最佳的策略

曹建玲

摘 要：针对小学奥赛教材中的一个与策略相关的问题提出几点见解，提出最优的策略。

关键词：策略；小学；奥赛

首都师范大学出版社出版的由吴建平主编的首都师大奥赛系列丛书，其中通用中小学奥赛教材小学六年级教材2003年2月第3版第135页，有关最佳策略问题的例题1是这样一道题目，甲、乙两人轮流在5×5的方格中画“√”和“×”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，所有格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜，问谁有获胜的策略。

该书中的分析与解是这样的：这是一个双人游戏问题。由已知共有25个方格，是个奇数。两个人所画方格数必是一奇一偶，让我们先从简单的情形中寻找规律。

如果是1×1的方格，显然谁先画谁输。

如果是3×3的方格，并设甲先画，乙后画，我们按三种情况讨论：

（1）甲先画一格，乙若画三格就能取胜，因为乙画三格后还剩五个格，无论甲怎样画，乙都能取胜（甲画一乙画三，甲画二乙画三，甲画三乙画一）；

（2）甲先画两格，乙若还画三格还能取胜；

（3）甲先画三格，乙只要画一格就能转化为（1），还是乙胜。

通过以上分析，先画的人要输。对于5×5方格，若甲先画，乙应采取的策略如下：

由上表逆推下去可得出乙取胜的方法：

（1）若甲第一次画一格或三格时，乙每次留给甲的空格数为：21，16，13，8，5，0；

（2）若甲第一次画二格时，乙每次留给甲的空格数为：20，17，

12，9，4，1。

笔者仔细研究了这个题目的解答，发现在得出的结论（1）（2）中都存在问题。例如在结论（1）中，给甲留的空格数为16，甲若接着画三格时没法保证给甲下次留13格，同样甲留的空格数为8，甲若接着画三格时没法保证给甲下次留5格，同理（2）中给甲留的空格数为20，甲若接着画三格时没法保证给甲下次留17格，因此感觉这个答案是错误的。由于认识到这个題目解答存在问题，笔者仔细研究了这个问题，认为以下的解答比较合理。

若是1×1的格子，显然先画的人要输。若是3×3的格子：

分析：一共有3×3=9个格子，因为每个人每次所能画的格子数只能是1，2，3。仔细观察上表会发现：①甲若只画奇数格，乙每次随后凑出4格，两次后画完8格，剩余1格由甲来画至画完，其中乙画了两次奇数格，那么乙胜；②若甲有一次画奇数格，一次画偶数（2）格，那么乙针对甲的奇数格凑4格，针对甲的2格乙画3格凑5格，那么根据分析两次共画了4+5格，其中乙两次画奇数格，那么乙胜；③若甲画两次偶数（2）格，那么乙针对第一次甲的2格画3格，针对甲第二次的2格画1格，两人两次画后剩余1格由甲来画至画完，其中乙画了两次奇数格，那么乙胜。

再次研究表格还发现：乙一共画了2次，而且每次只画奇数格，通过类比1×1、3×3的格子得出结论应该是乙必胜。

接着研究5×5的格子：

鉴于以上表格的分析，针对7×7、9×9…的方格，只要把握：针对先画者画出的3（1）格，后画者尾随画出1（3）格，当先画者画2格时，后画者尾随2格依次画3，1，3，1…的原则，在这样的题型中后画者必可画出偶数格获胜。

编辑 李建军