悬链线几何性质的研究
2014-01-18孙明珠
谢 菲,孙明珠
悬链线问题的提法:设A和B是铅垂面上两个等高点,一条柔软的绳索挂在 A、B上(图1),在所有连接A、B的平面曲线中,求出一条曲线,使得其重力势能最小.悬链线的方程:
本文将研究悬链线的一些几何性质,诸如面积、旋转体体积、曲率中心、渐屈线等.
图1 悬链线
一、面积与面积形心
图2 悬链线和直线围成的面积
单单由悬链线构不成面积,还需要和其他直线或曲线结合才能围成面积.比如,图2所示,求悬链线和x轴、y轴以及x=x1所围成的图形之面积S1,或求悬链线和y轴、y=y1所围成的图形之面积S2.下面就分别推导这两种情况下的面积公式.
形心又称作面积中心,坐标公式为
据此,对于S1有形心坐标的积分表达式:
二、旋转体体积
图3 S1绕y轴旋转一周
图4 S1绕x轴旋转一周
1.求S1绕y轴旋转一周所形成的旋转体(图3)的体积Vy由求旋转体体积的圆筒微元法Vy=Σ2πxiyiΔxi,有积分表达式:
2.求S1绕x轴旋转一周所形成的旋转体(图4)的体积Vx由求旋转体体积的切片微元法Vx=Σπyi2Δxi,有积分表达式:
3.第二古鲁金定理:平面图形绕与其不相交的轴旋转一周所得立体的体积,等于平面图形的面积与形心绕同一转轴旋转的周长之积.即 Vx=2πycS,Vy=2πxcS.
对于S1,我们验证一下第二古鲁金定理的正确性。
这恰好等于式(7)和式(6)得到的结果.于是我们可以推出S2的形心坐标:
谢菲/天津工业大学理学院讲师(天津300387);孙明珠/天津工业大学理学院教授 (天津300387)。
读者可以验证:对于面积S2,用积分表达式求得的形心坐标,结果与此完全相同.
三、曲率半径
四、曲率中心与渐屈线
图5 曲率中心与渐屈线
图中M为悬链线上的一点,K为M点的曲率中心,ρ为曲率半径.根据曲率中心的定义,曲率半径ρ与M点的切线垂直.M点的切线斜率为y′=tanα=shx
所以
设 K 点的坐标为(x1,y1),M 点的坐标为(x,y),则有
图5中曲率半径ρ的直线方程为
据此,用Matematica软件通过下面一段程序画出悬链线的渐屈线如图5所示.
渐屈线像一个“V”字.
[1]孙明珠等.游戏中的数学文化[M].北京:国防工业出版社,2011.
[2]同济大学数学教研室.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.