利用MATLAB软件辅助组合设计理论课程教学：以阿达玛矩阵的构造为例

王 岚

(福建广播电视大学，福建福州，350003)

一、引言

组合设计是离散数学的一个重要分支。《组合设计理论》课程中的许多内容[1-3](如:拉丁方设计、区组设计、正交设计等等)常常会涉及到大量繁琐的矩阵运算。若采用传统的“黑板——粉笔”教学方式手工演算，既费时又费力，还极易出错。因此，一般只能选择相对简单的例子进行讲解，而计算复杂的举例就较难展示计算过程；同时，所得出的计算结果也不易于验证其正确与否。这些都在一定程度上影响了学生对学习内容的理解和运用。随着计算机技术的普及和发展，计算机辅助教学已越来越成为提高教学质量与效率，加深学生对所学知识的理解的一种有效手段。

根据《组合设计理论》课程教学内容的特点，本文选取MATLAB软件包作为其辅助教学工具。MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称，是美国The Math Works公司出品的一款成熟的商业数学软件包。[4]一方面，MATLAB软件包具有十分强大的数值计算功能，支持各种类型的矩阵演算，并能够高效迅速地得出计算结果；另一方面，MATLAB软件包内置的作图功能可将计算结果以图形图像的方式直观地展示出来。此外，MATLAB语言的语法简单，易于上手，有利于辅助教学的推广。以下本文将以《组合设计理论》中的经典内容——阿达玛矩阵的构造为例，着重介绍如何运用MATLAB软件包来实现《组合设计理论》课程的辅助教学。

二、利用MATLAB软件构造阿达玛矩阵

(一)阿达玛矩阵简介

1867年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特从正交性思想出发，提出了阿达玛矩阵，至今已经有一百多年的历史。由于阿达玛矩阵具有正交特性，使得它在多面体理论、编码理论、通信理论[5]、数字信号处理等领域有许多重要的应用。

现给出阿达玛矩阵的数学定义如下:

定义1设Hn为一个以±1为元素的n×n方阵，如果H满足:

则称Hn为一个n阶阿达玛矩阵。

从阿达玛矩阵的定义出发，不难得出矩阵的阶数n一定是4的倍数(一阶和二阶阿达玛矩阵除外)。

(二)8阶阿达玛矩阵的构造

本例最为简单，可以直接调用MATLAB标准工具箱中的hadamard()函数。在MATLAB的命令窗口(Command Window)中输入语句“hadam ard(8)”即可得到结果，如下图所示:

图1 构造8阶阿达玛矩阵

(三)44阶阿达玛矩阵的构造

由于n=44=43+1，因此本例可以通过佩利构造法I[6]进行求解，具体的MATLAB代码如下:

图2 佩利构造法I构造44阶阿达玛矩阵

需要注意的是，如果此例直接调用MATLAB自带的hadamard()函数将导致运行出错，如下图所示:

图3 MATLAB运行出错

运行出错的原因在于MATLAB标准工具箱的hadamard()函数对n有一定限制，即要求阿达玛矩阵阶数n只能在以下三个正整数集合中取值:

(四)76阶阿达玛矩阵的构造

此例同样无法直接调用MATLAB自带的hadamard()函数。但由于 n=76=2×(37+1)，因此本例可以通过佩利构造法II[6]进行求解，具体的MATLAB代码如下:

图4 佩利构造法II构造76阶阿达玛矩阵

通过上面几句简单的MATLAB语言，即可得到76阶阿达玛矩阵。我们还可以利用MATLAB强大的画图功能展示矩阵的全貌(其中，1用白色方格表示，-1用黑色方格表示)，如下图所示:

图5 76阶阿达玛矩阵

(五)36阶阿达玛矩阵的构造

同样地，36阶阿达玛矩阵也可用佩利构造法II[6]进行求解。但为了避免与上一节的内容重复，本节将采用拉丁方阵的方法构造36阶阿达玛矩阵。在Command Window中输入MATLAB代码如下图所示:

图6 拉丁方方法构造36阶阿达玛矩阵

(六)176阶阿达玛矩阵的构造

通过简单计算，我们发现佩利构造法I和佩利构造法II都无法构造出176阶阿达玛矩阵。但是，借助已经构造好的8阶阿达玛矩阵和44阶阿达玛矩阵，我们可以构造出176阶阿达玛矩阵。求解过程共分为五个步骤，完整的MATLAB代码如下图所示:

图7 构造176阶阿达玛矩阵

(七)基于T-序列的阿达玛矩阵构造

T-序列与阿达玛矩阵有密切关系。文献[3]指出，如果存在4个长度为n的T-序列，那么必定存在4n阶的阿达玛矩阵。

现考虑给定一个T-序列如下:

通过执行以下的MATLAB程序，可得出相应的阿达玛矩阵。

图8 根据T-序列构造阿达玛矩阵

三、结束语

通过以上几个例子，我们可以充分体会到MATLAB的强大数值计算功能和画图功能，使求解大规模组合设计问题成为可能，同时还能够直观展示矩阵的全貌。因此，MATLAB软件包辅助《组合设计理论》课程教学，既能有效地缩短计算时间，提高计算正确率，同时也使抽象、枯燥的高等数学课程学习变得直观、形象，从而增强学生学习和应用数学的兴趣。

[1]Marshall Hall.Combinatorial theory[M].2nd Edition.New York:A Wiley Inter Science Publication，1998.

[2]Douglas R.Stinson.Combinatorial Designs:Constructions and Analysis[M].New York:Springer-Verlag，2004.

[3]沈灏.组合设计理论[M].第一版.上海:上海交通大学出版社，1996.

[4]张志涌.精通 MATLAB6.5版[M].北京:北京航空航天大学出版社，2004.

[5]罗新民，薛少丽，田琛.现代通信原理[M].北京:高等教育出版社，2008.

[6]R.E.A.C.Paley，On Orthogonal Matrices[J].Math.Phys.1933，(12):311-320.