内应力对结构模态影响理论及数值验证＊

熊云峰 陈章兰 叶家玮

（集美大学轮机工程学院1） 厦门 361021） （华南理工大学土木与交通学院2） 广州 510090）

0 引 言

对承受动载的结构来说，如何避免共振一直是困扰结构设计和结构优化的关键问题，而对结构模态精确计算是振动控制的前提．模态是结构的固有振动特性，每一个模态对应有固有频率及振型．影响结构模态的因素很多，以船体结构为例，凡是影响船体的刚度、质量和阻尼的因素，如船体结构、船舶机电设备和压载水布置、流体和结构耦合作用等，都会直接或间接影响到结构振动特性［1－2］．内应力是在结构加工或服役时产生的，如索结构的预应力，胶接、焊接、注塑、电镀等接头加工工艺产生的应力．内应力对结构动力学性能影响的研究，主要围绕桥梁工程的梁结构或悬索结构的预应力［3－4］，而在诸如焊接残余应力等内应力对复杂结构动力学性能影响的研究方面，尚非常缺乏；而且，由于内应力的隐性性，其对结构动力学性能的影响往往易被忽略．然而，随着振动控制技术的提高，探讨内应力对结构动力学性能影响的定性定量评价问题、是否存在改变振型、使同振型频率偏离或是滋生新振型等问题，对丰富结构的振动控制技术、完善内应力对结构动力学影响理论显然具有非常重要的意义．

从材料本构方程出发，采用有限元方法和矩阵范数工具，探讨内应力对结构动力学性能的影响，对认识内应力影响结构动力学性能规律以及结构振动控制、改善引起内应力的加工工艺等提供参考．

1 内应力影响结构模态理论

1．1 内应力对结构刚度的影响

结构承载过程的变形问题可视为大变形、小应变情形，采用有限元法，结构中具有内应力时应力σ与应变ε关系满足［5］

式中：D为结构单元弹性矩阵；σ0为结构内应力．结构几何方程

式中：B为结构单元应变矩阵；δ为位移向量．

设系统所受内力、外力F外的矢量和为F，根据虚功原理，内力在虚位移δ＊上所做的功，与系统应力在虚应变ε＊上所做的功相等，即

将式（2）代入（3），并由虚位移δ＊的任意性，可得几何非线性问题的一般平衡方程

若上式σ中考虑内应力情形，即将式（1）代入（4）

设系统所受力为保守力系，取式（5）的微分

对上式右侧第一项，代入式（2），有

同理，式（6）右侧第二项变形为

将式（7），（8）代入式（6），得结构存在内应力时平衡表达式的微分形式

而一般情况下平衡方程微分表达式为

对比式（9）与（10），则考虑结构存在初始内应力情况下，结构单元刚度矩阵具有形式

由式（11）单刚可集合成总刚∑Ke．

1．2 考虑内应力影响的模态方程的修正

模态分析基本方程可表述为

式中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；x，˙x，¨x分别为位移．速度和加速度向量；F（t）为载荷向量．

若忽略阻尼的影响，即考虑结构自由振动模态，式（12）可进一步简化成

将式（11）代入式（13），可得考虑结构内应力影响下的结构自由振动模态方程

式（14）进一步可转变为求矩阵的特征根和特征方程

式中：ω为固有频率．

显然，上式根据结构实际应力状态考虑了结构内应力对模态影响的效应，FEM模态计算结果更符合实际工况，内应力使刚度变化的同时，使矩阵特征值改变，必然改变结构自由振动模态．

2 内应力对结构模态影响程度

为讨论刚度矩阵产生变化时，自由振动模态固有频率发生的影响，将式（13）改写为

式中：φ为振型向量．

引入结构内应力，即当系数矩阵K产生扰动Kσ0 时，相应地引起扰动 Δω2，式（16）变为

式（16）代入（17），则得频率平方的偏离量

对非零振型，可将式（18）等式两侧同除式（16），得内应力对固有频率平方影响幅度的一般表达式?

由式（19）可见，由内应力引起相同振型固有频率平方的偏离，其相对偏离大小与结构刚度、内应力引起刚度的改变量及质量矩阵有关，即对刚度值的偏离产生一定程度的放大．

3 内应力影响结构模态的数值验证

考虑内应力影响的有限元结构模态分析分2步，第一步计算由应力产生的应力刚化矩阵，生成emat文件；第二步，通过激活应力刚化效应，有限元以emat文件重构结构刚度阵，即叠加应力刚度阵到主刚度阵，构成完全一致刚度阵．模态提取采用Lanczos方法．有限元分析时，内应力可采用link单元，通过设置其初始应变，且以不同初始应变值代表应力水平．下面以简单结构为例直观阐明内应力对结构模态影响理论，而以复杂结构为例说明内应力对结构动力学性能影响的实践意义．

3．1 简单结构

设结构为一个具有两节点的link单元，则其总刚度矩阵K为

在杆上施加固有应变ε代表内应力，产生的扰动矩阵为

显然，应力刚度阵随施加ε即初始应力变化．将式（20）和（21）两刚度叠加作为模态计算的总刚矩阵，现取五种应力水平，σ0＝0，100，150，200，250 MPa，运行模态分析并提取固有频率，列于表1．

表1 二节点杆件振动频率

由表1可见，（1）当有内应力存在时，新增模态，即有内应力情形的一阶固有频率，不过新增的固有频率与无应力时固有频率相比很小；（2）当ε＜0．01（对应应力水平＜σs）时，振型相同的固有频率几乎随ε增加“线性”增加，但增加幅度不超过1%．只有ε增加到0．1时，固有频率才会出现10%左右的增幅，但几乎不可能达到此种极端情形．所以说，二节点杆件结构的仅具有理论验证意义．

3．2 复杂结构

复杂结构刚度矩阵非常庞大，列出并非易事，因此内应力水平对结构动力学性能影响还须借助数值模拟．考虑加载的复杂性，以686TEU集装箱船的机舱段作为复杂结构、焊接残余应力作为内应力的实例说明．机舱段承载考虑浮力、水压力以及邻段施加的弯矩．有限元模型采用壳单元shell63模拟板材、梁单元beam188模拟肋骨和纵桁材，link10单元模拟焊缝并定义其初始应变，如图1中放大图所示，共捕捉了z向54道、x，y向各28条对称角焊缝．结构网格按骨材、纵桁材分布间隔划分，为使网格尺寸在各方向均匀，在梁长纵向网格要细．约束施加在两端面形心处，共6个自由度，舱段的有限元模型见图1．

图1 机舱段有限元模型

运行模态分析，提取机舱段二节点垂向振动模态，其振型见图2。

图2 机舱段二节点垂向振型（Uy）

机舱段二节点垂向振动固有频率随应力水平变化情况如图3所示，变化幅度示于图4．图中有空缺的部分是由于应力计算过程不收敛，因而没有模态计算结果．

图3 机舱段固有频率随应力水平变化趋势

图4 机舱段固有频率变化幅度

由图3，4可知，当焊接残余应力水平较低时（＜52MPa），二节点垂向振动固有频率随应力水平增加而升高，当σ0＝52MPa时，振动固有频率达36．528Hz，与无焊接残余应力时固有频率28．769Hz相比，变化幅度达到最大，为27%；但当应力水平继续提高时，固有频率反而出现降低，在焊接残余应力水平σ0＝63MPa时，影响幅度为21．3%．比较简单结构与复杂结构的相同应力水平时，影响固有频率的程度，可见内应力水平一致，但影响幅度并不相同，如简单结构在应力为50MPa时，影响幅度不超过1%，验证了式（19），即内应力对模态影响幅度，不仅与内应力水平有关，而且经过了结构刚度阵、质量矩阵的放大．

4 结 论

1）内应力是隐性的，由于难以确定其边界条件，实践中讨论影响结构动力学性能的因素时，往往被忽略．采用有限元和矩阵范数的方法，推导了内应力影响结构刚度公式，并采用矩阵范数工具，建立了内应力对结构模态频率影响幅度表达式．

2）采用二节点杆结构直观验证了内应力对结构模态的影响，即内应力的存在不仅使结构振动的固有频率发生偏离，但偏离程度不大；而且，对简单结构来说，还可能滋生新的振型．

3）复杂结构数值模拟验证模态影响结构表明，低内应力水平使结构振动固有频率偏离效果呈“线性”关系，但当内应力水平较高时，结构振动固有频率呈现波动趋势，固有频率偏离程度与应力水平高低及结构复杂程度有关．

［1］YUCEL A，ARPACI A．Analysis of free and forced ship vibrations using finite element method［C］∥ASME 2010 10th Biennial Conference，Brisbane，Australia，2010：147－156．

［2］金广文，何 琳，姜荣俊．流固耦合对双层圆柱壳体振动特性的影响［J］．武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2007，31（5）：882－885．

［3］张耀庭，汪霞利，李瑞鸽．全预应力梁振动频率的理论分析与试验研究［J］．工程力学，2007，24（8）：116－120．

［4］JORG F U，ANNE T，GUIDO D R．System identification and damage detection of a prestressed concrete beam［J］．Journal of Structure Engineering，2006，132（11），1691－1698．

［5］周水兴，陈山林．计入初始应变项的平面梁单元非线性刚度矩阵［J］．重庆建筑大学学报，2007，29（4）：70－74．