的，它的高就是半径r，所以三角形面积=×r×，那么圆的面积=×r××n=cr。

生：老师我有别的方法，我是拼成平行四边形。

整个学习过程，教师不仅铺垫了“曲”“直”转化的活动，又借直观动态让学生感悟了“极限”和“无穷分割”，还为学生搭建了正多边形这一脚手架，帮助学生凭借概括性经验顺利推导出圆面积，并理解了圆面积的推导过程，感悟了其中蕴含的数学思想方法，其程度达到甚至超越了教材所要求的圆面积推导经验的要求。

作为教师，必然知道经验对于学生学习的重要性。课堂教学要从学生的经验出发，结合经验的层次特点深入剖析“教”与“学”的断层本质，通过经验的有效改造，修复“教”与“学”的断层，使学生已有经验与教材所要求的经验顺利衔接。平面图形面积计算教学可以如此改造经验，其他知识体系的教学又当如何呢？有待教师进一步思考和探究。

（浙江省奉化市实验小学 315500）endprint

再生性经验无法“再生”的现状，致使很多人忽略了其“再生”本质。如实施前文所提的以“暗示”的方式对“学路”加以修复，导致平行四边形与三角形的面积推导经验无法有效衔接融合。

要有效联结“割补法”与“双拼法”，就必须利用学生自发的再生性经验——“割补法”。教师可以给学生提供1个等腰三角形和1个不等边三角形。学生之前的割补经验再现，拿起三角形就沿着高剪、拼。在这一过程中，学生发现1个三角形能成功转化，顺利推导出“三角形面积=底÷2×高”，但另1个三角形却割补转化失败。一起观察剪开的图形：为什么这一个三角形能很容易地成功转化？原来这一个是等腰三角形，能沿着高剪成2个完全相同的三角形。有什么方法能使不等边三角形也转化？学生会想到“也使它变成两个完全相同的三角形”“再找一个和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面积=底×高÷2”。此时，教师只要抓住“底÷2×高”与“底×高÷2”的联系进行沟通，就能让学生获取与割补经验有效衔接的“双拼法”面积推导经验。

学生在自发的再生性经验基础上，借助比较、观察等探究活动生成了再认性经验，解决了不等边三角形面积推导问题。教师随即引导学生将两种推导经验打通，又进一步深化了学生对推导过程的理解。先用后延，立足再生性经验，延伸再认性经验，学生获取的不仅仅是三角形面积推导经验，更积累了基于原有经验解决新问题的有效经验。

四、改造概括性经验，抓住断层分解难度，构建“教”和“学”的通道

当学生遇到形式不同、本质一样的新情况时，按照原有“模式”经验解决新问题的经验就称为概括性经验。经调查发现，六年级学生初次接触圆的面积时，有近60%学生认为圆能转化成平行四边形推导其面积。这种在直线图形中积累形成的割补、拼接经验就称其为概括性经验。

这一经验虽然有利于圆面积公式的推导，但因为圆面积的“形式”与学生之前接触的直线图形的“形式”太过“不同”，所以学生仍然无法借此模式解决新问题。只有11%的学生想到沿着半径切割拼成平行四边形，其中还包括了预习过教材的学生。经个别访谈发现，即便是已经了解了圆面积推导过程的学生也认为圆只能“近似”地转化成直线图形。可见，学生形成了转化的探究思路后，随即陷入了因“化曲为直”“极限思想”匮乏所造成的经验困境。

如果教师从“转化”入手，指导学生沿直径将圆平均分成几份再拼成近似的平行四边形（或长方形），学生就能运用概括性经验完成后续面积公式的推导。但这样的过程无疑掠过了学生的认知难点，学生无法真正理解圆面积推导的准确性。造成教、学经验断层的主要原因有两个：一是学生原有转化经验里没有教材所呈现的“图形展合”经验；二是极限思想对于小学生而言抽象度过高。要修复教与学的断层，教师就必须突破这两个难点，需要借助直观图像、动手操作活动进行分层突破，帮助学生积累相应的经验，然后让学生凭借概括式经验展开自主探究。

第一层：丰厚“曲直”转化经验

在认识圆以后，教师要引导学生关注“曲直”转化经验的积累。让学生多说多操作，如将圆的周长用线一绕再把线拉直，感受化曲为直，将正方形纸折成圆扇，感受直线图形化为曲线图形等。

第二层：感受“圆始于方”，感悟极限

从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多、越来越短……在直观图像的支撑下，学生初悟“圆始于方”。

生：边会越来越多，越来越短。

生：我觉得圆就是一个正无数边形。

师：正无数边形？那得是怎样的边？

生：就像一个点那样的边。

生：无数条边，每个边是一个点，就是 “圆”了。

第三层：切割“正多边形”，积累中心切割经验

当学生感悟到圆就像一个“正无数边形”时，教师追问：那么多的边，怎么研究呢？学生提出“化繁为简”先研究正八边形面积，再推导圆的面积。正八边形面积，学生借助直观图会很快将其分割成8个一样大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面积。通过交流，逐步拓展到正N边形只要沿着中心点与顶点的连线分割成N个一样大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面积。

第四层：直观操作，引导学生利用概括式经验自主推导面积

有了中心切割正多边形这一脚手架，学生就能带着“圆如何分割成三角形？分割成几个三角形适合你探究？分割出来的三角形又和圆的什么有关？”这些问题，边操作，边思考，利用概括式经验自主推导出面积。

生：我将圆平均分成8个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×8=周长×半径÷2。

生：我将圆平均分成24个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×24=周长×半径÷2。

师：这两位同学的方法有什么相似点？

生：我发现最后的结论都是圆的面积=周长×半径÷2。

生：假设把圆平均分成n个三角形，每个三角形的底就是圆周长的，它的高就是半径r，所以三角形面积=×r×，那么圆的面积=×r××n=cr。

生：老师我有别的方法，我是拼成平行四边形。

整个学习过程，教师不仅铺垫了“曲”“直”转化的活动，又借直观动态让学生感悟了“极限”和“无穷分割”，还为学生搭建了正多边形这一脚手架，帮助学生凭借概括性经验顺利推导出圆面积，并理解了圆面积的推导过程，感悟了其中蕴含的数学思想方法，其程度达到甚至超越了教材所要求的圆面积推导经验的要求。

作为教师，必然知道经验对于学生学习的重要性。课堂教学要从学生的经验出发，结合经验的层次特点深入剖析“教”与“学”的断层本质，通过经验的有效改造，修复“教”与“学”的断层，使学生已有经验与教材所要求的经验顺利衔接。平面图形面积计算教学可以如此改造经验，其他知识体系的教学又当如何呢？有待教师进一步思考和探究。

（浙江省奉化市实验小学 315500）endprint

再生性经验无法“再生”的现状，致使很多人忽略了其“再生”本质。如实施前文所提的以“暗示”的方式对“学路”加以修复，导致平行四边形与三角形的面积推导经验无法有效衔接融合。

要有效联结“割补法”与“双拼法”，就必须利用学生自发的再生性经验——“割补法”。教师可以给学生提供1个等腰三角形和1个不等边三角形。学生之前的割补经验再现，拿起三角形就沿着高剪、拼。在这一过程中，学生发现1个三角形能成功转化，顺利推导出“三角形面积=底÷2×高”，但另1个三角形却割补转化失败。一起观察剪开的图形：为什么这一个三角形能很容易地成功转化？原来这一个是等腰三角形，能沿着高剪成2个完全相同的三角形。有什么方法能使不等边三角形也转化？学生会想到“也使它变成两个完全相同的三角形”“再找一个和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面积=底×高÷2”。此时，教师只要抓住“底÷2×高”与“底×高÷2”的联系进行沟通，就能让学生获取与割补经验有效衔接的“双拼法”面积推导经验。

学生在自发的再生性经验基础上，借助比较、观察等探究活动生成了再认性经验，解决了不等边三角形面积推导问题。教师随即引导学生将两种推导经验打通，又进一步深化了学生对推导过程的理解。先用后延，立足再生性经验，延伸再认性经验，学生获取的不仅仅是三角形面积推导经验，更积累了基于原有经验解决新问题的有效经验。

四、改造概括性经验，抓住断层分解难度，构建“教”和“学”的通道

当学生遇到形式不同、本质一样的新情况时，按照原有“模式”经验解决新问题的经验就称为概括性经验。经调查发现，六年级学生初次接触圆的面积时，有近60%学生认为圆能转化成平行四边形推导其面积。这种在直线图形中积累形成的割补、拼接经验就称其为概括性经验。

这一经验虽然有利于圆面积公式的推导，但因为圆面积的“形式”与学生之前接触的直线图形的“形式”太过“不同”，所以学生仍然无法借此模式解决新问题。只有11%的学生想到沿着半径切割拼成平行四边形，其中还包括了预习过教材的学生。经个别访谈发现，即便是已经了解了圆面积推导过程的学生也认为圆只能“近似”地转化成直线图形。可见，学生形成了转化的探究思路后，随即陷入了因“化曲为直”“极限思想”匮乏所造成的经验困境。

如果教师从“转化”入手，指导学生沿直径将圆平均分成几份再拼成近似的平行四边形（或长方形），学生就能运用概括性经验完成后续面积公式的推导。但这样的过程无疑掠过了学生的认知难点，学生无法真正理解圆面积推导的准确性。造成教、学经验断层的主要原因有两个：一是学生原有转化经验里没有教材所呈现的“图形展合”经验；二是极限思想对于小学生而言抽象度过高。要修复教与学的断层，教师就必须突破这两个难点，需要借助直观图像、动手操作活动进行分层突破，帮助学生积累相应的经验，然后让学生凭借概括式经验展开自主探究。

第一层：丰厚“曲直”转化经验

在认识圆以后，教师要引导学生关注“曲直”转化经验的积累。让学生多说多操作，如将圆的周长用线一绕再把线拉直，感受化曲为直，将正方形纸折成圆扇，感受直线图形化为曲线图形等。

第二层：感受“圆始于方”，感悟极限

从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多、越来越短……在直观图像的支撑下，学生初悟“圆始于方”。

生：边会越来越多，越来越短。

生：我觉得圆就是一个正无数边形。

师：正无数边形？那得是怎样的边？

生：就像一个点那样的边。

生：无数条边，每个边是一个点，就是 “圆”了。

第三层：切割“正多边形”，积累中心切割经验

当学生感悟到圆就像一个“正无数边形”时，教师追问：那么多的边，怎么研究呢？学生提出“化繁为简”先研究正八边形面积，再推导圆的面积。正八边形面积，学生借助直观图会很快将其分割成8个一样大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面积。通过交流，逐步拓展到正N边形只要沿着中心点与顶点的连线分割成N个一样大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面积。

第四层：直观操作，引导学生利用概括式经验自主推导面积

有了中心切割正多边形这一脚手架，学生就能带着“圆如何分割成三角形？分割成几个三角形适合你探究？分割出来的三角形又和圆的什么有关？”这些问题，边操作，边思考，利用概括式经验自主推导出面积。

生：我将圆平均分成8个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×8=周长×半径÷2。

生：我将圆平均分成24个近似的三角形，三角形的底就是周长，高就是半径，所以圆的面积=周长×半径÷2×24=周长×半径÷2。

师：这两位同学的方法有什么相似点？

生：我发现最后的结论都是圆的面积=周长×半径÷2。

生：假设把圆平均分成n个三角形，每个三角形的底就是圆周长的，它的高就是半径r，所以三角形面积=×r×，那么圆的面积=×r××n=cr。

生：老师我有别的方法，我是拼成平行四边形。

整个学习过程，教师不仅铺垫了“曲”“直”转化的活动，又借直观动态让学生感悟了“极限”和“无穷分割”，还为学生搭建了正多边形这一脚手架，帮助学生凭借概括性经验顺利推导出圆面积，并理解了圆面积的推导过程，感悟了其中蕴含的数学思想方法，其程度达到甚至超越了教材所要求的圆面积推导经验的要求。

作为教师，必然知道经验对于学生学习的重要性。课堂教学要从学生的经验出发，结合经验的层次特点深入剖析“教”与“学”的断层本质，通过经验的有效改造，修复“教”与“学”的断层，使学生已有经验与教材所要求的经验顺利衔接。平面图形面积计算教学可以如此改造经验，其他知识体系的教学又当如何呢？有待教师进一步思考和探究。

（浙江省奉化市实验小学 315500）endprint