具非线性源快扩散方程组解的熄灭

刘 令,王国铭,朱立勋

(1.吉林建筑大学 基础科学部,长春 130118;2.吉林大学 数学学院,长春 130012)

0 引 言

考虑如下快扩散方程组解的熄灭性质:

(1)

其中: 00;Ω是N(N=1,2)中的有界光滑区域;非负非平凡函数u0,v0∈L∞(Ω).问题(1)可用于描述牛顿流体在多孔介质中的扩散、可燃混合物的燃烧或种群密度的变化规律等[1-3].

与解的有限时刻爆破一样,解的有限时刻熄灭也是发展型方程的一个重要性质.自从Kalashnikov[4]通过比较Cauchy问题:

对于如下形式的非线性扩散方程:

(2)

具有非线性源项的快扩散方程

(3)

解的熄灭性质也得到了广泛研究,其中00时,李玉祥等[15]借助积分估计和Sobolev嵌入定理证明了: 如果q>m,问题(3)的唯一解对适当小的初值u0在有限时刻熄灭;如果q

陈玉娟等[3]考虑了当N>2时问题(1)解的熄灭性质,先证明了该问题弱解的局部存在性及某些特殊情形时弱解的唯一性,然后借助常微分方程组不变区域理论和积分估计的技巧,对某些特殊情形证明了当初值u0与v0“可比”时,该问题的解在有限时刻熄灭.基于此,本文研究问题(1)当N=1,2时解的性质.通过改进文献[3]使用的方法,对更广泛的源函数给出了问题(1)的解在有限时刻熄灭的充分条件.本文使用的方法不仅可以处理低维情形,还可以极大简化高维情形时类似结论的证明.由于问题(1)的反应项当0

1 弱解的局部存在与唯一性

当m,n>1时,问题(1)是退化的;而当0

定义1如果向量值函数(u,v)∈L∞(QT)×L∞(QT)满足下列3个条件,由称其为问题(1)在QT上的一个弱下解(弱上解):

1)u(x,0)≤(≥)u0(x),v(x,0)≤(≥)v0(x),x∈Ω;

2)u(x,t)≤(≥)0,v(x,t)≤(≥)0,(x,t)∈ΓT;

3) 对任意的t∈(0,T)和任意的ξ,η∈F,

如果(u,v)既是弱上解,又是弱下解,则称(u,v)是问题(1)在QT上的一个弱解.

问题(1)弱解的局部存在性可通过标准正则化方法证明[19],本文仅简述其过程.考虑如下正则化问题:

(4)

选取T>0充分小,使得对任意的k∈,问题(4)在QT上存在唯一正解(uk,vk),且‖uk‖L∞(QT)+‖vk‖L∞(QT)关于k是一致有界的.事实上,对任意的k∈,常微分方程Cauchy问题:

(5)

的解是问题(4)的一个上解.只需选取T>0为问题(5)解的最大存在区间即可.此外,由一致抛物型方程组解的比较原理可知,如果k

类似地有

(7)

定义有界函数Φk,Fk,Ψk和Gk,使其满足:

则式(6)和式(7)可改写为

∬Qt(u-uk){ξs+ΦkΔξ}dxds+∬Qtξ(v-vk)Gkdxds,

用类似于文献[19]的方法选取恰当的检验函数ξ,η并借助Gronwall不等式可得(u,v)≤(uk,vk),从而有(u,v)≤(U,V).故(U,V)是问题(1)的最大解.

下面建立问题(1)在某些特殊情形下解的唯一性.令λ1>0和φ1(x)分别是如下特征问题的第一特征值和相应的特征函数:

-Δφ(x)=λφ(x),x∈Ω;φ(x)=0,x∈∂Ω.

(8)

选取φ1(x)>0,将其单位化,使得‖φ1‖L∞(Ω)=1.

命题1如果下述条件之一成立,则问题(1)的局部解是唯一的:

1)q>m且p>n;

2)q>m,p=n且λ1≥1;

3)p>n,q=m且λ1≥1;

4)q=m,p=n且λ1≥1.

证明: 当条件4)成立时,问题(1)的解是唯一的[3].因此只需证明情形1)～3).令(u,v)是问题(1)的任意解,(uk,vk)是问题(4)的解,选取φ1(x)作为检验函数可得

令k→∞,得

∬Qt{-λ1(Um-um)+(Vp-vp)}φ1(x)dxds.

(9)

类似地有

∬Qt{-λ1(Vn-vn)+(Uq-uq)}φ1(x)dxds.

(10)

先考虑q>m且p>n的情形.由文献[21]可知,存在M>0和常数00,使得对任意的0≤a≤b≤M,都有

(11)

命题2假设(u,v)和(z,w)分别是问题(1)在QT上的非负弱上、下解,且存在δ>0,使得(u,v)≥(δ,δ),则(u,v)≥(z,w)于QT.

命题2的证明过程类似证明(U,V)是问题(1)的最大解,故略.

2 主要结果

为方便,将‖·‖Lα(Ω)简记为‖·‖α.

引理1[3]设ai,bi(i=1,2),p,q是正常数,0

其中0<δ1,δ2<1.假设非负函数W1,W2满足

(12)

如果(W1(0),W2(0))∈Q,则(W1,W2)∈Q.

引理2[3]假设引理1的条件成立,则当(W1(0),W2(0))∈Q时,问题(12)的任意非负解都是单调不增的,且在有限时刻熄灭.

由引理2和常微分方程组的比较原理可得如下推论.

推论1假设非负函数W1,W2满足

(13)

如果(W1(0),W2(0))∈Q,则问题(13)的任意非负解(W1,W2)在有限时刻熄灭.

定理1假设mn

(14)

证明: 为方便,不妨假设问题(1)的弱解具有很好的光滑性.否则可以对正则化问题的解得到相应的估计,然后通过标准极限过程得到所需的结论.由于pq≤1,易知此时存在常数r,s>1,使得p≤r/s≤1/q.在问题(1)的方程两端分别乘以us-1,vr-1后在Ω上分部积分,可得

(15)

(16)

(17)

这里γ1>0是嵌入常数.将式(17)代入式(15)可得

(18)

(19)

类似地可得

(20)

其中:r>3-n;γ2>0是嵌入常数.令

则由式(19)和式(20)可得

(21)

对式(21)应用推论1可知,当初值(u0,v0)满足式(14)时,(W1,W2)在有限时刻熄灭,从而(u,v)也在有限时刻熄灭.证毕.

定理2假设mn<1

(22)

其中: 0<δ1,δ2<1;p1∈(0,p)满足mn

证明: 由于mn

-Δφ(x)=1,x∈Ω0,φ(x)=0,x∈∂Ω0,

(23)

于是,式(15),(16)可分别改写为

(24)

(25)

这里p1∈(0,p)满足mn

定理3假设mn=pq且区域Ω适当小,则对适当小的初值(u0,v0),问题(1)至少存在一个在有限时刻熄灭的解.

证明: 通过构造一个在有限时刻熄灭的上解完成证明.为此,令

令(g1(t),g2(t))是下述常微分方程组的非负解:

(26)

本文使用的方法也可处理具非局部源的快扩散方程组解的熄灭性质.

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