矩阵环的欧拉恒等式与标准多项式恒等式

冯怡君,曹明,魏亚萍,游松发

(湖北大学数学与计算机科学学院,湖北 武汉 430062)

0 引言

令Γ是有多重边的有限有向连通图,其顶点集V(Γ)={1,…,k},边集E(Γ)={e1,…,ed},σ,τ是E(Γ)到V(Γ)的映射,并定义σ(es)=i,τ(es)=j,即i,j分别是es的起点和终点,es是从顶点i到顶点j的有向边.对i∈V(Γ),令φ+(i)=|{es|σ(es)=i}|,φ-(i)=|{es|τ(es)=i}|,且γ(i)=max{φ+(i),φ-(i)}.若π∈Sym(d)(作用在{1,…,d})上的对称群),且τ(eπ(i))=σ(eπ(i+1))(∀i=1,…,d-1),则称eπ(1)eπ(2)…eπ(d)是Γ的一条欧拉路,具有欧拉路的有向连通图称为欧拉图.众所周知,连通图Γp,q有从p到q的欧拉路,当且仅当下列两个条件之一成立:

a)p=q时,φ+(i)=φ-(i)(∀i=1,…,k);

b)p≠q时,φ+(p)=φ-(p)+1,φ-(q)=φ(q)+1,且φ+(i)=φ-(i)(∀i∈{1,…,k}(〗p,q}).

推论0.1[1]令Γp,q是欧拉图,且|V(Γp,q)|=k,|E(Γ)|=d,若d≥2kn,则fΓp,q(x1,…,xd)=0是Mn(F)的恒等式.

若令Gk(n)={Γp,q|Γp,q是欧拉图,且|V(Γ)|=k,|E(Γ)|≥2nk}是满足推论1.2的欧拉图类,由推论0.1知,∀Γp,q∈Gk(n),fΓp,q=0是Mn(C)的恒等式,记Ek(n)=〈fΓp,q|Γp,q∈Gk(n)〉是由fΓp,q生成的多项式集,显然Ek(n)中元都是Mn(C)的恒等式,且Ek(n)是C〈X〉=C〈x1,x2,…〉的一个T-理想,其中C〈X〉=C〈x1,x2,…〉是X上的自由结合代数.

1 主要结果

定理1.1若Γp,q∈Gk(n),则FΠ(Γp,q)(x1,…,xd,y1,…,ym|w1,…,ws)∈Ek(n).

定理1.1的证明对二元正整数对(m,s)用归纳法(运用文献[2]中所用归纳法的类型).其中(m,s)的归纳顺序规定为:(m1,s1)<(m2,s2)⟺m1

情形1若∃wi,使Length(wi)≥3,不失一般性,令ws=wym-2ym-1ym,由于FΠ(Γp,q)(x1,…,xd,y1,…,ym|w1,…,ws)=FΠ(Γp,q)(x1,…,xd,y1,…,ym-3,ym-2ym-1ym|w1,…,ws-1,wym-2ym-1ym),又(m-2,s)<(m,s),由归纳假设有FΠ(Γp,q)(x1,…,xd,y1,…,ym|w1,…,ws)∈Ek(n).

情形2若∃wi,使Length(wi)=2,不失一般性,令ws=ym-1ym,我们有

由归纳假设可知,右边3个和项均是Ek(n)中元,即FΠ(Γp,q)(x1,…,xd,y1,…,ym|w1,…,ws)∈Ek(n).

(1)

1)τ(el)=i时,xl是X={x1,…,xd}中先于yρ(t)的最后一个变元,

2)i=ρ时,X={x1,…,xd}中没有先于yρ(t)的变元.

式中Σ(1)跑遍m=m1+…+mk的所有k个非负整数分解;Σ(2)跑遍Y的单项的所有非空字的划分,其中∃i∈{1,…,r}使Length(wi)≥2;Σ(3)跑遍所有的字u,v及{yi1,…,yit}的单项的划分,其中yi1,…,yit不在u,v中出现,uv≠1且uv关于yj(j=1,…,m)的次数为1或0,ε(u,v)=±1是根据uFΠ(Γp,q)(x1,…,xd,yi1,…,yit|w1,…,wr)v中单项关于x1,…,xd,y1,…,ym的置换的奇偶性而确定的符号.

推论1.1若Γp,q∈Gk(n),则FΠ(Γp,q)=0是Mn(C)的恒等式.

推论1.3的证明直接由推论1.1和1.2可以获证.

定理1.2令Γp,q是欧拉图,若∃t,u∈V(Γ)(t,u可相同),使从t到u的边至少有n条,则fΓp,q(X)∈〈Sn(X)〉,其中Sn(X)是n次标准多项式,〈Sn(X)〉是由Sn(X)生成的T-理想.

均是Γp,q的欧拉路

1)w0(π)=w0(μ)且wn(π)=wn(μ),

2)∃v∈Sym(n-1),使wi(μ)=wv(i)(π)(i=1,…,n-1),

由定理1.2立即有

推论1.4若欧拉图Γp,q有2n-重边,则fΓp,q是Mn(C)的恒等式,且fΓp,q∈〈S2n(X)〉.

这一结论显示,欧拉恒等式生成的T-理想,均可由标准多项式生成.

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