两类问题情境新题型剖析
2013-12-23张磊磊
张磊磊
进入新课改后，各地纷纷出现了问题情境型新题型. 该题型背景新颖、设问巧妙，能有效考查学生的自学能力以及观察分析、辨别是非、类别操作、抽象概括、数学归纳、语言表达的能力，构成近年中考题中一道亮丽风景. 该题型的具体模式是：“问题情境——建立模型——求解——解释——应用”.下面举例说明.
一、知识应用型
例1 理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移项得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q与c及m都是整数，所以c是m的因数.上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，-1、1、2不是方程的整数解.
解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1、-1、7、-7这四个数.（2）该方程有整数解.方程的整数解只可能是3的因数，即1、-1、3、-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解.
点评：解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.
二、方法模拟型
例2 实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图1）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图2）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图3）：
……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图4）
进入新课改后，各地纷纷出现了问题情境型新题型. 该题型背景新颖、设问巧妙，能有效考查学生的自学能力以及观察分析、辨别是非、类别操作、抽象概括、数学归纳、语言表达的能力，构成近年中考题中一道亮丽风景. 该题型的具体模式是：“问题情境——建立模型——求解——解释——应用”.下面举例说明.
一、知识应用型
例1 理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移项得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q与c及m都是整数，所以c是m的因数.上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，-1、1、2不是方程的整数解.
解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1、-1、7、-7这四个数.（2）该方程有整数解.方程的整数解只可能是3的因数，即1、-1、3、-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解.
点评：解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.
二、方法模拟型
例2 实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图1）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图2）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图3）：
……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图4）
进入新课改后，各地纷纷出现了问题情境型新题型. 该题型背景新颖、设问巧妙，能有效考查学生的自学能力以及观察分析、辨别是非、类别操作、抽象概括、数学归纳、语言表达的能力，构成近年中考题中一道亮丽风景. 该题型的具体模式是：“问题情境——建立模型——求解——解释——应用”.下面举例说明.
一、知识应用型
例1 理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移项得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q与c及m都是整数，所以c是m的因数.上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，-1、1、2不是方程的整数解.
解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1、-1、7、-7这四个数.（2）该方程有整数解.方程的整数解只可能是3的因数，即1、-1、3、-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解.
点评：解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.
二、方法模拟型
例2 实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图1）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图2）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图3）：
……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图4）
