完整岩石Hoek−Brown屈服准则参数mi的经验模型

彭俊 ，荣冠 ，王小江 ，周创兵

(1. 武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉，430072；2. 武汉大学 水工岩石力学教育部重点实验室，湖北 武汉，430072)

边坡、坝基以及地下洞室围岩稳定性评价的核心问题之一就是确定岩体的屈服准则，合理可行的岩体屈服准则是数值模拟评价各类岩体变形与稳定的基础。Hoek−Brown(H−B)准则[1]是目前运用最广泛的岩体屈服准则之一，已被多次发展和完善[2−5]。确定H−B屈服准则的材料参数mi十分重要。对于完整岩石材料，mi≈σc/，其中σc为完整岩石的单轴抗压强度；σt为岩石的单轴抗拉强度，然而由于单轴抗拉强度获取不方便，故将mi视为经验曲线拟合参数[2]，mi应该根据岩石三轴压缩试验数据拟合求得。在缺少试验数据的情况下，可以根据经验表格进行确定[6−7]。Richards等[8]对H−B屈服准则参数mi取值方法进行了研究，证实了参数mi与R=σc/的一致性，并指出在缺少岩石三轴压缩试验数据的情况下，通过R=σc/来确定参数mi是一种可取方法。Cai[9]结合 Griffith理论，对完整岩样 H−B屈服准则参数mi的取值方法进行了深入研究，得到强脆性岩石参数mi的估算公式，该方法可通过岩石单轴抗压强度σc，启裂强度σci以及一定的围压水平来表征参数mi，其在评价强脆性岩石参数mi时具有良好的适应性。该方法考虑到参数mi与围压有关，而且可通过岩石单轴压缩试验来确定参数mi，摆脱以往必须通过三轴压缩试验来拟合确定参数mi的限制。虽然众多学者结合岩石三轴压缩试验对H−B屈服准则参数mi的取值方法进行了相关研究，但是准确地确定参数mi仍是岩土工程师十分关注的问题之一。本文作者在 Cai[9]的研究基础上，进一步研究参数mi的取值规律，讨论参数mi与围压的关系。首先通过理论分析和数值拟合方法得到参数mi随围压变化的基本规律，并建立参数mi与围压关系的负指数经验模型，然后结合 Forsmark和Oskarshamn地区花岗岩、锦屏二级水电站大理岩以及法国 Vosges砂岩等岩石三轴压缩试验数据反演参数mi与围压经验模型的参数，并验证该模型的合理性，最后对该模型经验参数的取值规律及其影响因素进行讨论。

1 负指数经验模型研究

广义Hoek−Brown屈服准则的具体表达形式为[5]：

其中：1σ和3σ分别为最大和最小有效主应力；cσ为完整岩石的单轴抗压强度；mb和s为材料常数；a也为常数，它们可通过地质强度指标I和干扰因子D进行确定，具体如下：

该模型包含 4个基本变量：(1) 完整岩石的单轴抗压强度cσ；(2) 材料参数mi；(3) 地质强度指标I；(4) 干扰因子D。

对于完整岩石材料，s=1，a=0.5，mb=mi，广义H−B屈服准则可以表示为：

通过对式(5)求导可得到岩石峰值强度与围压拟合曲线的斜率k。

Mohr−Coulomb(M−C)屈服准则是一种线性强度准则，以直线表征岩石峰值强度与围压的关系，假定岩石的黏聚力c和摩擦角φ在压缩过程中为常数，故其在实际应用中存在一定局限性。研究发现，岩石摩擦角φ在三轴压缩过程中并不为常数，而是随围压状况而逐渐变化[10−11]。低围压阶段，岩石主要表现出剪胀和脆性特征，岩石内部微裂纹在破裂时张开，导致岩石体积增大，故岩石在低围压阶段摩擦角较大；而在较高围压条件下，岩石内部微裂纹张开及剪胀均受围压限制，岩石的破坏主要表现出延性特点，此时岩石摩擦角较小；围压继续增大到一定值时，岩石基本表现出延性特征；随着围压进一步增大，岩石将会进入临界状态，此时岩石摩擦角为 0，峰值剪切强度的梯度亦为0。根据M-C屈服准则亦可得岩石峰值强度与围压拟合曲线的斜率k。

假定摩擦角φ为围压的函数，并且通过 H−B和M−C屈服准则得到的岩石峰值强度与围压拟合曲线的斜率相等，于是联立式(6)和(7)即可得完整岩石H−B屈服准则参数mi与围压以及摩擦角φ的关系，进而结合摩擦角φ与围压的关系便可确定参数mi与围压的函数关系。目前尚无明确的摩擦角φ随围压变化模型可供参考，因此，通过数值拟合方法确定参数mi与围压的关系。

印第安那石灰岩[12]、大冶大理岩[13]以及田纳西州大理岩[14]三轴压缩试验数据见表1所示。根据上述岩石三轴试验数据，可通过 Mohr圆得到不同围压条件下的摩擦角φ，进而得到H−B屈服准则参数mi，对上述岩石参数mi与围压关系数据点进行拟合，结果如图1所示。由图1可见：拟合曲线分别为m=7.8e-σ3/22.5。

mi=21.6e-σ3/45.8以及m=10.6e-σ3/47.5，因此，参数imi与围压关系曲线基本符合负指数关系。因此，采用负指数函数来表征参数mi与围压的关系，即：

表1 印第安那石灰岩、大冶大理岩以及田纳西州大理岩三轴试验数据Table 1 Triaxial testing data of Indiana limestone, Daye marble and Tennessee marble

图1 印第安那石灰岩、大冶大理岩以及田纳西州大理岩参数mi与围压关系拟合曲线Fig.1 Relation between mi and confining pressure for Indiana limestone, Daye marble and Tennessee marble

当σ3= 0时 ， 根据文献[8]和[9]， 此 时mi≈σc/，即A=σc/；根据文献[9]，σc/可由岩石的单轴抗压强度σc，启裂强度σci以及围压来表征。其中，σci为岩石的启裂强度，是岩石渐进破裂过程中的重要指标。根据众多学者[15−19]对岩石渐进破裂过程的研究，用岩石的损伤强度σcd表征岩石的长期强度，其物理意义更加明确，且较启裂强度σci易于确定。于是根据文献[9]可以得到A=σc/=γσc/σcd，参数γ为经验参数，可通过拟合岩石三轴试验数据求得。对于参数B，由于其量纲为应力，故假定其与岩石的单轴抗压强度正相关，即B=σc/λ，参数λ亦为经验参数，于是参数mi随围压变化的函数关系可表达为：

该模型包含经验参数γ和λ，岩石的单轴抗压强度cσ以及损伤强度σcd均可通过岩石单轴压缩试验确定。

2 典型岩石模型参数拟合及模型验证

为了拟合本文提出的经验模型的参数γ和λ，并验证该模型的合理性，参考多种岩石三轴压缩试验资料，采用Origin8.0软件，利用最小二乘法拟合岩石三轴压缩试验数据。平均剩余残差平方和越小，相关系数R2越大，拟合效果越好。

2.1 福什马克等地区岩浆岩参数拟合及验证

瑞典燃废料管理公司拟修建核燃料储藏室，针对Forsmark和Oskarshamn地区开展区域调查，对上述地区岩石力学特性进行研究，获取一系列钻孔岩样。瑞典国家试验研究所对该区域KFM01C，KFM01A，KFM03A，KFM04A，KFM05A，KLX03A，KLX04A以及 KLX12A等钻孔岩样进行单轴及三轴压缩试验[20−21]。该地区岩石主要为脆性岩浆岩，主要为花岗岩及闪长岩。

Forsmark和 Oskarshamn地区不同钻孔岩样试验数据拟合结果见表2所示。根据拟合结果，γ≈25，参数λ离散性较大，λ=3～10。由于不同钻孔内岩样的岩性存在差异，岩石结构及内部构造均有差异，因此通过Forsmark和Oskarshamn地区岩浆岩试验数据拟合得到的参数γ和λ存在一定离散性。

Forsmark和 Oskarshamn地区部分钻孔岩样拟合曲线见图2所示。由图2可知，H−B拟合曲线较平直，而采用本文模型拟合曲线更平滑，能更好地拟合试验数据。

2.2 锦屏二级水电站大理岩参数拟合及验证

锦屏二级水电工程规划了7条平行布置的隧洞：其中2条起交通作用的辅助洞采用钻爆法开挖，已于2008年 8月贯通；4条引水隧洞开挖断面洞径为12.4～13.0 m，其中2号和4号引水隧洞采用钻爆法分上、下台阶开挖，1号和3号引水隧洞采用TBM全断面掘进；1条施工排水洞采用TBM掘进。每条引水隧洞长约16.7 km，一般埋深为1 500～2 000 m，最大埋深达到2 525 m。隧洞沿线主要地层为三叠系大理岩，其次为砂板岩和绿片岩(如图3所示)。根据2条辅助洞揭露的情况，不同时代的大理岩性状存在一定差别。

表2 Forsmark和Oskarshamn地区不同钻孔岩样三轴压缩试验拟合结果Table 2 Fitting results of triaxial compression testing data of rock samples from different borehole in Forsmark and Oskarshamn

图2 Forsmark和Oskarshamn地区不同钻孔岩样拟合曲线Fig.2 Fitting curve of rock samples from different borehole in Forsmark and Oskarshamn

图3 锦屏二级水电站引水隧洞地质剖面图Fig.3 Geological profile of diversion tunnel in Jinping II hydropower station

Zhang等[22]针对锦屏二级水电站白山组大理岩展开一系列研究，得到白山组A组和B组大理岩单轴及三轴压缩试验结果，A组和B组试验岩芯均取自距11号横通洞45 m的A洞，水平孔B距底板1 m，孔深10 m，斜孔A向南倾斜且位于A洞横断面内，与水平面夹角约 45º；严鹏等[23]开展锦屏二级盐塘组大理岩单轴及三轴压缩试验，并对锦屏二级水电站盐塘组大理岩特性进行一定分析。锦屏二级水电站大理岩三轴压缩试验数据拟合结果如表3所示。根据拟合结果，γ≈ 11，λ=2～10，参数λ离散性较大。

表3 锦屏二级水电站大理岩三轴试验拟合结果Table 3 Fitting results of triaxial compression testing data of marble in Jinping-II hydropower station

锦屏二级水电站大理岩三轴试验数据拟合曲线如图4所示。从图4可见，H−B拟合曲线与本文模型拟合曲线在高围压段拟合结果较接近，但是H−B拟合曲线在低围压及拉伸段拟合效果不好，过高地估计岩石的单轴抗压强度及单轴抗拉强度，这与Carter等[24]的研究结论一致。H−B屈服准则拟合得到白山组A组、B组大理岩以及盐塘组大理岩单轴抗拉强度分别为13.8，10.8和19.3 MPa，而根据本文模型拟合曲线得到白山组A组、B组大理岩以及盐塘组大理岩单轴抗拉强度分别为6.5，5.0和7.7 MPa，2种方法拟合得到的岩石单轴抗拉强度相差较大。试验测定，锦屏二级大理岩抗拉强度为4～6 MPa，显然本文模型拟合岩石单轴抗拉强度更接近真实值。

2.3 法国孚日山脉砂岩参数拟合及验证

Bésuelle等[25]针对Vosges砂岩开展三轴压缩试验研究砂岩内部局部化现象，试验采用岩样为法国Vosges山脉粉红色石英砂岩，石英占93%，另外还含有少量长石和白云母，孔隙率为22%。单轴压缩试验测定Vosges砂岩单轴抗压强度cσ为34.62 MPa，损伤强度σcd为32.3 MPa。Vosges砂岩三轴试验拟合结果见图 5所示，由图 5可知，H−B屈服准则拟合得到Vosges砂岩单轴抗压强度为54.24 MPa，与试验结果相差较大，另外H−B屈服准则拟合参数mi为0.7，其与Hoek[7]提供的砂岩建议值i17 4m= ± 相差甚远；本文模型能较好地拟合Vosges砂岩三轴试验结果，拟合得到模型参数γ为13.43，λ为1.44。

图4 锦屏二级水电站不同区域大理岩三轴试验拟合曲线Fig.4 Fitting results of triaxial compression testing data of marble in different areas of Jinping-II hydropower station

图5 法国Vosges砂岩三轴试验拟合曲线Fig.5 Triaxial testing data fitting of Vosges sandstone

3 讨论

数值验证表明，H−B拟合曲线较平直，在低围压段拟合较差，往往高估岩石的单轴抗压强度和单轴抗拉强度，而本文模型拟合岩石峰值强度与围压关系曲线较平滑，拟合效果较好，从而验证该经验模型的可行性，该模型能很好地反应参数mi的变化规律。另外通过本文建立的参数mi随围压变化的经验模型，可摆脱以往必须通过岩石三轴压缩试验拟合确定参数mi的限制，通过岩石单轴压缩试验资料即可确定参数mi，由于目前部分工程项目并不具备岩石三轴试验资料，通过建立上述半经验模型可使参数mi的获取更加方便。

对于经验参数γ和λ，根据拟合结果，参数γ的规律性较强，对于花岗岩，γ≈25，对于大理岩，γ≈ 11，对于砂岩，γ≈13。同种岩性的岩石，参数γ总在一定范围内变动；不同岩性的岩石的参数γ差异性较大。而参数λ在 1～10之间变化，规律性较差，即使同种岩性的岩石，其拟合值离散性也较大。许多学者[15−16,26−28]研究发现，参数mi不仅与围压以及岩性有关，还与岩石的结构和内部构造，如矿物组成、矿物颗粒尺寸以及胶结情况等因素相关，由于不同类型岩石参数γ和λ的拟合值离散性较大，因此可以推测这些因素通过影响参数γ和λ进而影响mi，参数γ主要与岩石强度有关，岩石结晶及咬合程度越高，参数γ越大；推测参数λ与岩石构造有关。参数γ和λ与岩体相关物理力学指标的理论关系还有待进一步研究。

4 结论

(1) H−B屈服准则材料参数mi与围压整体呈负指数关系，建立负指数经验模型来表征参数mi与围压的关系。

(2) H−B拟合曲线较平直，在低围压段拟合较差，往往高估岩石的单轴抗压强度和单轴抗拉强度，而本文模型拟合岩石峰值强度与围压关系曲线较平滑，拟合效果较好，从而验证该经验模型的可行性。

(3) 对于花岗岩，γ≈25，对于大理岩，γ≈11，对于砂岩，γ≈13。参数γ主要与岩石强度有关，岩石结晶及咬合程度越高参数γ越大；推测参数λ与岩石构造有关。

[1]Hoek E, Brown E T. Underground excavations in rock[M].London: Institution of Mining and Metallurgy, 1980: 131−182.

[2]Hoek E, Brown E T. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division,ASCE, 1980, 106(9): 1013−1035.

[3]Hoek E, Wood D, Shah S. A modified Hoek-Brown criterion for jointed rock masses[C]// Hudson J A. Proceedings of the International ISRM Symposium on Rock Characterization.London: British Geotechnical Association, 1992: 209−213.

[4]Hoek E. Strength of rock and rock masses[J]. ISRM News Journal, 1994, 2(2): 4−16.

[5]Hoek E, Carranza-Torres C, Corkum B. Hoek-Brown criterion-2002 edition[C]// Proc NARMS-TAC Conference.Toronto, 2002: 267−273.

[6]Hoek E, Kaiser P K, Bawden W F. Support of underground excavations in hard rock[M]. Netherlands: AA Balkema, 2000:96−97.

[7]Hoek E. Practical rock engineering[EB/OL]. [2007−12−12]. http://www.rocScience.com/hoek/comer/PracticalRockEngineering.pdf.

[8]Richards L, Read S A L. A comparison of methods for determiningmi, the Hoek−Brown parameter for intact rock material[C]// Proc 45th US Rock Mech Geomech Symp. San Francisco: American Rock Mechanics Association, 2011: 1−10.

[9]Cai M. Practical estimates of tensile strength and Hoek-Brown strength parametermiof brittle rocks[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2010, 43(2): 167−184.

[10]Barton N. The shear strength of rock and rock joints[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1976, 13(9): 255−279.

[11]Mahendra S, Anil R, Bhawani S. Modified Mohr–Coulomb criterion for non-linear triaxial and polyaxial strength of intact rocks[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2011, 48(4): 546−555.

[12]Schwartz A E. Failure of rock in the triaxial shear test[C]//Proceedings of the 6th US Rock Mechanics Symposium. Rolla:University of Missouri, 1964, 109-135.

[13]Singh M, Rao K S. Bearing capacity of shallow foundations in anisotropic non Hoek–Brown rock masses[J]. ASCE, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2005, 131(8):1014−1023.

[14]Wawersik W R, Fairhurst C. A study of brittle rock fracture in laboratory compression experiments[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1970, 7(5): 561−575.

[15]Martin C D. The strength of massive Lac du Bonnet granite around underground opening[D]. Winnipeg: University of Manitoba. Department of Civil and Geological Engineering,1993: 5−20.

[16]Eberhardt E. Brittle rock fracture and progressive damage in uniaxial compression[D]. Saskatoon: University of Saskatchewan.Department of Civil Engineering, 1998: 10−30.

[17]Eberhardt E, Stead D, Stimpson B. Quantifying progressive prepeak brittle fracture damage in rock during uniaxial compression[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1999, 36(3): 361−380.

[18]Diederichs M S, Kaiser P K, Eberhardt E. Damage initiation and propagation in hard rock tunnelling and the influence of near-face stress rotation[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2004, 41(5): 785−812.

[19]Martin C D, Chandler N A. The progressive fracture of Lac du Bonnet granite[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1994, 31(6):643−659.

[20]Jacobsson L. Forsmark/Oskarshamn site investigation-Borehole KFM01C, KFM01A, KFM03A, KFM04A, KFM05A, KLX03A,KLX04A and KLX12A-Triaxial compression test of intact rock[EB/OL]. [2006−02−20]. http://www.skb.se.

[21]Jacobsson L. Forsmark/Oskarshamn site investigation-Borehole KFM01C, KFM01A, KFM03A, KFM04A, KFM05A, KLX03A,KLX04A and KLX12A-Uniaxial compression test of intact rock.Swedish National Testing and Research Institute[EB/OL].[2006−02−20]. http://www.skb.se.

[22]Zhang C S, Chu W J, Liu N, et al. Laboratory tests and numerical simulations of brittle marble and squeezing schist at Jinping II hydropower station, China[J]. Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering, 2011, 3(1): 30-38.

[23]严鹏, 卢文波, 陈明, 等. 深部岩体开挖方式对损伤区影响的试验研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2011, 30(6): 1097−1106.YAN Peng, LU Wenbo, CHEN Ming, et al. In-situ test research on influence of excavation method on induced damage zone in deep tunnel[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(6):1097−1106.

[24]Carter B J, Scott Duncan E J, Lajtai E Z. Fitting strength criteria to intact rock[J]. Geotechnical and Geological Engineering, 1991,9(1): 73−81.

[25]Bésuelle P, Desrues J, Raynaud S. Experimental characterisation of the localisation phenomenon inside a Vosges sandstone in a triaxial cell[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2000, 37(8): 1223−1237.

[26]Everitt R A, Lajtai E Z. The influence of rock fabric on excavation damage in the Lac du Bonnett granite[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2004, 41(8): 1277−1303.

[27]Brace W F, Paulding B W, Scholz C. Dilatancy in the fracture of crystalline rocks[J]. Journal of Geophysical Research, 1966,71(16): 3939−3953.

[28]张晓平, 王思敬, 韩庚友, 等. 岩石单轴压缩条件下裂纹扩展试验研究——以片状岩石为例[J]. 岩石力学与工程学报,2011, 30(9): 1772−1781.ZHANG Xiaoping, WANG Sijing, HAN Gengyou, et al. Crack propagation study of rock based on uniaxial compressive test: A case study of schistose rock [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(9): 1772−1781.