用数形结合思想方法解题时的常见错误分析

童其林

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果.“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法.“以形助数”中的“形”，或有形或无形.若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想.因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义.但由于构造图形的误差，或者“无中生有”的不准确，有时可能会出现一些错误.本文就运用数形结合时容易出现的失误做个简单的归类分析，希望引起你的重视.

1. 潦草作图而导出的错误

在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”.因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部.常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了.

例1. 判断命题“当a>1时，关于x的方程ax=log a x无实数解”是否正确？

错解：在同一坐标系中，分别画出函数 y=ax（a>1）及y=log a x（a>1）的图像，如图1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确.

剖析：实际上对不同的实数a，y=ax及y=log a x的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解；而当a = 时 ，x = 2 便是原方程的解.上面的错解就是潦草作图，而画出了个有误差的图形，并且想当然地根据图形而不去注意函数图像的延伸趋势而造成的.

事实上，我们还可以通过几何画板的演示（参数a可动态控制），在同一坐标系中作出函数y=ax和函数y=log a x（a>0，a≠1）的图像，当a非常小时它们有三个交点，此时，方程ax=log a x解的有3个.

例2. 比较2n与 n2（n 大于1的自然数）的大小.

错解：在同一坐标系中分别画出函数y=2x及y=x2的图像，如图2所示，由图可知，两个图像有一个公共点.当x=2时，2x=x2，当x > 2时有2x

剖析：事实上，当n= 4时，2n与 n2，也相等；n= 5时，2n>n2.错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”！要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明.本题的正确答案是 当n=2，4时2n=n2，当n=3时 ，2nn2，证明略.

例3.（2013年高考·福建卷，文22题改编）已知函数f（x）=x-1+（a∈R，e为自然对数的底数）.当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值.

解析：由题意，方程kx-1=x-1+无解，显然x=0不是方程的解，故分离参数后的方程k=1+无解.令g（x）=1+（x≠0），则g′（x）=，所以g（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）和（0，+∞）上单调递减，在x=-1处取到极大值g（-1）=1-e.又当x→0+时，g（x）→+∞；当x→0-时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→1；当x→-∞时，g（x）→-∞，即直线x=0和y=1是函数g（x）的两条渐近线，所以g（x）的大致图像如图3.由题意知，直线y=k与函数g（x）的图像无交点，观察图像易知，k∈（1-e，1]，故kmax=1.

点评：本题为含参函数的零点问题，解决这类问题的常用方法是分离参数之后转化为等式两边的函数图像是否有交点问题，因此准确的作图至关重要.但考生在用导数法研究函数图像的变化趋势时，通常只关注函数的单调性与极值，而对函数图像是否存在渐近线意识淡薄，因而常常造成作图错误.本题中函数g（x）在x=0处没有定义，考生通常仅将此点在函数图像上“挖空”，表示函数图像在此处“中断”，而不会意识到x=0是函数图像的渐近线.这是缺乏极限意识的表现.因此，要纠正上述错误，须树立极限意识，即在探明函数单调性之后，还要对单调区间两端的“断点”处分别求极限，以了解函数图像的走势与范围，如此方可给图像以相对准确的定位，避免作图的随意性.

2. 定义域扩大或缩小引起的错误

例4. 设t>0，求点A（+，-）与点B（-1， 0）之间距离的最小值.

解析：由点A（+，-）可知点A的轨迹为x2-y2=4，如图4所示，可知|AB|的最小值为1.其实这是错误的，原因就是忽视了变的量取值范围，由t>0知x≥2，正确的图像应该是图5的右图，可知其最小值为3.

点评：定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不准确的，那就是白做了这道题，所以注意转化过程要等价是关键的.不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确.

3.“无中生有” 引起的错误

例5. 若圆（x-a）2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点，求a的取值范围.

错解：由于圆的半径为2，当圆与抛物线外切时，a=-2，于是，a<-2时，圆与抛物线没有公共点.

当圆与抛物线内切时，由

（x-a）2+y2=4，y2=6x，得：

x2-（2a-6）x+a2-4=0… ①

=（2a-6）2-4（a2-4）=0，解得a=. 所以a<-2或a≥.

剖析：把a=代入方程①得3x2+5x+=0，此时，解为x=-是负根，显然， 圆与抛物线不能内切. 所以圆内切于抛物线的情况根本不存在，图中圆内切于抛物线是虚构的.

因此，对x<0，可以用图形帮助解决（如图6），而对x≥0，则需要用计算的方法.

当x≥0时，本题等价于圆心（a，0）到抛物线的距离d的最小值大于2，求a的取值范围.

d2=（x-a）2+y2=（x-a）2+6x=x2-（2a-6）x+a2=[x-（a-3）]2+6a-9. 设f（x）=[x-（a-3）]2+6a-9，（x≥0）.

当a-3>0，即a>3时，f（a-3）最小，所以dmin=>2，解得a>，考虑到a>3，所以a>3.

当a-3≤0即a≤3时，f（0）最小，所以dmin=a>2，此时为2

综合以上，得a>2.

于是， 圆（x-a）2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点时，a的取值范围为a<-2或a>2.

4. 漏掉了一些可能的情形引起的错误

例6. 已知关于x ，y 的方程组+=1，y=x2-c2，（a>b>0，c>0）有四组实数解，求a，b，c应满足的关系.

错解：原方程组有四组解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点.如图7可知，-c2<-b，且c

剖析：观察图像过于草率！事实上，上图8也是一种可能的情形，即当c2≥a时，仍有可能为四组解，例如当a=2， b=1，c=2时，可得解集为：{（2，0），（-2，0），（，-），（-，-）}.现在用数形结合来求解：考虑一元二次方程+=1，即a2y2+b2y+b2（c2-a2），令△=0（即相切情形），解得c=，结合图像，注意到-c2<-b，则a、b、c应满足的关系是

例7. 求曲线f（x）=-x2+3x过点A（2，-2）的切线方程.

错解：∵点A在曲线f（x）=-x2+3x上，且f′（x）=-3x2+3，∴ f（2）=-9.

故所求切线方程为y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0.

正解：设切点为P（x0，y0），

∵f′（x）=-3x2+3，

∴在点P处的切线方程为y-y0=（3-3x02）（x-x0）.

又切线过点A，

∴ -2-（3x0-x03）=（3-3x02）（2-x0），

整理得x03-3x02+4=0，即（x0+1）（x0-2）2=0，

∴x0=-1或x0=2.

当x0=-1时，切线经过点P（-1，-2）和A（2，-2），切线方程为y=-2；当x0=2时，切线方程为9x+y-16=0.

剖析：本题遗漏了y=2这条切线，失误的原因是把过点A的切线理解成在点A处曲线的切线.曲线在点A处的切线指的是切点在点A处的切线，而过点A的切线除了切点在点A处的曲线切线还可能存在切点不在点A处而经过点A的切线，两者是有区别的.因此，解题时必须理清头绪，分清这两个易混淆的概念.其实，“曲线在某点处的切线”不是“过曲线上某点的切线”充分必要条件，而是必要不充分条件.

5. 证明问题时逻辑循环引起的错误

“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题.应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据.不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的.

例8. 已知函数f（x）=x2，x∈[0，+∞）， 若x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2， 证明：>f（） .

错解：不少考生这样做：画出函数f（x）=x2，x∈[0，+∞）的图像，如图9，取点A（x1，f（x1））， B（x2，f（x2））， C（，f（））.显然弦AB在弧AB上方，所以弦AB的中点的高度大于C点的纵坐标，得证 > f（）.

剖析：这里要证明的不等式，正是凹函数的定义，用凹函数的直观图形来证明不等式成立是一个逻辑循环，自己来证明自己.其实，用作差法即可证明.本题的定义域可改为全体实数也成立.

总之，数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强.但它又是一把双刃剑，有诱惑也有陷阱.因此，我们在运用时，要注意利用“数”的精确性，注意数形转化的等价性，注意图形的全面性，在直观的同时，辅有严谨的演绎.

你来做做：

1. y=sinx与y=tanx，x∈（-，）的图像交点个数有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 方程=2sinx的解的个数是（ ）

A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

3.（2013北京卷，理科8）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是（ ）

A. （-∞，-） B. （-∞，） C. （-∞，-） D. （-∞，-）

4. 当x∈（1，2）时不等式（x-1）2

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝阳一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）. 当x∈[0，1]时，f（x）=2x.若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .

6. （2013年滨州一模理）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0

7. 若关于x的方程x2-2kx-3k=0的两根都在1与3之间，求k的取值范围？

8. （2013年高考·江苏卷，理26题改编）设函数f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点的个数，并证明你的结论.

你来做做参考答案：

1. 注意当∈（0，）时，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，则-8≤x≤8，因此，只需画出[-3，3]的图像即可.

有的同学观察图像（图10），得出有7个交点，实际上，观察得不够仔细，因为当x=8时，=2，而当x=<8时，2sinx=2，所以点（x，2）不是两个函数图像的交点，故在[2，3]上， 两个函数图像有两个交点，而不是一个交点，因此，方程=2sinx的解的个数为9而不是7.选D.

3. 如图11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域内包含直线y=x-1上的点，只要边界点（-m，1-2m）在直线y=x-1上方，且（-m，m）在直线y=x-1下方，解不等式组m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

选C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，设y=f（x），y=ax+2a，作出函数y=f（x），y=ax+2a的图像，如图12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则直线y=ax+2a=a（x+2）的斜率满足kAH

6. 作出函数f（x）的图像，如图13，当0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如图14所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解，要使两根都在1，3之间，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同时成立，解得-3

8.由题意，g′（x）=ex-a≥0对一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分离参数得a=，令h（x）=，则h′（x）=，易知函数h（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）上单调递减，在x=e处有极大值h（e）=.又当x→0+时，h（x）→-∞；当时x→+∞，h（x）→0，即直线x=0和y=0（即x轴）是函数g（x）的两条渐近线，所以g（x）的大致图像如图15.观察图像即知：当a=或a≤0时，f（x）的零点个数为1；当0

（作者单位：福建省永定县城关中学）

责任编校 徐国坚

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝阳一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）. 当x∈[0，1]时，f（x）=2x.若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .

6. （2013年滨州一模理）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0

7. 若关于x的方程x2-2kx-3k=0的两根都在1与3之间，求k的取值范围？

8. （2013年高考·江苏卷，理26题改编）设函数f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点的个数，并证明你的结论.

你来做做参考答案：

1. 注意当∈（0，）时，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，则-8≤x≤8，因此，只需画出[-3，3]的图像即可.

有的同学观察图像（图10），得出有7个交点，实际上，观察得不够仔细，因为当x=8时，=2，而当x=<8时，2sinx=2，所以点（x，2）不是两个函数图像的交点，故在[2，3]上， 两个函数图像有两个交点，而不是一个交点，因此，方程=2sinx的解的个数为9而不是7.选D.

3. 如图11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域内包含直线y=x-1上的点，只要边界点（-m，1-2m）在直线y=x-1上方，且（-m，m）在直线y=x-1下方，解不等式组m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

选C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，设y=f（x），y=ax+2a，作出函数y=f（x），y=ax+2a的图像，如图12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则直线y=ax+2a=a（x+2）的斜率满足kAH

6. 作出函数f（x）的图像，如图13，当0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如图14所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解，要使两根都在1，3之间，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同时成立，解得-3

8.由题意，g′（x）=ex-a≥0对一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分离参数得a=，令h（x）=，则h′（x）=，易知函数h（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）上单调递减，在x=e处有极大值h（e）=.又当x→0+时，h（x）→-∞；当时x→+∞，h（x）→0，即直线x=0和y=0（即x轴）是函数g（x）的两条渐近线，所以g（x）的大致图像如图15.观察图像即知：当a=或a≤0时，f（x）的零点个数为1；当0

（作者单位：福建省永定县城关中学）

责任编校 徐国坚

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝阳一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）. 当x∈[0，1]时，f（x）=2x.若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .

6. （2013年滨州一模理）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0

7. 若关于x的方程x2-2kx-3k=0的两根都在1与3之间，求k的取值范围？

8. （2013年高考·江苏卷，理26题改编）设函数f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点的个数，并证明你的结论.

你来做做参考答案：

1. 注意当∈（0，）时，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，则-8≤x≤8，因此，只需画出[-3，3]的图像即可.

有的同学观察图像（图10），得出有7个交点，实际上，观察得不够仔细，因为当x=8时，=2，而当x=<8时，2sinx=2，所以点（x，2）不是两个函数图像的交点，故在[2，3]上， 两个函数图像有两个交点，而不是一个交点，因此，方程=2sinx的解的个数为9而不是7.选D.

3. 如图11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域内包含直线y=x-1上的点，只要边界点（-m，1-2m）在直线y=x-1上方，且（-m，m）在直线y=x-1下方，解不等式组m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

选C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，设y=f（x），y=ax+2a，作出函数y=f（x），y=ax+2a的图像，如图12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则直线y=ax+2a=a（x+2）的斜率满足kAH

6. 作出函数f（x）的图像，如图13，当0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如图14所示，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解，要使两根都在1，3之间，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同时成立，解得-3

8.由题意，g′（x）=ex-a≥0对一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分离参数得a=，令h（x）=，则h′（x）=，易知函数h（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）上单调递减，在x=e处有极大值h（e）=.又当x→0+时，h（x）→-∞；当时x→+∞，h（x）→0，即直线x=0和y=0（即x轴）是函数g（x）的两条渐近线，所以g（x）的大致图像如图15.观察图像即知：当a=或a≤0时，f（x）的零点个数为1；当0

（作者单位：福建省永定县城关中学）

责任编校 徐国坚