从低起点看高等数学的教学

刘素珍

摘要：我校小学数学教育专业的学生在学习高等数学时，普遍不能真正理解其实质，上课走神、厌学等抵触情绪比较严重。笔者觉得应紧密联系其专业，培养其学习高等数学的兴趣。因此考虑在学习的过程中大量引入小学教材中的实例，将小学的问题高数化，实现从感性向理性，再由理性到感性的发展，完成质的飞跃。

关键词：小学数学；高等数学；极限；积分

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）02-0225-02

《高等数学》的学习一直以来都是摆在很多同学面前的一座大山，想要翻越显得非常的困难。很多学者都分析了其中的原因。无非就是学生数学基础较弱，高等数学抽象性和符号化的语言给学习造成的困难，教学方面的原因等等。凡事都有内因和外因之分，都有主客观原因之分。笔者认为最主要的原因源于教学。不管从事什么样的工作，兴趣非常的重要。正所谓兴趣是最好的老师，如何使学生始终保持高等数学学习的热情和学习的兴趣，应该是我们努力的方向。兴趣的问题解决了，那么上面所涉及到的其他原因都是次要的了。我校小教专业的学生在三年级分小语和小数专业，既然学生在文理分科时选择了数学专业，说明这部分同学是对数学感兴趣或是觉得数学学得比语文要好。但在接触了高等数学之后，为什么会有很多的抱怨：“以后我难道还要教学生如何求极限、导数、积分吗？”高等数学太抽象了。教学中出现了高等数学知识与小学数学教学严重脱节，学生觉得学习高等数学没有什么用处。其实，高等数学和小学数学不仅在内容上，而且在思维形式方面都存在着密切的联系。笔者多年从事小学数学教育专业《高等数学》的教学，发现厌学的同学不在少数，绝大部分同学不能理解，真正感兴趣的同学少之又少。如果在《高等数学》的教学过程中能将极限、导数、积分的讲解与小学数学教材紧密联系起来，相信将会有更多的同学感兴趣。这样的教学就与其专业紧密相连，同时也让学生真正体会到《高等数学》的学习只会让他站得更高，看得更远。从一定程度上来说，小学数学与高等数学有着紧密的联系，如果小学数学教师能从高等数学的角度来理解小学数学的教学内容，那将会对小学数学的教材分析得更加透彻，对小学数学的教学也起到一定的积极作用。高等数学中的极限、导数、积分等是小学数学中一些量的抽象，而小学数学有些内容则是高等数学中抽象概念的具体实例。如果站在高等数学的高度对小学数学的内容进行分析，才能真正理解小学数学的本质内容，数学的知识才更具有完整性。高等数学和小学数学之间有着密不可分的关系。如果我们在小学数学的教学过程中能科学地认识到高等数学与小学数学之间的互补联系，能有意识地运用高等数学与小学数学在思维形式上的相通性，准确地把握每个知识点的内涵和外延，融会贯通，将大大提高小学数学的教学水平，并且对学生以后数学思维能力的发展也起到了一定的推动作用。下面将从几个具体事例进行说明：

1.极限思想。小学数学课程中有许多问题是与高等数学内容有关的，尤其是极限概念与小学数学的许多内容直接联系。这些问题的解决不一定需要教师给以严格的证明，但要求教师能够通过朴素的语言解释清楚这些问题。要达到这一目的，需要小学数学教师自身能够理解极限概念，掌握极限的本质内容。因此，对于职前小学教师的培养而言，理解极限概念的思维方式，掌握极限的基本思想方法，应是职前小学教师培养的目标。极限知识是高等数学的基础知识，极限的思想方法贯穿整个高等数学的学习过程，也是导数、积分概念形成必不可少的核心内容。学生对极限概念的掌握、理解程度将直接影响到后期的学习。然而，极限概念的理解难度是比较大的，刚开始的学习，对极限的理解是肤浅的、记忆的、机械的，在认识上存在着很大的偏差。在讲解极限的第一课，我总喜欢让学生比较大小0.■和1。几乎所有的同学都认为0.■≠1。循环小数是在苏教版数学五年级上册习题中提到它的定义，1÷3如果一直除下去，余数重复出现“1”，商重复出现“3”。像0.3…这样的小数是循环小数。根据需要，可以用“四舍五入”的方法取循环小数的近似值。而0.■的近似值取1，其实在学习了极限之后就会知道，它的精确值也是1.这样循环，无限进行下去，其实就隐藏了极限的思想，体现了动态的变化过程。同时在苏教版数学五年级上册中提到P101，有限小数和无限小数的定义，其中将无限小数定义为小数部分的位数是无限的小数。对于小学生如何来理解“无限”，对于小学数学老师位于多高的层次来理解就非常重要了。用初等数学的知识解决这类问题，只能得到近似值，得不到最终的答案；要得到精确答案，必须在无限动态变化的过程中来研究这个问题，而这正是高等数学的思想方法。作为小学数学老师，这点不能理清将会直接影响到教学内容的把握。都说初等数学是常量数学的研究，高等数学是变量数学的研究。其实严格来讲并不能划清界限，小学生对循环小数的理解，就是一个动态的、变化的过程，只不过是感性的理解。而对于职前小数老师的培养，则要求能掌握极限的概念，理解极限的思想，从量化的角度来理解极限的概念，实现由感性向理性的转化。不能仅仅停留在能理解，而应该知道“为什么”。

2.导数的理解。在小学教材中，运动问题中速度的解释一般是路程除以时间，即求出的是平均速度，这样的定义是有问题的。因为一般的运动都是变速运动，在不同的时刻运动的速度是不一样的，这就是在高等数学中讨论的变速直线运动的瞬时速度问题。那么，如何求瞬时速度呢？这就涉及到高等数学中计算平均变化率的极限问题，即导数的定义。对于小学数学教师而言，仅仅会计算匀速运动的平均速度是远远不够的，现实中很多运动都是变速的。因此还必须能理解变速运动的瞬时速度，并且能解释瞬时速度的计算步骤。这样就站在抽象后的高度对小学数学的内容进行分析，才能真正理解小学数学的本质内容。由此可以看出，高等数学中的一些概念是小学数学中一些量的抽象，而小学数学的内容则是高等数学中抽象概念的具体实例。教学中将小学教材中的具体实例引入到高等数学的教学中，让学生清楚地看到小数和高数的联系，高数的学习让自己以后在工作中能站得更高，如此怎么可能不激发学生重视高数的学习呢？

3.积分的应用。刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一，其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式。《高等数学》在讲授数列极限概念之前，介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想，进而引入数列极限的描述定义.作为极限定义的引入性例子，最早出现在小学五年级（下）教材中P102提到割圆术。大约1700年前，我国数学家刘徽用“割圆术”来求圆周长的近似值。他从圆的内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，正十二边形、正二十四边形……计算得出圆周率是3.14。并指出，内接正多边形的边数越多，周长越接近圆的周长。此方法正是积分定义中关键的分割、近似代替、求和、取极限的步骤。而在P104页例8中又提到在硬纸上画一个圆，把它平均分成16份，剪开后可以拼成下面的图形。

如果把圆平均分成32份、64份……拼成的图形会有什么变化？

拼成的长方形与原来的圆有什么联系？

此方法正是积分定义中关键的分割、近似代替、求和、取极限的步骤。可见分得的份数越来越多直至无限分割可以得到一个长方形，这里渗透的极限思想是学生难以理解的。用有限的拼接引导学生展开无限的想象。数学史研究发现，数学家探究圆的面积计算也是一个从模糊到精确，从感性到理性的追求过程。对于小学生只要能感性理解的过程，而对于职前教师应能有理性的理解，而不是模糊的认识。从数学史中大家都能知道是先有圆周长和面积的研究，后有高等数学微积分的形成。而后人在学习的过程中先是对圆周长和面积的感性理解，在学习了高等数学之后发展到理性的认识，对于职前小学数学教师而言又由理性回到感性，实现认识的第二次飞跃。只有真正理解了微积分的思想才能更好地把握小学数学教材的内涵，更有效地指导教学。

总之，初等数学和高等数学的思想、方法存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面.从整体来看，初等数学主要是以研究直线、平面及常量的有限与不连续关系为主要特征的，高等数学主要是以研究曲线、曲面及变量的无限与连续关系为其主要特征的.看似明显的区别，其实却又有着不可斩断的联系。教学中要能科学地认识到高等数学与小学数学教学在内容上的密切联系，能有意识地运用高等数学与小学数学在思维形式上的相通性，准确地把握每个知识点的内涵和外延，融会贯通，让后学者不禁回过头看看以前走过的那些路，真是回味无穷。

参考文献：

[1]数学[M].江苏教育出版社，2012.

[2]高等数学[M].（第六版上册）.高等教育出版社，2007.

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