感知异样情境 强化建模体验

☉江苏省南师大附中树人学校 王 霞

感知异样情境 强化建模体验

☉江苏省南师大附中树人学校 王 霞

数学模型是学生从数学角度认知世界的一个非常重要的工具.为了让学生更好地利用数学模型认知世界，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布之后，数学建模教学得到了很多一线数学老师的重视.他们以紧贴学生认知的问题为“发力点”，把数学模型的建构意识的培养落实在平时教学之中，通过对教学内容的处理和再创造，剖析复杂的数学情境，强化学生对数学模型的体验，力求“在学中用，在用中学”.本文将列举几种常见的建构数学模型的问题情境，并提出一些教学建议，希望对您有帮助.

一、透视日常生活，感受建模的意义

在教材编写和试题命制中，很多老师选择了与学生日常生活息息相关的情境作为数学问题的背景，形成了很多生活气息浓郁的问题.如商品销售利润问题、产品加工方案选择问题、家庭用电量问题、汽车的合理刹车距离问题、货物配送方案优选问题等.这些日常生活中的数学问题，一般都可以应用常见数学模型加以解决.因此，当我们遇到这些问题时，应该让学生经历完整的问题解决过程，感知数学模型的实际意义.

例1 某公司营销A、B两种产品.根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx.当x=1时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6.

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x.

该公司拟购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大.

分析：本题创设了较为丰富的问题情境，通过两种不同商品的销售将二次函数与一次函数两种数学模型渗入其中.要想解答本题，除了要用到上述模型，还要用到方程组模型和二次函数的图像这一模型.在教材和各类考试中，这种基于日常生活之上，以学生熟知的问题作为数学模型建构情境的数学问题很多.在日常教学中，我们应让学生充分感知题目的情境，指导他们从情境中抽象出数学模型化解数学问题.这样的过程体验，非常利于这类问题的教学发挥，对学生“建构数学模型有利于突破现实生活情境”的体验和“应用意识”的自我觉醒有很好地推动作用.

解析：根据题意可求得y=-0.1x2+1.5x.设购进A产品x吨，则购进B产品10-x吨.则利润之和W=（-0.1x2+1.5x）+0.3（10-x）=-0.1x2+1.2x+3=0.1（x-6）2+6.6.所以，A、B两种产品的进货量分别为6吨和4吨时，获得的销售利润之和最大.

点评：综合上面的分析与解析过程，我们不难发现，适时将日常生活中的数学问题引入学生的视野，以此问题解决的过程让学生感知数学模型的意义，这加深了学生对初中阶段数学基础知识的认知和应用，无疑会增强他们应用数学模型的信心，深入地感受到数学建模的实际意义，获得问题解决的必要知识和应用技能.

二、捕捉考试热点，感知建模方法

考试是教师教与学生学的指挥棒，有什么样的考试就有什么样的教学.因此，我们应紧扣考试热点，将建模教学渗透在考试热点之中.通过常见考试热点的呈现，激发出他们探究求解的欲望.学生在突破问题情境“干扰”的过程中，自然生成建构数学模型求解的常规路径，充分感知常规数学模型建构的路径与方法.

例2（2013年重庆卷第23题改编）在一项市政工程建设中，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.

（1）求甲队单独完成这项工程需几个月.

（2）若甲队每月施工费为100万元，乙队每月施工费为150万元，现决定甲、乙两队分工合作完成这项工程，且甲队施工时间是乙队的2倍，那么，甲队最多施工几个月，才能使工程款不超过1500万元？（施工时间按月取整数）

分析：本题涉及的数学模型主要是一元二次方程和一元一次不等式.本题实际上是一道工程问题，这是目前教材和考试中出现频率很高的应用题，在中考中是考试的热点.通过初中阶段的多轮认知，学生对工程问题的问题情境和解决方法都很熟悉.在教学中，我们要充分抓住这个热点背后的数学模型，不仅可以向学生介绍数学建模的方法，也让学生体会了数学模型的应用功能.

解析：（1）设甲队单独做需要x个月完成.

x1=2不合题意，应舍去.

所以甲队单独做需要15个月完成.

（2）设甲队做了y个月.

因为y为整数，所以y最大可以取8.

所以完成这项工程，甲队最多施工8个月.

点评：在众多初中数学模型中，方程（组）和不等式是应用最广泛的模型.在中考中，这两个模型自然成为了命题者最为关注的考点，很多试题都将这两个模型作为主要考查任务，上面这道例题就是一个很好的例子.中考为日常教学指引了方向，突出了这类数学模型在教学中的重要地位.一线教师应高度重视常考数学模型的教学，以热点考题教学强化基本模型的渗透，让学生在热点问题的解答中感知模型、应用模型，形成建构模型的一般性方法.

三、关注实践情境，激发建模意识

成功的数学建模，一般会经历“观察—猜想—论证”的过程.在数学建模教学中，我们应关注教学的实践性.数学实践活动有丰富的素材，可以是具体的可以操作的，也可以是借助情境生成的“理论层面”上的实践，比如“统计与概率”中的规则修订问题等.在此类实践活动中，学生应在经历了丰富的探究过程后，凭借固有的解题经验，抽取问题情境中的数学模型.以“实践”为背景的数学问题解答过程，有效激发了学生的建模意识，促进他们建模求解思维“惯性”的形成.

例3 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，

（1）求三辆车全部同向而行的概率.

（2）交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口绿灯亮的时间做出合理的调整.

分析：本题是一道概率题，包含了求概率和建构在概率之上的规则修订问题.概率的计算，一般用画树状图或列表的方法；而由概率问题引申出的“规则修订”问题，则需借助概率模型从数学的角度给出分析，以形成符合题目要求的规则.本题的解答与教学，应遵循常规的思路，重在强化一般性解题思路的建构与教学，突出“树状图”模型的充分感知和概率模型的深度应用.

解析：（1）分别用A、B、C表示向左转、直行、向右转，画出树状图（如图1）.

结合树状图，可知在27种等可能的结果中，符合题意的有3种.

点评：在概率计算过程中，必要的列表或画树状图是不可缺少的，因此，列出的表格或画出的树状图也就成为了化解与概率相关的数学问题的基本模型.本题是“三因素事件”，画出正确的树状图是问题解决的关键.而这道试题的第二问，是建构在概率之下的规则修订问题，这是初中数学中的理论层面的实践活动，将数学知识生活化.学生探究求解中体验成功的快乐，激发了他们主动建立数学模型求解的意识，实现了常用数学模型在解题过程中的“正向”强化.

四、强化变式训练，促进模型入网

“捕捉有用信息，建构有效模型”是学生解题能力的重要组成部分.这一能力的形成不可能一蹴而就，是一个“渐进”的过程.这对课堂教学提出了很高的要求，要求教师应重视例题的设计，要努力通过解答并列或递进的题组，以“一题多变”来挖掘例、习题在建模教学中的价值.一些典型的变式题的解答，会让学生强化对已有的或者正在构建的数学模型的认知，有效促进数学模型的网络化建构.编制变式题的方法很多，基于本文所述的教学需求，无论哪种形式编制出的题组，都应能有效

促进数学模型的建构与“入网”.

例4 如图2，△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=NC，猜想∠BQM等于多少度，并证明你的猜想.

解析：由△ABC为正三角形，可得∠ABC=∠C=60°，AB=BC.又因为BM=CN，所以△ABM≌△BCN.所以∠BAM=∠CBN，所以∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.

变式：如图3，将例4中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…X，“点N是AC上一点”改为“点N是CD上一点”，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：

?

图3

分析：和例4一样，这道变式题也是重点考查全等三角形的性质.值得注意的是，变式题中蕴含着例4中的基本模型，在图3中的四幅图形中，△ABM和△BCN仍然和图2中一样是全等的.解决例4时，应让学生在解答后从图2中梳理出“基本图形”，形成可供后续应用的“全等模型”.在图3中，例4教学形成的“全等模型”将会得到进一步应用，这无疑会让基于图2中的数学模型得到深度抽象，促进数学模型的网络化建构.

点评：做完例4和变式题后，进一步引导学生概括出这几个问题的同质模型，以强化本题中的“全等三角形”这一解题模型.这样通过一个题组的强化练习，既解决了一类问题，又将题组中的共性的数学模型抽取出来，为今后的解题提供了一个可以直接应用的工具.据此，在数学课堂教学中，我们应紧扣教学目标，用好变式题组，通过并列或递进的变式训练，激活学生的思维，让学生在自主探索求解中，不断尝试构建数学模型，逐步提高建模求解的能力.

建模教学，是一个循序渐进的过程，是“慢”的教学.在日常教学中，我们应强化对具体情境的剖析，让学生充分感知不同情境下的同一数学模型和同一情境下的不同数学模型.让他们经历丰富的探究过程，形成对数学模型有用、可用的主体体验，逐步掌握“突破复杂问题情境，建构有效数学模型”的方法，形成多种不同的数学模型并建构出有效的数学模型网络，不断提高建构模型和应用模型的能力.以上所述仅是笔者在建模教学中的一些不成熟的做法，此中的谬误之处，敬请各位同行专家批评指正！

1.印冬建.削枝强干，挖掘例题的教学功能——一道复习课用题的教学与分析［J］.中学数学教学参考（中），2013（5）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.印冬建.突出核心主线 追求有效教学——谈初中数学有效备课的做法与思考［J］.中学数学（下），2014（1）.

·江苏省南通市符永平名师工作室·