一道中考试题的解法探究与教学启示

☉江苏省江阴市第一初级中学 钟珍玖

☉无锡市庞彦福名师工作室 戴倍琪

一道中考试题的解法探究与教学启示

☉江苏省江阴市第一初级中学 钟珍玖

☉无锡市庞彦福名师工作室 戴倍琪

随着全国各地中考命题研究的不断深入，各地中考试卷中涌现出了不少好题，为了提高考试的区分度，真正考查学生的数学能力，中考试卷中除了压轴题外，不少地区也用选择题和填空题的最后一题来把关，虽然是一道小题，但是题目的难度和要求却比较高，无锡市的数学中考试题近两年都呈现出此趋势.以下是笔者对2013年无锡市中考数学试题第18题的解析与思考，不当之处，请指正.

一、原题重现

题目 已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为_________.

二、解法探究

解法1：由C（a，-a）可知，点C在直线y=-x上.①当AB为平行四边形的边时，CD=AB=10；②当AB为平行四边形的对角线时，过AB的中点P（4，3）作直线y=-x的垂线交直线y=-x于C点，如图1，点C即为所求.

评析：本题以平面直角坐标系为背景，通过分类讨论：当CD为平行四边形的边时，长度均为10；当CD为对角线时，AB也是对角线，利用平行四边形的对角线互相平分，当CD最小时，CD的一半CP也最小.本题就转化成在直线y=-x上，寻找点C，使它与AB的中点P的距离最小，运用垂线段最短的知识，即可找到符合条件的C点.本题主要考查了分类讨论、转化的数学思想；考查了垂直平分线的性质、平面直角坐标系下两点间的距离等知识技能.

解法2：①当AB是平行四边形的边时，AB=CD=10；

②当AB是平行四边形的对角线时，因为点C（a，-a），所以点C在直线y=-x上移动，过点D作DE⊥x轴，CF⊥y轴，延长BC交x轴于点G，如图2.

图2

所以∠BFC=∠DEA=90°.

因为点D与点A，B，C是一平行四边形的四个顶点，

由勾股定理得CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8（a-0.5）2+98，所以当a=0.5时，CD的最小值为7.综上所述，CD长的最小值为7.

评析：此解法以平行四边形为背景构造了两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等，求出点D的坐标（用字母a来表示），再用勾股定理得到CD长关于a的二次函数，用二次函数的性质来求线段CD长的最小值，特别是构造两个全等三角形是关键，要求较高.

解法3：①当AB为边时，AB=CD=10.

②当AB是平行四边形的对角线时，连接CD交AB于点G，过点G作GH⊥OA，交OA于点H.

因为点D与点A，B，C是一平行四边形的四个顶点，

所以AG=BG，CG=DG.

由GH⊥OA，易得△AGH∽△ABO，

所以G（4，3）.

由勾股定理得CG2=（4-a）2+（3+a）2，

所以CD2=（2CG）2=4CG2=8a2-8a+100.以下解法同解法2.

评析：解法3是笔者认为较为简洁的，对思维水平和解题策略要求较高的一种解法.它避开了求点D的坐标，利用平行四边形对角线互相平分的性质，只需求出两条对角线交点G的坐标，而点G的坐标是比较容易求得，求出了线段CG的平方，就间接地求出了CD的平方，体现了直接求解困难就间接求解的解题策略.此解法的基础在于抓住变化过程中的不变量，不论C、D的位置如何变化，CD与AB的交点G的坐标是始终不变的，体现了在变化中寻求不变量的解题策略和技巧.

三、解题后的思考

就试题本身而言，这是一道难度较大的填空题，虽然题目叙述比较简洁，但是真正要去解决却不容易入手，求线段的最值问题，学生在平时的学习中也能遇到，题目改变了以往熟悉的考查方式，求两条线段和与差的最值或者三条线段和的最值问题，求一条线段的最小值，要求构造函数，运用代数的知识来解决问题.试题比较新颖，有一定的创新性，能够较好地考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，并且起到了较好的区分作用.

就试题对教学的启示和导向作用而言，笔者认为，此题对教师的平时教学有较好的导向作用，如果在平时教学中搞“题海战术”，做了大量的训练，但不善于总结、归纳、举一反三，把真正的落脚点放在提高学生的思维能力上，仍然不能解决问题.从上述几种解法来看，大多数方法都运用了解题的通法，求线段的最值最为常见的做法是运用几何图形的直观性来解决，或者构造函数，利用函数的有关性质来解决，所以在教学中要注重解题通性通法，但也要关注解题技巧，正如笔者前文所述，在3种解法中，解法1比较简洁，计算量小，而是通过和点D密切关联的CD中点来直接找到点C.而解法3，它避开直接求点D的坐标，间接得出CD关于a的函数关系式，体现了间接解决问题的解题策略.另外本题的解法中比较简洁的是解法1和解法3，都抓住了变化中的不变量，也就是当AB是平行四边形的对角线时，不论C、D两点位置如何，它们的中点也是不变的，即线段AB的中点，抓住这个不变量来解决问题就很简单易行.所以教师在平时教学中，通性通法要作为解题教学的重点，但解题的策略和技巧也不容忽视，要把对学生数学思想方法的熏陶放在非常重要的位置，毕竟数学是一门思维型很强的学科，培养和提升学生的思维能力是数学教学永恒的话题，数学教学，任重道远，值得教者思索.

但是任何事情都是机遇和挑战并在的，创新性很强的事物就面临风险，像这样含参数的双动点问题，如果出现在高考的试题中，你是否感到意外呢？作为中考的填空题，这样的试题难度是否有点大，值得思考.

1.庞彦福，等.从一道检测题审视数学试题的命制［J］.中学数学（下），2014（2）.FH