考虑桩土非线性的超长桩沉降计算方法

谢新宇 ，王忠瑾，王金昌，金伟良

(1. 浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点实验室，浙江 杭州，310058；2. 浙江大学 宁波理工学院，浙江 宁波，315100；3. 浙江大学 交通工程研究所，浙江 杭州，310058)

谢新宇1, 2，王忠瑾1，王金昌3，金伟良2

随着高层建筑和跨海大桥的增多，超长桩在深厚软土区的应用越来越多。桩基沉降计算是桩基工程中十分重要的内容，传统的桩基沉降计算方法中，荷载传递法[1−4]和剪切位移法[5−6]为广泛的简化方法，并在超长桩承载特性的理论研究中得到应用[7−9]。但荷载传递法是以桩体为研究对象，假定桩为理想弹性体，剪切位移法假定桩土之间没有相对位移，这与工程实际不相符，对于短桩沉降计算误差不大，但对于超长桩，由于超长桩的承载力较大，在高荷载水平下超长桩的沉降主要由桩身压缩组成，桩端沉降很小，且桩身压缩量表现为非线性[10−14]，因此，传统的桩基沉降计算理论不能合理地计算超长桩的沉降，相对于超长桩的广泛应用，与之相应的理论研究远落后于工程实践。已有的研究成果大多是基于现场测试结果进行分析研究，实测资料表明：超长桩桩端承受的荷载比例一般较小，主要由桩侧土体承担，表现为摩擦桩性状。随着荷载的增大，桩身上部侧摩阻力逐渐发挥至极限值，桩身上部的压缩变形逐渐由弹性变形发展为非线性变形[10−14]。随着桩顶荷载的增大，桩端力逐步发挥，但一般都没有发生刺入破坏。由于桩端阻力的发挥涉及了几何和材料双重非线性，目前还没有严格意义上关于桩端阻力与桩端沉降关系的研究成果。蒋建平等[15]基于超长桩现场试验资料，进行了超长桩桩端阻力随桩端沉降发挥性状的研究，得到了关于桩端阻力随桩端沉降发挥的3种模式。本文作者结合已有的研究成果，把超长桩的沉降计算简化为桩端沉降和桩身压缩2个部分。考虑桩土相对位移与桩土接触的非线性，将桩端力与桩端位移的计算简化为统一三折线模型，推导了由桩端微小位移引起的桩顶荷载和桩顶沉降；在计算过程中考虑桩身混凝土轴向的非线性压缩变形，并考虑由桩侧摩阻力引起的桩端沉降，分析桩侧土性质、桩身混凝土弹性模量和桩身长度等因素对超长桩承载特性的影响，并用此计算方法对温州某工程进行分析。

1 均质土层中桩基受力模型

1.1 桩土接触面上荷载传递简化模型

室内试验研究和工程实测数据都表明，桩土接触面上力学行为表现为非线性[16−18]，桩侧摩阻力的发挥与桩土相对位移呈非线性关系，本文采用文献[19]提出的反映桩侧摩阻力的发挥与桩土相对位移的Boxlucas1模型：

其中，τz为桩侧摩阻力；Δs为桩土相对位移；a为桩侧摩阻力极限值；ab乘积为起始切线刚度。桩侧摩阻力与相对位移关系如图1所 示。桩侧摩阻力随着桩土相对位移的增大呈非线性增大，当桩土相对位移达到极限位移时，桩侧摩阻力达到极限值τu，桩侧摩阻力不再随着桩土相对位移增大而改变。

图1 桩侧摩阻力与相对位移关系Fig.1 Relationship between shear stress and relative displacement

1.2 桩端力与桩端位移计算模型

超长桩桩端阻力与桩端位移关系如图2所示。本文在文献[15]研究成果的基础上，把桩端阻力与桩端沉降关系简化为三折线模型：

其中：Pb为桩端阻力；sb为桩端位移。桩端土位移在sub1以内时，桩端土的初始刚度为kb1，随着桩端位移的增大，桩端力按直线增加；桩端土位移在sub1与sub2之间时，桩端土的刚度为kb2，随着桩端位移的增大，桩端力增加幅度变缓；当桩端土的位移超过sub2时，桩端力随桩端位移的增大不再改变。

图2 桩端荷载−桩端沉降三折线模型Fig.2 Tri linear model of relationship between pile base load and pile base settlement

2 均质土层中桩基沉降计算

2.1 桩基沉降计算模型

超长桩的沉降计算模型，可简化为桩端和桩侧 2部分，如图3所示。桩端坐标为z=0，桩顶坐标为z=L，假定桩端土刚度为Kb，桩侧土刚度为Ks，桩身混凝土横截面积为A，弹性模量为Ep，桩顶荷载为Pt，任意截面z处桩身轴力为pz[19]。

图3 均质土层中桩基受力简化模型Fig.3 Simplified model of loaded pile in homogeneous soil

在计算过程中，只考虑桩身轴向的变形，不考虑桩身横向变形；在整个分析过程中，假定桩身截面均匀，不考虑桩身出现负摩阻力的情况；桩侧土体的位移仅与桩侧摩阻力有关。

已有的理论和试验研究[20−21]表明，桩侧土体的非线性，主要发生在与桩体接触的桩周土体上，桩土接触面以外的土体表现为弹性性状。桩土接触面上，桩侧摩阻力的发挥与桩土相对位移满足式(1)，根据Randolph等[5]的研究，接触面以外的土体竖向位移与桩侧摩阻力的关系满足：

式中：rm为桩基影响半径，为桩基半径；。

首先假定桩端发生微小沉降Δb，任意截面z处桩身位移sz为：

自桩端至任意截面z处，总的侧摩阻力为

任意截面处，桩身轴力pz：

对式(6)求导得：

对式(7)求导得：

解得：

其中：c为桩侧土体位移与桩侧摩阻力的比例系数。由式(9)可求得Δb：

由式(4)可得桩顶沉降：

2.2 桩侧摩阻力引起的桩端沉降计算

在上述的计算过程中，没有考虑桩侧摩阻力引起的桩端土体沉降，Geddes[22]基于Mindlin弹性理论解，导出了在单桩荷载作用下土体各点处应力计算公式，并得到广泛应用[23]。Geddes假定桩顶荷载Pt可分解为3部分：(1) 桩端集中荷载Pb；(2) 沿桩身均匀分布的荷载Pr；(3) 沿桩身线性增长的分布荷载Pu。单桩荷载分布如图4所示。

在3种力作用下，土体中任意一点(r,z)处的竖向应力可表示为

图4 单桩荷载分布Fig.4 Load distribution of single pile

其中：L为桩的入土深度；Ib，Ir和Iu分别为桩端荷载、矩形分布摩阻力分担的荷载和三角形分布摩阻力分担的荷载作用下地基中任一点的竖向应力影响系数，其表达式为[22]：

由式(10)可得，在桩端微小位移Δb下，可求得桩端荷载Pb和桩顶荷载Pt，根据上海市标准《地基基础设计规范》[24]，通常忽略桩侧均匀分布的摩阻力，桩顶荷载可按图5分解为2部分。

图5 单桩荷载分布计算Fig.5 Calculation of load distribution of single pile

对于均质土层，由式(13)和(15)可得桩端土在桩侧摩阻力作用下的位移ssb：

由式(11)和(17)可计算得到桩顶沉降sp为

在下一步迭代计算中，桩端微小位移增加量为Δb2，任意截面处桩侧土刚度Ks由计算得到的累加桩土相对位移Δs按照式(1)计算；桩端土刚度Kb按照式(2)由累计桩端微小沉降量Δtb计算求得。

2.3 桩身混凝土的非线性分析

随着桩顶荷载的增大，桩身总的压缩变形量增大，桩身上部非线性变形逐渐增大。通常基于桩身弹性模量在桩身压缩变形过程中保持不变来计算桩基沉降和承载力，由于超长桩承载较高荷载水平，工程实测数据表明：在超长桩的沉降计算中，桩身非线性压缩变形是不容忽略的[10−13]。

本文考虑桩身混凝土非线性压缩变形，采用Hognestad[25−26]建议的混凝土轴心受压应力−应变模型：

在实际工程桩中，桩身轴向应变小于ε0，在本文计算中，桩身混凝土的弹性模量按图6所示ε0内曲线变化。

图6 Hognestad应力−应变混凝土模型Fig.6 Hognestad model of stress−strain for concrete

当εc＜ε0时，桩身弹性模量Ec可表示为

计算过程中，假定桩身混凝土初始弹性模量为E0，计算微段长度为LAB，由式(10)和(11)可计算得到LAB段的应变ε0AB，把ε0AB代入式(20)得到变形后的混凝土弹性模量Ec，在下一步迭代计算中，微段LAB的弹性模量取Ec。在每一步迭代计算中，重复上述步骤直至最后计算结束。

3 成层土中桩基沉降计算

在实际工程中，地基一般是成层分布的，在本文中，假定每层土在水平向是均匀分布的。多层土中桩基沉降计算模型如图7所示[19]。

图7 多层土中桩基沉降计算模型Fig.7 Settlement calculation model for layered soils

对于第n层土，由式(6)可得第n层土顶部位置桩身轴力：

由式(7)可得第n层土顶部位置处桩身位移：

由式(8)和(9)可得第n层土顶部位置处对应的桩身刚度为

对于第(n−1)微段，由式(21)，(22)和(23)可得第(n−1)微段顶部位置处的桩身荷载、桩身位移和相应的桩身刚度分别为：

对于第i微段，由式(21)，(22)和(23)可得第i微段顶部位置处的桩身荷载、桩身位移和相应的虚拟刚度分别为：

按照上述步骤计算得到桩顶荷载Pt和对应的桩顶位移tΔ。

对于成层土，由上述计算得到桩顶荷载Pt、桩顶位移tΔ，按照图5可得到Pb和Pu。桩侧摩阻力引起的桩端沉降可按式(17)计算，可得桩顶沉降为

在下一步迭代计算过程中，任意截面处桩侧土刚度Ks由计算得到的累加桩土相对位移Δs按照式(1)计算；桩端土刚度为Kb按照式(2)由累计桩端微小沉降tbΔ计算求得，桩身混凝土的弹性模量Ec按式(20)计算。

4 超长桩沉降影响因素分析

超长桩的承载特性，受到多种因素影响，桩身混凝土强度等级、桩侧土体性质、桩身长度等。按照上述计算方法对影响超长桩承载特性的参数进行对比分析。

图 8所示为不同参数情况下桩顶荷载−沉降曲线对比。由图 8(a)可知：桩身混凝土强度越高，桩顶沉降越小，桩顶载荷−位移曲线越缓和，桩的刚度越大。由图 8(b)和图 8(c)可知：随着桩长和桩侧土体刚度的增大，桩基的承载力增大，桩的刚度增大。图 8(c)表明，桩侧土体刚度越大，在相同桩顶荷载下，桩顶沉降越小，在极限承载力内，对桩的刚度有较大影响。随着桩长的增大，桩的承载力增大，在桩基极限承载力内，在较大荷载作用下，随着桩长的增大，桩身的非线性压缩变形增大，见图8(d)。

图8 不同影响因素下桩顶荷载−沉降曲线对比Fig.8 Curves of load−settlement considering different factors

5 工程实例计算

此工程位于温州软土地区，主楼 68层，裙楼 8层，高322 m，采用筒中筒结构。地基软土层厚度达60多m。基础设计采用钻孔灌注桩，桩径1 100 mm，桩身混凝土强度等级为C40，设计要求单桩竖向承载力为13 MN。其中试桩S1入土深度为119.85 m，加载至25.2 MN，试桩没有破坏[27]，主要土层厚度和计算参数如表1所示。用本文方法计算S1试桩，计算与实测桩顶荷载−沉降曲线如图9所示。

表1 试桩S1桩侧主要土层分布及计算参数Table 1 Distribution of soil layers and calculation parameter of piles S1

图9 S1试桩的荷载−沉降曲线Fig.9 Load−settlement curve of pile S1

由图9可知：本文的计算结果和实测结果较吻合，可比较准确预测超长桩的沉降。

6 结论

(1) 考虑桩土接触相对位移、桩土接触面上力学行为的非线性和桩身混凝土轴向非线性应力−应变关系，推导了计算超长桩沉降的迭代公式。

(2) 在较大荷载水平下，超长桩的沉降主要由桩身的压缩变形引起，在相同桩侧土、桩端土性质和桩顶荷载下，随着桩身混凝土弹性模量的增大，桩顶沉降减小；随着桩长的增大，桩顶沉降减小，桩的极限承载力增大。相同桩身材料和桩长时，超长桩的刚度主要由桩侧土体的性质决定，桩侧土体摩阻力越大，桩的刚度越大。

(3) 在桩基极限承载力内，随着超长桩桩身长度的增大，在较大荷载作用下，桩身的非线性压缩变形增大；在实际工程中，计算超长桩在较大桩顶荷载作用下的沉降时，不可忽略桩身混凝土轴向的非线性压缩变形。

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