授之以渔，关注学生终生成长——《圆周角》教学实录、评价及反思

☉安徽省宣城市教育体育局教研室 李 群

☉安徽省宣城市广德县卢村中学 何莹莹

授之以渔，关注学生终生成长
——《圆周角》教学实录、评价及反思

☉安徽省宣城市教育体育局教研室 李 群

☉安徽省宣城市广德县卢村中学 何莹莹

一、再现课堂

1.情境导入

师：同学们，平时喜不喜欢看电影啊？有一部电影《神偷谍影》看过没有？陈小春、金城武他们演的.剧中他们运用高科技手段进行偷盗，简直出神入化，如入无人之境.老师原以为啊，这事只能出现在电影中，可是2004年在上海出现了现实版的《神偷谍影》（上课前）.

师（边用多媒体展示边解说）：2004年5月13日，我国发生了建国以来最大的珠宝盗窃案，在上海世贸商城举行的“第四届上海国际珠宝展览会”中的百万珠宝不翼而飞，被盗钻石的56号和57号展位竟然是监控录像的盲区.（稍稍停顿）为避免这种类似的事情再次发生，我们需要解决这样一个问题：（多媒体展示文字和图）在一圆形展厅边缘安装监视器，每台监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装多少台这样的监视器？

学生面面相觑，相互讨论.

师：学完了本节课，同学们肯定能迎刃而解.

师：同学们，老师不远千里来，还特意带来了亲手自制的教具（展示），请同学们仔细观察弧BC所对的这个角叫什么？

生：（异口同声）圆心角.

师：你们能说说什么是圆心角吗？

生：顶点在圆心的角是圆心角.

师：（演示）弧BC所对的这个角还是圆心角吗？

生：不是.

师：它又叫什么角？（停顿）这就是今天我们要探讨的圆周角，（板书）让我们一起走进它的世界，去感受它的魅力.

评析：通过生活中的实例，引出话题，激发学生的兴趣，让学生感知生活中处处有数学.同时用自制教具演示，学生对新事物充满好奇，从而激发他们的求知欲.

2.归纳概念

师：你能类比圆心角尝试着给圆周角下个定义吗？

生1：顶点在圆上.

师：（表示肯定）除了顶点外，角的边还具有什么条件？

生2：两边都与圆相交.

师：为什么圆心角仅仅说顶点在圆心的角就可以？

生2：因为圆心角的两边肯定和圆相交.

师：不错，思考的很全面，你们认为这两句话中的重点是什么？（指黑板）

生3：顶点在圆上，两边与圆相交.

师：很好，现在请同学们擦亮自己的眼睛，仔细观察老师教具演示，判定这些角是否是圆周角，并说明理由.

学生踊跃发言.

师：我们把具备这两个条件的角叫圆周角（板书圆周角定义）.

评析：学生理解圆周角的概念，区分圆周角和圆心角，让学生经历运用概念解决问题过程，激发学生的积极性，并能更深刻地理解圆周角.

3.实验探究

师：想必大家都会画圆吧，现在跟老师一起来画圆O，在圆上任取弧BC，请画弧BC所对的圆心角，你能画出几个？

生：（作图）一个.

师：画弧BC所对的圆周角，你能画出几个？

生：无数个.

师：这么多圆周角不方便我们研究，我们能否把它们进行分类？（停顿）该怎样分类？（生思考）（师追问）以什么为基准进行分类？

生4：我以圆心这个定点，把圆周角分成两类：（1）圆心在圆周角内部，（2）圆心在圆周角外面.

生5：（反驳）我认为还有圆心在圆周角边上.

师：（表扬）还有同学有不同意见的吗？

生：摇头.

师：现在老师用几何画板动态演示，（演示）发现圆心与圆周角只有这三种位置关系.这里体现了数学的分类法，它是数学的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要作用.

评析：在此向学生渗透了分类的数学方法，让学生明白为什么要进行分类研究，又给学生明确了探究的方向.

师：（再一次用教具演示）当同弧BC所对的圆心角变为圆周角时，这个角的大小有什么变化？

生：变小

师：它们之间是否存在某种数量关系呢？（停顿）请同学们来做个实验，按大屏幕上的要求，完成老师发给你们的实验报告.

评析：通过学生亲自动手测量，让学生更好地发现同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，培养学生的动手操作意识、积累学生的数学活动经验.

师：完成好的请举手示意.哪位同学能上台大胆展示你的结论？

生6：（用投影展示自己测量的结果并汇报）我的结论是：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.

师：大家不要吝啬自己的掌声，把掌声送给他.那么大家的结论是否和他的一致？

生：是（肯定）.

师：任意的圆心角和圆周角之间大小又有什么关系？老师用几何画板演示

评析：引导学生亲自动手，利用工具进行实验探究，在这里给学生充足的时间，让学生的能力得到充分的发挥，然后通过讨论得出结论，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.学生利用自己的工具测量的结果可能存在误差，而利用几何画板来进行演示，可以有效地避免这一不足；另外还可以让学生直观、形象地体会到同弧所对的圆心角和圆周角之间的数量关系.

4.证明结论

师：数学单靠观察和测量是远远不够的，我们还需要严谨的证明.我们先来证明哪一种情况呢？哪一种情况最特殊呢？

生：第一种（圆心在圆周角的边上）.

师：同学们请写出此结论的数学符号语言（写出已知和求证）.小组相互交流，想想第一种情况的证明过程，请一位同学口述，老师来板书.

生7：如图1，因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA.因为∠COB=∠OAB+∠OBA，所以∠COB=2∠OAB.

图1

师：非常好，那么圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部时，我们怎样证明？大家来观察图1，此图形圆的内部像生活中的什么图形？

生：小旗帜.

师：好，老师把它涂上颜色（在几何画板上操作），我们发现旗杆是圆的直径.而旗杆顶部的角等于旗杆中部角的一半.你能利用第一种图形及它的结论，证明第二种和第三种情况吗？（此时把班级分为两组）请第一组合作完成第二种情况证明，第二组合作完成第三种情况.

教师此时参于活动，巡视，引导学生添加辅助线.并提示学生把圆内的图形想象成小旗帜.

评析：利用多媒体直观形象地演示，使抽象的数学知识以简单明了的形式展示在学生面前，突破难点，使知识的呈现符合学生的认知规律，缩短了知识与学生之间的距离，丰富了教学内容.

师：请第一组小组代表上台展示自己的成果.

图2

师：请第二组小组代表上台展示自己的成果.

老师此处发现同学面有难色，就利用几何画板把第三种情况圆内部涂上了颜色，如图3，师生合作完成.

图3

生8：用投影展示第二种情况证明过程并口述.

师：生8书写得非常规范，口头表达能力也很棒，老师要稍加说明的是添加辅助线的表述，连接AO并延长与圆相交于点C，如图2.

师：我们利用了第一种情况证明了后两种情况，这体现了数学的转化思想，而我们用三种情况证明了这个结论是正确的，这种方法在数学上叫完全归纳法.现在我们名正言顺地把这个结论叫圆周角的定理（板书）.

评析：通过师生合作，让学生学会运用分类讨论的数学方法、转化的数学思想来研究问题，从而培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力.

5.巩固新知

师：老师现在要来考考同学们对这个定理的掌握情况，请看大屏幕第一题，如图4.

生：（快速）35°.

师：说说理由.

生（异口同声）：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.

师：不错，第二题呢？如图4.

图4

生9：120°.因为∠APB=60°，∠AOB=2∠APB=120°.

师：好，老师来考考你们的反应速度，老师说同一条弧所对的圆心角，你们说圆周角.准备好了没有？

生：（热情高涨）准备好了.

师：圆心角是80°.

生：（非常快）40°.

师：圆心角是40°.

生：20°.

师：不错，老师现在反过来说一条弧所对的圆周角，你们说圆心角.圆周角是80°.

生：160°.

师：圆周角是90°.

生：180°.

师：同学们的反应速度太快了，接下来我们的能力要进一步提升了，请看下面的问题.

如图5，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径是_________.

图5

生10：是2，连接AO，BO.

因为∠C=30°，所以∠AOB=60°.又因为OA=OB.所以△AOB是等边三角形.所以OA=OB=AB=2，即半径为2.

师：很棒，现在你们肯定能解决刚上课时老师提到的生活中的实际问题（几何画板展示），请同学们交流后告诉老师答案.

生11：至少是三台.因为圆周角是65°，那么它所对的圆心角是130°，由于圆心角的度数等于它所对弧的度数，用360°除以130°，所以至少需要三台这样的监视器.

师：非常棒，看来我们学完了今天的内容，的确能解决生活中的问题.

评析：通过以上几个问题的层层深入，考查学生对定理的理解和应用，并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来，使学生能够很好地进行知识的迁移，加深对本节知识的理解.

6.小结内容

师：请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……（大屏幕展示）

评析：通过这种小结，让学生归纳、总结本节知识、思想和方法，关注了不同层次的学生对所学内容的理解和掌握，有利于培养学生的数学学习能力.同时教师把学生零散的知识归纳形成体系，构建成学生自己的知识，融入学生已有的知识体系中.

7.布置作业

课本29页练习：1、3题

评析：课后作业是对课堂所学知识的检验，能及时发现问题，反馈教学效果，让学生所学知识得到巩固、提高和发展.

二、总体评价

本节课是沪科版九年级上册第25章第四节《圆周角》第一课时，曾在全省初中数学青年教师优秀课现场评比中获一等奖.本节内容是在学习了圆心角后的又一个重要性质.通过对圆周角的学习，对学生无论在知识上，还是在学生数学活动经验的积累、数学思想方法的掌握上，都起着十分重要的作用.

教学中，教师利用教具动态演示，经过观察类比圆心角，得出圆周角的概念，并通过操作、观察、实验、猜想、论证得出圆周角定理.培养学生用分类方法和转化的思想来探索问题.通过经历圆周角定理的证明过程，激发了学生的学习热情，培养学生从特殊到一般、分类讨论的思维方法和严谨的说理能力.学生在一系列的活动中培养了缜密的思维和合作交流的意识并获得成功体验，教师真正做到把课堂还给学生.

九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知规律，数学思想的学习应当逐步递进、螺旋上升，因此，在辨析完圆周角的概念后，通过学生作图归纳圆心与圆周角的位置关系，从而分散了难点，学生在此基础上探讨圆心角与圆周角的数量关系更是水到渠成，然后再利用转化思想探索圆周角定理的证明.

根据本节课的特点及学生的思维特点，教师充分利用教具、几何画板、多媒体等手段，采用了探究式教学法，通过操作、实验、合作、交流、归纳、论证、应用来培养学生的创新精神与实践能力.使学生感受了圆周角，学生的学习兴趣大大提高，有利于开发学生大脑中浅在的思维意识，养成爱动脑筋、乐于探索的优秀品质.

总之，数学课堂不仅要教会学生数学知识，更要教学生怎么学数学，怎样用数学思维看待问题.这节课正是按照这个理念设计的.情境导入，发挥教师引导的作用，激发学生的兴趣；新知研学，领会数学思维，养成数学思考；课前、课上、课后，指导数学学习方法，养成数学学习习惯.通过教师引导“授之以渔”，让学生学会学数学.

三、反思

数学到底要教会学生什么？《数学课程标准》给出了答案：“引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习思想方法”.同时对数学课堂教学活动是这样界定的：“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”.因此，课堂教学应当重点教会学生怎么学，“授之以渔”永远比单纯的“授之以鱼”来得实惠.学生在课堂上学会数学思考、掌握科学的数学学习方法及养成良好的学习习惯更为可贵.

1.授之以渔，激发学生“捕鱼”的兴趣

“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性”.上课伊始教师就抓住学生关心并感兴趣的电影，调动学生的情趣.以实际的新闻实例“上海珠宝盗窃案”引入监控器对圆形展厅的覆盖，引出本节课知识.把数学知识和现实实际相连，让学生不再感到数学与现实无关，数学不再是一味地演算、推导等抽象的东西，数学同样可以很具体，和生活密切相连.让学生真正感受到“数学好玩”，“数学有用”.学生的兴趣被激发，课堂气氛顿时活跃起来.学生的思维被打开.真正地实现了“要我学”到“我要学”的转变.学生一旦“愿学”、“乐学”，那么后面教学环节的推进自然就是水到渠成，一气呵成.

2.授之以渔，教会学生“捕鱼”的方法

“要注重培养学生良好的数学学习习惯，是学生掌握恰当的数学学习方法”.每一门学科的学习都有着其独到的学习方法，数学这一门学科也不例外.指导学生掌握学习数学的科学方法，从而养成良好的数学学习习惯，应当而且必须渗透到日常数学教学活动中去.教师在本节课堂上鼓励学生发现问题、提出问题、通过实验求证，同伴互助、合作探究等方法解决问题.课后预留作业，指导学生及时复习巩固.在课前、课上、课后三个学习环节教会了学生科学的学习方法，久而久之自然能形成好的习惯.

3.授之以渔，关注学生的终生成长

“引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”.培养学生的数学思考，能够运用数学的基本思想和思维方式去看待问题、解决问题，在某种程度上比单纯地教会学生具体的数学知识更为重要.数学知识可以通过后天的学习得到，什么时候学可能都不会晚.但是，如果学生没有从小形成数学思考将直接影响以后看待问题的方式.而一旦养成了数学思考他将受益终生.本节课教师就有意设计一些这样的活动，让学生在参与观察、分类、实验、猜想、证明、综合实践的过程中，发展合情推理的能力.比如利用教具演示角的大小变化，并通过学生动手实验操作，然后用几何画板动态演示圆心角与圆周角的位置关系和数量关系，自然生成，让学生大胆猜想、小心求证.然后顺理成章地引导学生分三种情况推导圆周角定理的证明过程.定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过程中运用并体会数学思维.在上述探索过程中，从特殊到一般，再从一般到特殊，直观感知、合情推理与严格验证相得益彰.以学生活动为核心，适时渗透了“分类”、“转化”等数学思想和方法，有效提高了学生的推理能力.

我们关注的是学生的成长，而不仅仅是成功；我们关注的是学生的技能形成，而不仅仅是知识的获得.“授之以渔”让学生能够自己学习数学；“授之以渔”让学生能以科学、严密的数学思维看待社会，才是真正的“传道者”.