浅析概率论与数理统计中求积分的技巧

闻卉　贺方超

摘 要 本文针对概率论与数理统计教学中求分布函数时，涉及到的密度函数积分的特点，给出了求此类积分的技巧，并通过具体例题加以阐述.

关键词 密度函数 分布函数 积分

中图分类号：O21-4；G642 文献标识码：A

0引言

已知连续型随机变量的密度函数，求随机变量的分布函数，是概率论与数理统计教学中的重点内容，这类问题都涉及到积分的计算，其中被积函数的解析式往往是分段函数（一维情形）或分片函数（二维情形），这类积分是学生学习过程中普遍存在的难点。本文针对这现象，重点处理这类积分问题，并通过具体例题加以说明。

1基础知识

（1）若连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f（x）和F（x），则F（x）=f（t）dt， ∞

（2）若连续型随机变量（X，Y）的密度函数和分布函数分别为f（x，y）和F（x，y），则F（x，y）=f（u，v）dudv， ∞

2实例

下面针对一维连续型随机变量和二维连续型随机变量，分别求相应的分布函数。

例1 已知的密度函数，

求X的分布函数F（x）。

说明：被积函数是分段函数，意味着分布函数也为分段函数，且分界点为f（x）的分界点。

3结语

本文针对学生学习过程中普遍存在的难点，给出了求一维和二维连续型随机变量的分布函数的解题技巧。积分的处理技巧关键在于利用被积函数的不同表达式划分积分区间（一维）或积分区域（二维）。对于一维连续型随机变量而言，利用被积函数的分界点对分布函数的定义域（ ∞，+∞）进行分割，从而利用积分区间的可加性求解当自变量落在每一小区间内，变上限积分的结果，此外，可利用分布函数的性质F（ ∞）=0和F（+∞）=1，直接给出分布函数在相应两个子区间的的积分结果；对于二维连续型随机变量而言，积分区域的分割取决于分布函数定义式决定的积分区域和被积函数不为零对应的区域的交集，从交集不为零的角度看出自变量的限制条件，即为要找的分界线。

基金项目：湖北省教育厅人文社会科学青年项目。编号：2015Q071；2015Q075。

参考文献

[1] 李子强.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2011.

[2] 李逢高，方瑛.概率统计应用与提高[M].北京：科学出版社，2005.

[3] 范大茵，陈永华.概率论与数理统计（第二版）[M].杭州：浙江大学出版社，2003.