龙门起重机主梁有限元分析

李新华, 唐 敏，曹伟魏

（中南林业科技大学 机电工程学院，湖南 长沙 410004）

龙门起重机主梁有限元分析

李新华, 唐 敏，曹伟魏

（中南林业科技大学 机电工程学院，湖南 长沙 410004）

龙门起重机广泛应用于伐木场和木材转运站等场所的木材装卸作用中。而对于林用起重机的开发研究，采用原型试验分析受到时间、实验条件等诸多限制。运用相似理论和量纲分析法，采用模型分析研究，既降低了风险和成本，又提高了工作效率。

林业机械；起重机；主梁；相似理论；有限元分析

本文研究的起重机跨度25.5 m，主梁长41.5 m，起升高度11 m。如果直接进行物理分析成本太高，因此为了了解起重机工作性能，应采用合理、可行的模型试验方法，分析起重机的机械性能，确保林用起重机能安全、有效地完成工作。

模型试验的方法在许多领域都有应用，例如飞机、船舶制造、桥梁、音乐厅的设计等[1-2]。利用相似理论可得出模型应符合哪些条件，从而可以通过模拟研究事物的变化规律，因而对模型试验有理论上的指导作用。

1 相似准则的确定

1.1 相似定理的理论基础

相似理论用于指导设计相似模型以及处理和应用相关实验数据，为微分方程的建立提供依据。对于较复杂的现象，科研人员可以根据相似理论科学、简洁地建立一些经验公式[3-4]。目前许多工程上应用的经验公式就是通过这种方法推导出来的。

(1)相似第一定理

相似现象的性质可用第一定理描述，其定义为：对于相似的现象，它们相似准则的数值相同。而当所研究对象的准则数超过一个，便引出了相似第二定理。

(2)相似第二定理

相似第二定理通常也叫作π定理，当一物理现象由n个物理量表示，这其中有k个物理量的量纲互相之间是独立的，那么这一物理现象可由n-k个相似准则之间的关系来描述。

(3)相似第三定理

相似第三定理是用最少的外部特征来判断两现象是否相似，它也叫相似逆定理。其定义为：对于同一类物理现象，如果单值量相似，而且由单值量所组成的相似准则在数值上相等，则现象相似。相似现象中的各种物理量本质上都是由单值条件引出的，一般情况下包括几何条件、边界条件、介质条件和起始条件。第三定理由于直接同单值条件相联系，强调单值量相似，因此它既考虑了单值量变化的特征，又避免遗漏掉重要的物理量，有严密的科学性。

1.2 量纲的选取

相似准则的确定有定律分析法、方程分析法和量纲分析法[5]。根据起重机实际工作情况，本研究选取量纲分析法推导出相似准则。量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。它在经验和试验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

本研究进行的龙门起重机分析采用弹性模型，即指模型限制在材料的弹性范围内，由此所得的应力符合弹性理论。合理的选取物理量描述起重机的工作性能是相似理论中最关键的一步，正确的物理量不但能准确地描述相似系统，而且在使用量纲分析法处理系统时能简化相似系统，减轻了人员的负担。

起重机自重大，承受的载荷重，而金属结构作为起重机的骨架，承受和传递起重机的自重和载荷，所以与金属结构相关的物理量应该是量纲分析的主要参数[6-8]。可以用以下函数描述起重机的工作机理。

F（σ,G,δ,P,A,I,μ,ρ,a,v,q,E,L,T）=0。

式中：σ为起重机的应力；G为起重机自重；δ为结构位移；P为起重机载荷（集中载荷）；A为构件截面面积；I为构件截面惯性矩；μ为材料泊松比；ρ为材料密度；a为加速度；v为风速；q为 分布载荷；E为弹性模量；L为构件各项长度；T为时间。

1.3 相似准则的确定

物理学中有质量量纲系[MLT]和力量纲系[FLT]。为了方便量纲分析和物理量的测量，本研究选取力量纲系[FLT]（力、长度和时间）。力量纲系中本文涉及到的量纲较多，采用量纲矩阵法列举，得到表1所示的力量纲系统[FLT]矩阵。

表1 力量纲系统[FLT]矩阵Table 1 [FLT] matrix of force dimension systems

选取弹性模量E、长度L和时间T作为基本量纲，利用因次分析法，将表1的数据作矩阵初等变换。以上矩阵的秩为3，因此[E][L][T]3个基本量纲所对应的线性齐次代数方程是相互独立的。根据相似三定理，得到表2所示的初等变换后的[FLT]矩阵和表3所示的π矩阵。

表2 初等变换后的[FLT]矩阵Table 2 [FLT] matrix after being elementary transformation

表3 π矩阵Table 3 π matrix

由表3的π矩阵可得到11个π因子，即11个相似准则 π1～ π11：

要满足相似定理，在几何形状、材料特性和边界条件三个方面完全相似。

（1）几何形状：本文研究的起重机相似模型是根据起重机实物缩小而成，长度缩尺CL=L，面积缩尺CA=L2，在几何性质上能满足相似性要求；

（2）材料特性：模型采用的材料和实物原型一致，都为Q235-A，因此模型和实物原型的弹性模量E和密度ρ相同；

CE=1，Cρ=1。

即

（3）边界条件：模型和实物原型都是在大车车轮处固定，是在相同工况下加载测试，其集中载荷、分布载荷、重力载荷的缩尺分别为CP=L2，Cq=1，CG=L2。加载时间CT=L；由于模型与原型采用相同的材料，它们的弹性模量E和密度ρ相同，要保证相似准则的准确性，模型所处的加速度（包括重力加速度）不再是常规环境中的加速度，传统的做法是利用离心机或附挂质量来获得模型所需的加速度，而本研究的试验环境是数值模拟仿真软件ANSYS，直接可以在边界条件中设置任意加速度值，无需另外的试验工具，既能解决这个问题，又简单方便，这也是数值模拟分析的一个优点[9-11]。

综上所述，模型与原型的相应物理量的相似比可写为：

1.4 长度缩尺的确定

为了验证上述相似准则的准确度，取三组长度缩尺，分别为20、30和40。表4是3种长度缩尺的模型、原型（等价）最大应力和挠度。

表4 3种长度缩尺的模型、原型（等价）最大应力和挠度Table 4 Maximum stress and deflection of three scalelength models and prototypes

通过表4可以看出，3种长度缩尺的模型、原型（等价）最大应力和挠度区别很小，可以认为是结果一致。而相似理论的应用情况是长度缩尺越大，模型与原型的相似精确性越差，为了尽可能地模拟起重机真实的工况，结合上述3种长度缩尺的对比情况，本研究接下来的模型采用长度缩尺CL=20。

2 模态分析

通过上述的验证，采用相似理论可以模拟起重机的工作情况。起重机在起吊重物和大小车运行时会有较大的振动，且不同的工况有不同的振型。振动对起重机金属结构的疲劳影响很大，如果发生共振，会大大缩短起重机的工作寿命，甚至引发安全事故，因此必须进行模态分析来预测起重机的动态特性。

模态分析主要是计算其固有频率和振型[12-14]。用大型有限元分析软件ANSYS新一代协同仿真平台Workbench能很方便地求出起重机的模态特性[15]。采用缩小20倍的起重机模型，得出起重机前6阶的振动频率及相应的振型。其各阶频率如表5所示。

表5 6阶的振动频率Table 5 6-order’s vibration frequency

第一阶为沿小车轨道方向的振动，由小车起、制动引起；第二阶为沿着大车轨道方向的振动，可由大车启动和制动引起；第三阶为龙门起重机竖直方向的振动，由起升机构起升重物或刹车引起；其余振型反应了起重机的扭转或振动。图1～3为前三阶的振型。

图1 一阶振型Fig.1 First-order formation

图2 二阶振型Fig. 2 Second-order formation

图3 三阶振型Fig. 3 Third-order formation

3 小 结

（1）在实验条件不充分的条件下，可以采用模型分析法代替原型实验。所获得的数据再根据相应的相似准则转化为起重机原型的数据，为起重机的研究设计提供依据。

（2）合理的选取物理量描述起重机的工作性能是相似理论中最关键的一步。正确的物理量不但能准确地描述相似系统，在使用量纲分析法处理系统时简化相似系统，减轻了人员的负担。

（3） 本文中研究的龙门起重机，其静态特性能完全符合设计要求，结构的振动特性也能较好地满足工作要求，能够投入运行使用。

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Finite element analysis of gantry crane’s main girder

LI Xin-hua, TANG Min, CAO Wei-wei
(School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, Hunan, China)

Forest gantry crane was widely used sawmill and timber transfer stations and other places in log loading and unloading. For the crane development researches, the prototype test analysis was restricted by time, experimental conditions, and many other factors.By using similarity theory, dimensional analysis, and model analysis research, the researches’ risk and cost were reduced, and the work eff i ciency also was raised.

forestry machinery; gantry crane; main girder; similarity theory; fi nite element analysis

S776.3

A

1673-923X(2013)05-0110-04

2012-12-10

湖南省科技厅科研项目（2009GK3138）

李新华（1955-），男，湖南常德人，教授，主要从事机械工程教学与科研；E-mail:lxh5623382@126.com

[本文编校：谢荣秀]