平面上线性变换的特征向量的几何意义＊

纪永强

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

关于线性变换的特征向量的定义及有关性质，在文献［1］、［2］、［3］中都有讨论，但对于平面上线性变换的特征向量的几何意义还没有人具体地研究过.本文给出平面上线性变换的特征向量的几何意义，提高对特征向量的直观认识.

1 平面R2 上由非对称矩阵对应的线性变换的特征向量的几何意义

设R2＝｛x＝（x1，x2）｜x1，x2∈R｝，则R2是二维向量空间，向量x与向量的和及向量x与数a的乘法是：

其 中：x＝（x1，x2）∈R2.R2中的元素（x1，x2）也是平面上某点的坐标，因此我们称R2是平面.设F∶R2→R2是平面R2上的线性变换，即

其中：x∈R2；a，b∈R.由参考文献［1］中的定理1.2.3，我们得如下定理成立：

定理1［1］设变换F∶R2→R2为F（（x1，x2））＝（y1，y2），则F是平面R2上的线性变换的充要条件是：

即

由此可知，平面R2上的线性变换F与二阶实矩阵A＝（aij）2×2是相互确定的，即给出了线性变换，就可得出矩阵A，反之，给出了矩阵A，就可写出线性变换.

线性变换的几何意义是：设A的行列式｜A｜≠0，则线性变换（3）式是平面R2上的非退化的线性变换，它将平面R2上的点（x1，x2）变为唯一的一点（a11x1＋a12x2，a21x1＋a22x2），当｜A｜＝0时，F是退化的线性变换.设F∶R2→R2是向量空间R2上的线性变换，e1＝（1，0）和e2＝（0，1）是R2的一组基，设

其中：（a11，a21）和（a12，a22）分别是向量F（e1）和F（e2）关于基e1，e2的坐标.（5）式写成矩阵形式是：

设α＝（x1，x2）∈R2，则α可写成矩阵形式如下：

从而有：

因为F是R2上的线性变换，由（7）式、（2）式及（6）式得：

［2］、［3］，我们有特征向量的定义如下：

定义［2］设F∶R2→R2是向量空间R2上的线性变换，λ∈R，α是R2上的非零向量，若

则称λ是线性变换F的一个特征根，α属于特征根λ的特征向量.

显然，对任a∈R，a≠0，有F（aα）＝λ（aα），所以aα是属于特征根λ的所有特征向量.因为α＝（x1，x2）∈R2，所以（10）式可以写为：

由此我们得到，平面R2上线性变换F的特征向量α的几何意义是：特征向量α是平面R2上点M的径矢量，即α＝，而点M的坐标是（x1，x2），属于特征根λ的所有特征向量aα都在由点（0，0）和点（x1，x2）确定的直线OM上.因为F（α）与α的坐标成比例，所以矢量F（α）与矢量α线性相关，几何上，F（α）与α在过原点的直线OM上.

由（8）式、（9）式和（10）式，我们得特征向量的充要条件如下：

设α＝（x1，x2）是线性变换F∶R2→R2的属于特征根λ的一个特征向量，即

其中：ξ＝αT是α的转置，它是二行一列矩阵，也是一个列向量，α＝ξT.A＝（aij）2×2是线性变换F的矩阵，E2是二阶单位方阵.因为特征向量ξ≠0，所以关于x1，x2的二元一次齐次方程组（14）式有非零解x1与x2的充要条件是：它的系数行列式为零，即

其中：（15）式称为线性变换F或二阶方阵A的特征方程.F的特征多项式是：

其中：I1＝a11＋a22＝trA是矩阵A＝（aij）2×2的迹，I2＝a11a22－a12a21＝是矩阵A的行列式.由此可知，线性变换的特征方程（15）式为：

这是关于λ的一元二次方程，现在讨论方程（17）式的根.

（1）当方程（17）式的判别式△＝－4I2＜0时，方程（17）式无实根，从而线性变换F无实的特征向量ξ或α.

（2）当方程（17）式的判别式△＝－4I2＞0时，由（17）式得到两个不同的特征根：

再将λ1和λ2分别代入（14）式，可求得对应的特征向量分别是：

因为α1与α2的坐标不成比例，所以α1与α2线性无关.由此得，线性变换F的不同特征根（λ1≠λ2）对应的特征向量α1与α2线性无关.几何意义是：α1与α2是平面R2上经过原点的两个不在一条直线上的非零矢量.又F（α1）＝λ1α1，F（α2）＝λ2α2，所以F（α1）与α1在一条直线上，F（α2）与α2在一条直线上，并且F（α1）与F（α2）不在同一条直线上.

（3）当方程（17）式的判别式△＝－4I2＝0时，即

由（17）式得两个相同的特征根：

或

由（19）式可知，（21）式与（21）′式的坐标成比例，即（21）式与（21）′式表示同一个特征向量.设a12≠a21，此时，矩阵A是非对称的二阶矩阵.由此得到：对于非对称矩阵对应的线性变换，当特征根是二重根时，它的特征向量（21）式是平面上经过原点的一个非零矢量，即α＝（2a12，a22－a11）.这就是重根对应的特征向量的几何意义.

由上面的讨论，我们得到如下平面上特征向量的几何意义的定理成立：

定理1 设F∶R2→R2是平面R2上由二阶非对称实矩阵A＝（aij）2×2对应的线性变换，即

设λ1＝和是线性变换F的特征根，其中I1＝（a11＋a22），I2＝a11a22－a12a21，△＝－4I2，则

（1）当λ1与λ2是共轭复数根时，即－4I2＜0时，则线性变换F是无实的特征向量.

（2）当λ1与λ2是不同的实根时，即－4I2＞0时，α1＝（2a12，a22－a11＋）和α2＝（2a12，a22－a11－）分别是λ1与λ2对应的特征向量，即F（α1）＝λ1α1，F（α2）＝λ2α2，则线性变换F对应的特征向量α1与α2是平面R2上自原点出发的两个不共线的矢量，并且直线（a22－a11＋）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1对应的特征向量，直线（a22－a11－）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2对应的特征向量.

（3）当λ1与λ2是相同的实根时，即λ1＝λ2＝（a11＋a22）时，即－4I2＝0时，则线性变换F对应的特征向量只有一个，即α＝（2a12，a22－a11），α是平面R2上自原点出发的非零矢量，直线（a22－a11）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是重根对应的特征向量.

具体例子如下：

由（19）式，我们可得下面的例题：

2 平面R2 上由对称矩阵对应的线性变换的特征向量的几何意义

矩阵A的特征方程是：

因为特征方程的判别式：

所以特征方程（23）式的根都是实数.

（1）当判别式△＞0时，由（23）式得两个不同的特征根：

其中：△＝（a11－a12）2＋，易得λ1与λ2对应的特征向量分别是：

因为α1与α2的内积（点积）是：

所以α1与α2正交（垂直），或由参考文献［4］知，α1与α2正交，并且F（α1）＝λ1α1，F（α2）＝λ2α2.由此可得，二阶实对称矩阵A对应的线性变换的不同特征根λ1与λ2对应的特征向量α1与α2垂直，这就是特征向量的几何意义.

（2）当判别式△＝0时，即△＝（a11－a12）2＋＝0，得a11＝a22≠0，a12＝0.此时对称矩阵A为，对应的线性变换是：

这是伸缩变换，矩阵A的特征方程是：

得到λ1＝λ2＝a11≠0，易得对应的特征向量是：

其中：X，Y是不全为零的任意实数.几何意义是：经过原点的任一非零矢量α＝（X，Y）都是重根λ1＝λ2＝a11≠0对应的特征向量，并且F（α）＝a11α.由此可得下面的定理成立：

定理2 设F∶R2→R2是平面R2上由二阶实对称矩阵A＝（aij）2×2对应的线性变换，即

（1）当λ1与λ2是不同是实根时，即－4I1＞0时，则线性变换F对应的特征向量α1＝（2a12，a22－a11＋）与α2＝（2a12，a22－a11－）是平面R2上自原点出发的两个互相垂直的矢量，并且直线（a22－a11＋）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1对应的特征向量，直线（a22－a11－）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2对应的特征向量.F（α1）＝λ1α1，F（α2）＝λ2α2.

（2）当λ1与λ2是相同的实根λ1＝λ2＝a11时，即－4I1＝0时，则线性变换F对应的特征向量有无穷多个，即α＝（X，Y），其中X，Y是不全为零的任意实数，α是平面R2上自原点出发的任意非零矢量.

具体例子如下：

易得矩阵A的特征根λ1＝3，λ2＝－2，对应的特征向量分别是α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）.几何意义是：α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）是平面上自原点出发的两个互相垂直的矢量.直线x＋2y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1＝3对应的特征向量，直线y＝2x上的一切非零矢量都是特征根λ2＝－2对应的特征向量，并且F（α1）＝3α1，F（α2）＝－2α2.F（α1）与F（α2）垂直，F（α1）与α1＝（2，－1）在直线x＋2y＝0上，F（α2）与α2＝（1，2）在直线y＝2x上.

参考文献：

［1］纪永强.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，2012：5－18.

［2］北京大学数学系.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1988：296－304.

［3］张禾瑞，郝炳新.高等代数［M］.北京：人民教育出版社，1980：248－254.

［4］纪永强.空间解析几何［M］.北京：高等教育出版社，2013：238－240.