含有分布导数的微分方程解的存在唯一性定理

杨慧敏,叶国菊,周雪圆,周 浩,王 鸥

(河海大学 理学院,南京 210098)

0 引 言

Kurzweil[1]在Euclid空间里给出了广义常微分方程的概念,随后该概念得到了广泛应用[2-9].广义常微分方程包含普通的常微分方程和测度微分方程等[2],其解具有良好的性质,因此受到人们广泛关注[7,10-12].

考虑区间[a,b]⊂,-∞

(1)

则函数x：O×[a,b]→n称为广义常微分方程

(2)

本文考虑如下含有分布导数的微分方程:

x′=f(x,t),

(3)

其中:x′表示x的分布导数;f分布Henstock-Kurzweil可积.

1 预备知识

定义基本空间[13]为

若由D上分布的全体构成的空间是基本空间D的共轭空间,则称基本空间D上的连续线性泛函为分布或广义函数,记作D′.即若f∈D′,则f：D→,记作〈f,φ〉∈,其中φ∈D.对f∈D′,若〈f′,φ〉=-〈f,φ′〉,则称f′为f的分布导数，其中φ是检验函数.在该定义下,所有的广义函数都有各阶导数,且各阶导数都是广义函数.本文设f′表示f的分布导数,而f的普通导数记为f′(x).

设(a,b)是上的开区间,定义：

D((a,b))={φ: (a,b)→且φ在(a,b)上具有紧支集}.

D((a,b))的共轭空间记为D′((a,b)).

由DHK积分的定义可见，DHK积分包含Riemann积分、Lebegue积分、Henstock-Kurzweil积分及广义Denjoy积分.

分布Henstock-Kurzweil可积函数空间记作

DHK={f∈D′((a,b))|存在F∈BC,使得f=F′}.

DHK的共轭空间为BV (有界变差值函数构成的空间)[14].在DHK中,若定义范数‖f‖=‖F‖∞,则DHK是Banach空间,其中F∈BC是f的原函数.在该定义下,如果f∈DHK,则对任意的φ∈D((a,b)),满足

(4)

在C([a,b])上可以定义序关系,即对u,v∈C([a,b]),u≤v当且仅当对所有的t∈[a,b]满足u(t)≤v(t).在空间DHK中,定义偏序如下：对f,g∈DHK,称fg(或g⪯f)当且仅当f-g在[a,b]上是一个正测度[10].即若f,g∈DHK,则

(5)

在上述偏序关系下,下述结论成立.

引理2[16]对于f1,f2,f3∈D′((a,b)),f1⪯f2⪯f3,若f1,f3是DHK可积的,则f2也是DHK可积的.

若当n→∞时,‖fn-f‖→0,则称序列fn⊂DHK强收敛于f∈DHK,记作fn→f.

2 主要结果

给定r>0,记O={x∈n|‖x‖

定义2如果函数F：Ω→n满足下列条件，则称函数F属于F(Ω,h,ω)：

(H1) 对任意的(x,t1),(x,t2)∈Ω,‖F(x,t2)-F(x,t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|；

(H2) 对任意的(x,t1),(x,t2),(y,t1),(y,t2)∈Ω,

‖F(x,t2)-F(x,t1)-F(y,t2)+F(y,t1)‖≤ω(‖x-y‖)|h(t2)-h(t1)|.

引理5[2]假设F：Ω→n满足条件(H1),若[α,β]⊂[a,b],x：[α,β]→n是方程(2)的解,则对任意的t1,t2∈[α,β]，有

‖x(t2)-x(t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|.

引理6[2]假设给定F∈F(Ω,h,ω),x：[α,β]→n,[α,β]⊂[a,b],xk：[α,β]→n,如果x是函数列{xk}的极限函数,且对每个k∈,s∈[α,β],(xk(s),s)∈Ω,(x(s),s)∈Ω,DF(xk(τ),t)存在,则DF(x(τ),t)存在,且

引理7[2]给定F∈F(Ω,h,ω),且x：[α,β]→n,[α,β]⊂[a,b],xk：[α,β]→n是一列函数,如果x是{xk}的极限函数,且对任意的s∈[α,β],(x(s),s)∈Ω,则DF(x(τ),t)存在.

考虑微分方程(3),其中x′表示x∈n的分布导数.

假设[a,b]⊂,且分布f满足如下假设条件：

(H3) 在[a,b]上对任意给定的x∈n,f(x,·)是DHK可积的；

(H4) 在[a,b]上存在f-,f+∈DHK,使得对任意的x∈n满足f-⪯f(x,·)⪯f+；

(H5) 存在连续的增函数ω：[0,∞)→,ω(0)=0和分布l∈DHK,使得对任意的t∈[a,b],x,y∈n,有

|f(x,t)-f(y,t)|⪯ω(‖x-y‖)|l(t)|.

(6)

其中右侧积分表示DHK积分.

(7)

(8)

证明：由(H3),(H4)和式(5)有

∀I0⊂[a,b],

因此

(10)

同理可证,当t1≥t2时,有|F(x,t2)-F(x,t1)|≤h(t1)-h(t2),因此(H1)成立.

当t1≥t2时,类似可证.因此,(H2)成立,从而结论成立.

则由(H5)可知,

定理1函数x：[α,β]→n,[α,β]⊂[a,b]是方程(3)在[α,β]上的解当且仅当x是广义常微分方程(2)的解,其中F由式(7)给出.

证明：假设x：[α,β]→n是方程(3)的解,由命题1,DF(x(τ),t)存在，且对任意的t1,t2∈[α,β]，有

所以,x是方程(2)的解.反之,若x是方程(2)的解,则由命题1知，x：[α,β]→n满足式(6).又由引理5知,对任意的t1,t2∈[α,β],满足

‖x(t2)-x(t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|.

所以x是连续的.因此x是方程(3)的解.

引理9[2]假设F：Ω→n,F∈F(Ω,h,ω),取满足

则存在Δ-,Δ+>0,使得在区间[t0-Δ-,t0+Δ+]上存在广义常微分方程(2)的解x：[t0-Δ-,t0+Δ+]→n,且

则存在Δ-,Δ+>0,使得在区间[t0-Δ-,t0+Δ+]上存在方程(3)的解x：[t0-Δ-,t0+Δ+]→n,且满足

定义4若方程(2)的每个解y：[t0,t0+σ]→n,y(t0)=x(t0),都存在η1>0,使得对∀t∈[t0,t0+η]∩[t0,t0+σ]∩[t0,t0+η1],满足x(t)=y(t)，则方程(2)的解x：[t0,t0+η]→n称为在未来是局部唯一的.

对于方程(3)可以定义相同的概念.

引理10[2]设F∈F(Ω,h1,ω1),其中h1是左连续的增函数,ω1：[0,∞)→是增函数，且当r>0时,ω1(r)>0,ω1(0)=0,对任意的u>0,

(12)

定理3(唯一性) 设分布f满足条件(H3)～(H5),ω(r)>0,r>0,且对任意的u>0,

(13)

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