赏析以“四个面都是直角三角形的三棱锥”为载体的立体几何命题

☉福建省龙岩市第一中学 胡寅年

赏析以“四个面都是直角三角形的三棱锥”为载体的立体几何命题

☉福建省龙岩市第一中学 胡寅年

引例 已知矩形ABCD，AB=1，BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）.

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

这是2012年浙江卷选择题最后一题，难度不小，旨在考查学生空间想象能力和分析问题的能力.

如图1，在硬纸板构成的三棱锥B-ACD中，AB=DC=1，AD=BC=，BD=，显然△ABD与△BCD都是直角三角形.当AC的长度恰好为1时，容易证明△ABD，△ACD也都是直角三角形，由此得到三棱锥B-ACD四个面都是直角三角形，于是BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD.

有趣的是，以“四个面都是直角三角形的三棱锥”为载体的立几题，2013年又在多个省市高考试卷中出现.如：

辽宁卷第18题、浙江卷第20题、湖北卷第19题、安徽卷第19题等.

为什么有关“四个面都是直角三角形的三棱锥”问题受到高考命题专家的如此青睐？道理十分明白：这类题①既源于课本，又高于课本；②基本图形是最简单的几何体之一——三棱锥；③覆盖立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种角的计算，又突出了“垂直关系”这个主旋律，还能涉及平几、代数、三角的大量知识.因此，“四个面都是直角三角形的三棱锥”是探究空间线线、线面、面面垂直关系的一个十分重要的基本图形.

一、知识要点

如图2，在三棱锥S-ABC中，只要满足下列条件之一：

①SA、AB、BC两两互相垂直；

②SA⊥平面ABC，且AB⊥BC；

③SA⊥平面ABC，且SB⊥BC；

④SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC.

则它的四个面都是直角三角形.

显然，四个面都是直角三角形的三棱锥，具有非常丰富的线线、线面、面面垂直关系，比如：

①异面垂直（一组）：SA⊥BC.

②线面垂直（两组）：SA⊥平面ABC，CB⊥平面SAB.

③面面垂直（三组）：平面SAB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

进一步，若点A在SB、SC上的射影分别为N、M（如图3），则三棱锥S-ANM的四个面也都是直角三角形.

此外，设∠SBA=θ1，∠ABC=θ2，∠SBC=θ，∠SCA=φ.则又有下列面角之间的关系：

以上结论请读者自己进行证明.

二、例题解析

例1（辽宁卷第18题）如图4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

分析：本题考查空间中面面垂直的证明和面面所成角问题，考查考生的空间想象能力与推理论证能力.本题的直观图形把几何体放到圆中证明算得上有一定新意，但试题总体难度不高.第一问，面面垂直的证明转化为证明线面垂直，而线面垂直是线线、线面、面面垂直关系的枢纽与核心.第二问，空间面面所成角问题，一般情况宜优先考虑建立空间直角坐标系求解，当然也可利用定义直接找到角来求解.然而由于本题的图形中没有“墙角”结构存在，学生可能会因坐标系选得不当而导致计算比较麻烦，进而导致整个二面角的计算错误.

明显地，上述解法源于对“四个面都是直角三角形的三棱锥”，丰富的线面垂直关系的深入思考.

解法2：空间向量法，请读者自己完成，并与综合几何方法进行对比.

例2（浙江卷第20题）如图6，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

（1）证明：PQ∥面BDC；

（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小.

分析：本题考查空间点、线、面位置关系，考查二面角的计算，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.第一问，空间线面平行关系的证明，突出的是转化思想的运用，难度不大.第二问，又是以“四个面都是直角三角形的三棱锥”作为载体，考查学生对空间线面垂直关系的掌握程度.将三棱锥M-DCB分离出来，容易看出，问题的情景与辽宁卷差别不大，建构二面角的平面角也如出一辙，然而由于浙江卷注重考查学生的逆向思维能力，难度增大了一些.本题若运用综合几何法去处理，思路反而更加自然.

（1）证明：如图7，取MD的中点F，又M是AD中点，所以AF=3FD.因为P是BM中点，所以PF∥BD，又因为AQ=3QC，且AF=3FD，所以QF∥BD，所以面PQF∥面BDC，由于PQ⊂面BDC，所以PQ∥面BDC.

思考：1.“四个面都是直角三角形的三棱锥”为线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的（如下）相互转化提供了丰富素材.

2.分离出来的三棱锥M-DCB，有四组线面垂直关系，①MD⊥底面DBC；②BC⊥平面MDC；③CG⊥平面MBD；④MB⊥平面GHC，其中通过“平面MBD⊥平面BCD”得到的第三组线面垂直关系“CG⊥平面MBD”，是解决第（2）小题的关键所在.

3.“三棱锥C-GBH”本质上是“四个面都是直角三角形的三棱锥”的一个变式图形，发现它对学生的空间想象能力也是一次很好的锻炼.

例3（湖北卷第19题）如图8，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

分析：本题考查空间线面位置关系的判断与证明，考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.第一问，空间线面平行关系的判断与证明，考查转化与化归思想的运用.第二问，根据三种角的概念在图中找出（或作出）三个角，用相关线段表示出三个角的正弦值，计算后可得出结论.

（1）直线l∥平面PAC，理由如下：

如图9，连接EF，由三角形的中位线定理，得EF∥AC→EF∥平面ABC→EF∥l→l∥平面PAC.

（2）连接BD，由（1）l即为BD，因为AB是圆O的直径，所以BD⊥BC.

容易看出，本题的第（2）问，本质上就是考查“四个面都是直角三角形的三棱锥”面角之间的内在关系.

例4（安徽卷第19题）如图10，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

（2）求cos∠COD.

分析：本题考查空间线面位置关系，以及线线、线面角的求解等基础知识和基本技能，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.本题与湖北卷19题有异曲同工之妙，第一小题源于必修2的一道复习题，考查学生对线面平行的性质与判定定理的理解程度，思路很宽，方法多种多样.第二小题考查基本图形的基本计算，本质上又是考查学生对“四个面都是直角三角形的三棱锥”面角之间关系是否真正掌握.

（1）设平面PAB∩平面PCD=l，AB∥CD→AB∥平面PCD→AB∥l→l∥圆锥底面.

（2）如图11，设G为CD的中点，容易证明CD⊥面POG，从而面POG⊥面PCD，于是三棱锥P-OCG的四个面都是直角三角形，所以∠OPG为OP与平面PCD所成的角，又∠PCO为母线PC与底面ODG所成的角，将三棱锥P-OCG分离出来，则此小题转化为了“在三棱锥P-OCG中，已知PO⊥平面CGO，面POG⊥面PCG，∠OPG=60°，∠PCO=22.5°，求∠COG”的计算问题.

思考：自从引入了空间向量，立体几何的学习的确容易了许多.无论是线线、线面、面面等位置关系的判断，还是夹角、距离等数量关系的计算，乃至多种多样的探索性问题，都可以转化为向量来解决，并且可归结为一系列模式化的解题程序.但是需要注意的是，向量方法并不是万能的，比如今年安徽卷第19题就不太适合向量方法，据《中小学数学》报道，此题安徽全省平均分2.2分，难度系数0.17，远低于命题预期.因此，立体几何教学（尤其是高三总复习）中，教师一定要引导学生对综合几何法、空间向量法进行卓有成效的整合，解题时宜扬长避短、相互融合，以发挥各自的优势，不可（也没有必要）厚此薄彼.

从以上的讨论中可以看出，“四个面都是直角三角形的三棱锥”的确是探究空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系，展开空间想象的重要载体，而垂直关系的相互转化、二面角的计算问题、面角关系的灵活运用，是其中的三个主要问题，它们往往又以发现、构建此基本图形作为突破口.