考研高数解题的四种思维定势探讨

周湘辉

[摘要]一些考生在高数考研中经常在解题思想和方法技巧上表现力不从心，对一些题设条件反映不够敏捷；特别是对一些定理如Taylor 公式、Lagrange中值定理和积分中值定理等的使用上不够灵活，对一些题设条件的技术处理上与技巧使用上表现欠缺与迟钝，这直接导致考生做题速度慢。基于此，本文提出了高数考研的四种解题的思维定势。

[关键词]可导 连续 积分 中值定理

一、引言

对那些准备考硕士研究生的考生来说，其中大部分考生都需要考高等数学。然而就数学一门课程就“考倒”了许多考生。我们都知道，数学总分为150分，但每年的国家基本分数线几乎都在90分以下，甚至更低。为什么呢？因为许多考生在数学复习中花了很多时间与精力却收获甚少。众所周知，考研数学的试卷题量并不是很大，但涉及的知识点多，面广，并且知识点的联系紧密，加之解题技巧性强，解题过程中计算量与思维量等都较大。特别是一些大题的解答与证明，大部分考生都难以全部做完或解答正确。其实，很多考生未做完试卷的根本原因是对解题的技巧与知识点的归纳和总结不够，导致了一些题不会做与做题速度慢等。本文就是针对上述一些考生所出现的问题提出了高等数学解题的四种思维定势探讨，以便于那些需要考高等数学的考生提供一些实用参考。

二、四种解题思维定势

定势一：在题设条件中若函数f（x）二阶或二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f（x）在指定点展开成Taylor公式再说。

例1[1] 设f（x）在[0，1]上二阶导数连续，f（0）=f（1）=0并且当x∈（0，1）时，|f``（x）|≤A，求证： 。

证明 由于f（x）在[0，1]上具有二阶连续导数，则f（x）可展成一阶Taylor公式，即

例2 试证：若偶函数f（x）在点x=0的某邻域内具有连续的二阶导数，且f（0）=1则级数 绝对收敛。

证明 因f（x）为偶函数，故f`（x）为奇函数，f`（0）=0。又

定势二：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”，先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

例4 设f（x）在[0，1]上是非负、单调递减的连续函数，且0

定势三：在题设条件中若函数f（x）在[a，b]上连续，在 内可导，且f（a）=0或f（b）=0或f（a）=f（b）=0，则“不管三七二十一”先用Lagrange中值定理处理一下再说。

例5[3] 设函数f（x）在[a，b]上有连续的导数，且（a）=f（b）=0， 试证 。

定势四：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f（u）再说。

其中第四种思维定势也可推广为：若给定的函数为抽象的复合函数，则运算之前应先做变量替换使之成为简单的形式。例如： 。

三、结语

本文给出了高数考研中的四种解题的思维定势探讨以及相应的举出了一些例子，由于篇幅所限给出的例子有限，其中Taylor公式还有许多很好的解题应用，如：可用之求极限，可证明一些等式和不等式，以及作近似计算等，在此就不作阐述。这四种解题的思维定势是本人在多年的教学生涯中总结出来的，相对整个高数的解题方法和技巧上仍是一小部分，但可以给那些需要考研究生的同学给予一臂之力。

[参考文献]

[1]苏志平郭志梅高等数学（第六版.上册）同步辅导及习题全解.北京：中国水利水电出版社，2009

[2]钱吉林.数学分析解题精粹.武汉：崇文书局，2003

[3]陈文灯黄先开数学复习指南.2版.北京：世界图书出版公司北京公司，2002.3

[4]同济大学数学系.高等数学（上册）.6版.北京：高等教育出版社，2007.6（2011-5重印）

（作者单位：长江大学一年级教学工作部 湖北荆州）