基于M／M／1可修排队的顾客止步策略研究

胡彦芳 李继红

（1.山西大学 数学科学学院，山西 太原030006；2.山西大学 管理科学与工程研究所，山西 太原030006）

0 引言

服务台可能发生故障且可修复的排队系统称为可修排队系统.到目前为止，已有不少学者从系统的排队问题以及因故障产生的可靠性问题两个方面展开了广泛而深入的研究，并取得了大量的研究成果.1982年曹晋华和程侃[1]首次在排队理论研究中从可靠性理论的角度讨论了服务台可修的M／G／1排队系统中服务台的各种可靠性数量指标.此外唐应辉，余君等人[2－3]也发表了一系列与可靠性有关的学术论文.更多有关可修排队的研究成果详见唐应辉，唐小我[4]的著作.

近年来，从顾客角度出发研究排队系统的策略问题成为一个新的热点.这一思想最早是由Naor[5]提出来的，他在可视情形下对M／M／1排队模型中的顾客困境问题进行了探讨，得出了基于简单线性“收益－成本”结构的均衡顾客策略.此后基于经典排队和休假排队的顾客策略的文献不断涌现[6，7]，但到目前为止罕有学者把可修排队系统与顾客决策结合起来研究，在此背景下，本文研究了M／M／1可修排队系统的顾客均衡策略问题.

1 模型描述

假设顾客到达独立且服从参数为λ（＞0）的泊松过程；服务时间独立且服从参数为μ的负指数分布；服务台发生故障的时间间隔独立且服从参数为ξ的负指数分布；故障发生时所有顾客被迫离开（包括正在接受服务的顾客），服务台马上进入修复状态，修复时间独立且服从参数为η的负指数分布.修复期间到达的顾客不允许进入系统，即损失这一部分顾客.修复完成后，服务台完全恢复其功能，进入通常的闲期或是立即服务到达的顾客，采用先到先服务规则.到达过程、服务过程、故障过程、修复过程相互独立.

用数对（Q（t），I（t））表示系统在时刻t的状态，其中Q（t）表示t时刻系统中的顾客数，I（t）表示服务台所处的状态，I（t）＝1表示服务台处于工作状态，I（t）＝0表示服务台处于维修状态.注意到当I（t）取值为0时，Q（t）的值也必然为0.由此，随机过程｛（Q（t），I（t））:t≥0｝是一个具有状态空间S＝｛（n，1），n≥0｝∪｛（0，0）｝的二维连续时间马尔科夫链，它的状态转移概率图形见图1所示.

为了对顾客决策过程进行建模，假设顾客服务完成后获得的收益为Rs，系统发生故障被迫离开时获得的补偿费用为Rf，同时在其排队过程中（包括正在接受服务的过程），每单位时间需要承受的损耗为C，顾客需缴纳服务费用（手续费）为p（＜Rs），另外顾客是风险中立（risk neutral）的，追求自身利益最大化.最后假设决定不进入系统而离开的顾客将永远不再回来，而进入系统的顾客将不允许中途退出.

图1 ｛（Q（t），I（t））:t≥0｝的状态转移概率图

2 顾客均衡策略

引理1 在M／M／1可修队列中，顾客观察到前面有n个顾客时决定进入系统的预期净收益为

证明 考虑一个发现系统处于状态（n，1）后决定进入系统的标记顾客.该顾客可能由于服务完成离开系统或者服务台发生故障被迫离开系统.若是服务完成，等待时间（包括接受服务的时间）是n＋1个相互独立且服从参数为μ的指数分布的服务时间之和（由于指数分布具有无记忆性，正在接受服务的顾客（如果存在）的剩余等待时间仍然服从参数为μ的指数分布）；若系统发生故障，等待时间服从参数为ξ的指数分布.因此该顾客在系统中的逗留时间为Z＝min（Yn，X），其中Yn服从n＋1阶Erlang分布，X服从参数为ξ的指数分布，Yn与X相互独立.故该标记顾客服务完成离开系统的概率为P[Yn＜X]，而系统发生故障被迫离开的概率为P[Yn≥X].所以预期净收益为

而

把（3）和（4）代入（2）中，得到（1）式.

证毕.

考虑可观察到系统状态的任意一位到达顾客.由于服务台修复期间到达的顾客不允许进入系统，所以当顾客观察到系统处于状态（0，0）时，止步离开，不存在决策问题.因此，仅研究系统处于状态（n，1）的情形.当顾客选择进入系统的预期净收益为正值时，最优策略是进入系统；当预期净收益是负值时，最优策略是止步离开；而预期净收益为0时，则对是否进入持中立态度.为简单起见，我们假设当预期净收益为0时，顾客选择进入系统，于是得到定理1.

定理1 在M／M／1可修队列中，存在唯一均衡顾客策略（同时也是唯一最优策略），分为以下三种情形:

此时唯一最优策略是止步离开系统；

此时唯一最优策略是一个阈值策略“顾客在到达时刻t观察到系统处于工作状态，且系统中的顾客数（包括正在接受服务的顾客）Q（t）满足:Q（t）≤ne时进入系统，否则止步离开”，这里ne由下式给出

其中

此时唯一最优策略是进入系统.

证明 考虑一个标记顾客，当观察到系统处于状态（n，1）时决定进入系统，那么其预期净收益由（1）式给出.当S（n）≥0时，顾客愿意进入系统，由（1）式得到

关于n求解（7）式得到，当标记顾客到达系统时观察到系统中至多有ne个顾客，其中ne由（5）式给出时，才愿意进入系统.而由（5）式，当时，ne为负值，因此止步离开是顾客的最优策略，即得到第一种情况.另一方面，当时，由（5）式给出的阈值ne是非负的，即得到第二种情况.

在此情形下，不等式（7）恒成立，则标记顾客总愿意进入系统.

关于n求解（7）式得到，当标记顾客观察到系统中至少有ne个顾客时，才愿意进入系统，其中ne由（5）式给出.而由（5）式，此时的ne显然为负值，故顾客总是更愿意进入系统.综合B，C两种情形，我们得到第三种情况.

3 数值模拟

图2是在给定参数（λ，μ，η，C，Rs，Rf，p）＝（7，4，2，3，7，2，2）时，随故障率ξ变化的顾客均衡阈值ne的变化图.从图中可看出，ne是ξ的非增阶梯函数，最终将随着ξ的增大而降至0.这与现实一致，表明故障发生太过频繁，顾客将不再进入系统.

图2 顾客均衡阈值ne关于故障率ξ的变化图

图3是在给定参数（λ，μ，ξ，η，C，Rs，p）＝（7，4，0.4，2，3，7，2）时，随补偿费用Rf变化的顾客均衡阈值ne的变化图.从图中可看出，ne是ξ的非降阶梯函数，因为随着补偿费用Rf的增大，顾客进入系统的意愿增强，同样与现实相符.

图3 顾客均衡阈值ne关于补偿费用ξ的变化图

4 结论

本文在可见排队的前提下，基于“收益－成本”结构，从顾客角度出发，构建了顾客个人的收益函数，确定出顾客均衡策略，最后通过数值模拟得到顾客均衡阈值关于故障率和补偿费用两个参数的变化情况.鉴于篇幅限制，本文没有从社会总体和服务台这两个角度出发展开分析，这将在之后的文献中进一步探讨.

[1]曹晋华，程 侃.服务台可修的M／G／1排队系统分析[J].应用数学学报，1982，5:113－127

[2]唐应辉，刘志旺.带有维修和损失的可修排队系统分析[J].电子科技大学学报，1993，22（5）:527－533

[3]余 君，岳德权，马明建，等.具有止步和中途退出的两不同服务台的可修排队[J].数学的实践与认识，2011，41（3）:113－120

[4]唐应辉，唐小我.排队论:基础与分析技术[M].北京:科学出版社，2006:1－260

[5]Naor P.The regulation of queue size by levying tolls[J].Econometrica，1969，36:15－24

[6]Economou A，Go′mez－Corral A，Kanta S.Optimal balking strategies in single－server queues with general service and vacation times[J].Perform.Eval.，2011，68:967－982

[7]Sun Wei，Guo Pengfei，Tian Naishuo.Equilibrium threshold strategies in observable queueing systems with setup／closedown times[J].CEJOR，2010，18，241－268

[8]Economou A，Boudali O.Optimal and equilibrium balking strategies in the single server Markovian queue with catastrophes[J].European Journal of Operational Research，2012，218（3）:708－715

[9]Economou A，Kanta S.Equilibrium balking strategies in the observable single－server queue with breakdowns and repairs[J].Operations Research Letters，2008，36（6）:696－699

[10]Hassin R，Haviv M.To queue or not to queue:equilibrium behavior in queueing systems[M].Boston:Kluwer Academic Publishers，2003:1－190