顺 从 算 子 的 稳 定 性

石洛宜,武玉婧

(1.天津工业大学 理学院,天津 300387;2.天津职业大学 基础部,天津 300402)

Johnson[1]首先在Banach代数上引入了算子顺从性的概念.之后,Bade等[2]和Monfared[3]在Banach代数上分别引进了弱顺从性和特征顺从性的概念.目前，算子代数的顺从性及顺从性相关的性质已引起人们广泛关注,并取得了许多研究结果,推动了C*代数、Von Neumman代数和抽象调和分析的发展[1,4-5].具有顺从性的算子代数都相似于C*代数,但“每个具有顺从性的算子代数是否都一定相似于一个C*代数”的猜测目前还没有完全解决.

B(H )中由单个算子生成的Banach代数是B(H )的一类特殊Banach子代数.假设T∈B(H ),令AT表示由T生成的Banach子代数,若AT是顺从(弱顺从或特征顺从)的,则称T是顺从(弱顺从或特征顺从)的;如果Aπ(T)是顺从(弱顺从或特征顺从)的(π(T)表示T在Calkin代数中的像),则称T是本性顺从(弱顺从或特征顺从)的.Willis[6]首次研究了紧算子的顺从性,并且得到了紧算子是顺从的当且仅当其相似于正规算子.Farenick等[7]利用谱的语言给出了正规算子的顺从和弱顺从性以及上三角算子顺从性的完全刻划,证明了:

1) 如果T是顺从的,则T的谱σ(T)没有内点并且补集连通;

2) 如果T是一个正规算子,则T是顺从的当且仅当T是弱顺从的,当且仅当T是特征顺从的,当且仅当σ(T)没有内点且补集连通;

3) 上三角算子T是顺从的当且仅当T相似于一个正规算子,并且σ(T)没有内点且补集连通.

如果σ(T)没有内点且补集连通,则T一定是双拟三角算子.即各种顺从算子都是双拟三角算子.本文研究B(H )中所有顺从(弱顺从、特征顺从)算子构成的集合在B(H )中的百分比,并进一步研究顺从算子在各种相似意义下的稳定性.结果表明,各种顺从算子在取极限意义下都是不稳定的.

1 引 理

若A是一个含单位元的Banach代数,对任意的T∈A,令σA(T)表示T相对于A的谱.特别地,如果取A=B(H ),令σ(T)表示T相对于B(H )的谱.对任意的T∈B(H ),令σe(T)表示π(T)相对于Calkin代数的谱.如果RanT是闭的,而且nulT和nulT*中至少有一个有限的,则称T是一个半Fredholm算子;此时,indT∶=nulT-nulT*称为T的指标;ρs-F(T)∶={λ∈:λ-T是一个半Fredholm 算子}称为T的半Fredholm域.如果对任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T≥0,则称T是拟三角的;如果对任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T=0,则称T是双拟三角的.假设A是B(H )的一闭子代数,记A的换位代数

A ′∶={B∈B(H ):AB=BA,∀A∈A }.

设M是H的一闭子空间,如果对任意的A∈A,均有AM⊂M,则称M是A的一不变子空间.记Lat A表示A所有不变子空间构成的集合,并称为A的不变子空间格;Lat A ′中每个元素称为A的一个超不变子空间.如果对任意的M∈Lat AT,存在N∈Lat AT，使得MN=H,则称算子T∈B(H )是Banach 约化的.

则称T与S是近似相似的;如果存在单射稠值域的算子X和Y,使得TX=XS,YT=SY,则称T与S是拟相似的.

引理1[3,7]设A,B是交换的Banach代数,φ: A→B是连续的同态,并且φ(A )在B中稠.如果A是顺从(弱顺从或特征顺从)的,则B也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的.

引理2[3,5]设A是一个交换的Banach代数,I是A的一个双边闭理想,满足A/I和I都是顺从(弱顺从或特征顺从)的,则A也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的.

由引理1和引理2可得:

引理3设T∈B(H ).如果T是顺从(弱顺从或特征顺从)的,则:

1) 对所有的λ∈,λT也都是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的;

2) 对所有的λ∈,λI+T也都是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的;

3) 对所有B(H )中的可逆算子S,STS-1也都是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的;

4) 如果M是T的不变子空间,则T|M也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的;

5)π(T)也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的;

6)T*也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的.

引理4假设A是一个含有单位元的Banach代数,T∈A是顺从(弱顺从或特征顺从)的,则σAT(T)=σA(T)没有内点且补集连通.

推论1假设T是一个顺从算子,并且从AT到(σ(T))的Genlfand变换是下方有界的,则T相似于一个正规算子.

证明: 根据引理4,σ(T)是补集连通的且没有内点.此外,由于Genlfand变换是下方有界的,即存在K>0,使得对任意的多项式p,‖p(T)‖≤K‖p‖∞,这里‖·‖∞表示极大模范数.从而σ(T)是T的K-谱集[8].再利用σ(T)没有内点且补集连通,由文献[9]中定理4可知,T相似于一个正规算子.

注1假设T∈B(H )相似于一个正规算子,且σ(T)没有内点补集连通,根据文献[10]中定理8.7知,AT相似于一个C*代数.反之,若T是一个顺从算子,且AT相似于一个C*代数,根据推论1,T必相似于一个正规算子.综上可知,对于单生成的Banach算子代数,每个顺从算子代数都相似于C*代数的猜想等价于每个顺从算子都相似于一个正规算子.

如果存在另外一个Hilbert算子H0和T0∈B(H0)及T0的一个不变子空间M,使得T酉等价于T0|M,则称算子T∈B(H )是次正规的;如果T(T*T)1/2=(T*T)1/2T,则称算子T是拟正规的.由于任意的次正规或拟正规算子都满足推论1的条件,因此根据推论1和Putnam-Fuglede定理可知,如果T是次正规或拟正规算子,则T是顺从的当且仅当T是正规的.

2 各种顺从算子在B(H )中的百分比

由引理4可见,若T是一个顺从、弱顺从或特征顺从算子,则T必是一个双拟三角算子.记QT,BQT,AM,WAM,CAM分别表示B(H )中所有拟三角、双拟三角、顺从、弱顺从和特征顺从算子构成的集合.记EAM,EWAM,ECAM分别表示B(H )中所有使得其在Calkin代数A(H )中的像是顺从、弱顺从和特征顺从算子构成的集合.下面研究这些集合的闭包、内点以及它们之间的集合包含关系.

定理1假设H是一个无穷维的Hilbert空间,则有下列集合包含关系:

1)AM⊆WAM⊆BQT⊆QT;

2)AM⊆CAM⊆BQT⊆QT;

3)EAM⊆EWAM⊆BQT⊆QT;

4)EAM⊆ECAM⊆BQT⊆QT;

5)CAM0=WAM0=AM0=Ø;

证明: 假设T属于AM(WAM,CAM,EAM,EWAM或ECAM),根据引理1和引理4,1)～4)的包含关系显然.

下面证明5).根据1),2)易知WAM0⊇AM0,CAM0⊇AM0,因此只需证明CAM0=WAM0=Ø即可.任取T∈B(H ),假设λ0∈σle(T),根据文献[11]中定理3.49,对任意的ε>0,存在一无穷维Hilbert空间Hε⊆H及B(H )中的紧算子K1,使得‖K1‖<ε/2,(T+K1)Hε⊂Hε,并且T+K1在Hε上的限制Tε=(T+K1)|Hε=λ0I.此时任取Hε上一非零的紧幂零算子K2满足‖K2‖<ε/2,根据引理3和文献[6]可知,Tε+K2一定不是特征顺从或弱顺从的.从而根据引理3可知T+K1+(K2⊕0)不是特征顺从或弱顺从的.即CAM0=WAM0=Ø成立.

下面证明6).根据文献[11]中定理6.15,

利用1)～4)及5)的证明和文献[7]易知,

利用引理3可知,

AM⊆EAM,WAM⊆EWAM,CAM⊆ECAM,

从而

下面用反证法证明

假设存在一列{Tn}⊂B(H ),Tn→T,并且使得每个π(Tn)都是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)的,但T∉BQT.即存在k≠0及σ(T)中的一个开区域Ω,使得对任意的λ∈Ω,ind(λ-T)=k.由于π(Tn)是顺从(弱顺从或特征顺从)的,根据引理4,σe(Tn)没有内点补集连通.此外,由于Tn→T,根据指标的稳定性,存在Ω的一个子区域Ω1和N>0,使得对任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)≠0.

情形1) 如果对任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)=+∞或ind(λ-Tn)=-∞,则对任意的n>N,Ω1⊂σe(Tn);

情形2) 如果对任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)<+∞且ind(λ-Tn)>-∞,则当n>N时,σe(Tn)补集一定是不连通的.因此,当n>N时,σe(Tn)或者有内点或者补集不连通,这与σe(Tn)没有内点补集连通矛盾.所以

注2由定理1可见,B(H )中所有顺从(弱顺从或特征顺从)算子在BQT中是稠的,其补集在BQT中是稠的.即顺从(弱顺从或特征顺从)算子和非顺从(弱顺从或特征顺从)算子所构成的集合均没有内点.因此,顺从、弱顺从和特征顺从性在取极限的意义下都是不稳定的.

3 稳定性

对于Hilbert空间上的算子,相似和酉等价是重要的等价关系,此外还有许多其他等价关系.本文主要研究顺从性在各种等价关系下的稳定性.

根据引理3可知,若T是一个顺从(弱顺从或特征顺从)算子,S与T相似(酉等价),则S也是一个顺从(对应的弱顺从或特征顺从)算子.

定理2假设T和S是近似相似的,且T是顺从(弱顺从或特征顺从)算子,则S也是顺从(对应的弱顺从或特征顺从)算子.

证明: 由T和S是近似相似的,存在常数K>0和可逆算子列{Xn},使得

定义从AT到AS的映射φ: AT→AS,其中对任意的多项式p,φ(p(T))=p(S).由于对任意的多项式p,‖p(S)‖

下面举例说明各种顺从性在渐近相似和拟相似下都是不稳定的.

注3综上可知,顺从、弱顺从和特征顺从性在相似、酉等价、渐近酉等价和近似相似这些等价关系下都是稳定的;在渐近相似和拟相似这些等价关系下是不稳定的.根据文献[14]中引理3.9和引理3.13,虽然顺从性在拟相似下是不稳定的,但与正规算子或紧算子拟相似的算子如果是顺从的,则一定相似于正规算子.

命题1假设T是一个顺从算子,且存在正规算子N及可逆算子列{Xn},{Yn},使得

即T与N渐近相似.如果Xn或Yn不按弱算子拓扑收敛到0,则存在T的不变子空间M≠{0},使得T|M相似于一个正规算子.

证明: 不失一般性,可以假设Xn是有界序列,并且不按弱算子拓扑收敛到0.从而存在X0≠0及{Xn}的子列{Xnk},使得Xnk按弱算子拓扑收敛到X0,于是可知X0T=NX0.此外,T与N是渐近相似的,根据谱的上半连续性可知σ(T)=σ(N).令A=N⊕T,直接验证易得AA和AT是同构的,从而A也是一个顺从算子.根据文献[14]中定理3.11的证明过程易知,存在T的不变子空间M≠{0},使得T|M相似于一个正规算子.

命题1表明若顺从算子T与一个正规算子渐近相似且满足一定的条件,则T一定有相似于正规的部分.

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