关于容斥原理在勒贝格积分中的应用及推广*

2013-11-02唐大钊

重庆工商大学学报（自然科学版） 2013年12期

唐大钊，雷桥

(重庆师范大学数学学院，重庆401331)

黎曼将柯西只对连续函数定义的积分概念扩张成现在黎曼积分(即R积分)，从而扩大了积分的应用范围.但是即使在有界函数范围内，R积分还是存在着很大的缺陷.而勒贝格积分基于可列可加的测度，从很大程度上摆脱了R积分的困境，大大扩充了可积函数的范围;而可测函数的一些基本性质，则是建立勒贝格积分的基础.容斥原理是组合计数的基本方法，

基本思想是:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，受此启发，将容斥原理推广到可测函数中，就得到了一些新的结论.

1 相关性质

定义1［1］设E⊆Rq为可测集，φ(x)为E上的一个非负简单函数，即E表示有限个互不相交的可测集E1，E2，…，Ek之并，而在每个Ei上 φ(x)取非负常数值ci，即 φ(x)=)，这里 χEi(x)是 Ei上的特征函数;φ(x)在E上的勒贝格积分(简称L积分)，定义为x)d x=

设A⊆E为可测子集，φ(x)在A上的勒贝格积分定义为φ在A上的限制在A上的勒贝格积分，于是

定理1［2］设E∈Rq为可测集，φ(x)为E上的一个非负简单函数.设A和B是E的两个不相交的可测子集，则:

定理2［3］设S是有穷集，P1，P2，…，Pm是m个性质.S中任何一个元素x对于性质Pi(i=1，2，…，m)具有或不具有，两者必居其一.令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集.那么，S中不具有性质P1，P2，…和Pm的元素数是:

证明等式左边是S中不具有性质P1，P2，…，Pm的元素数.将要证明，对S的任何一个元素x，如果x不具有性质P1，P2，…，Pm，则对等式右边的贡献为1;如果x至少具有其中的一条性质，则对等式右边的贡献为0.

设 x 不具有性质 P1，P2，…，Pm，所以 x∉Ai，i=1，2，…，m.令 T={1，2，…，m}.对 T 的所有2 －组合(i，j)都有 x∉Ai∩Aj，对 T 的所有 3 －组合(i，j，k)都有 x∉Ai∩Aj∩Ak，…，直到 x∉A1∩A2∩…∩Am.但 x∈S，所以它对等式右边的贡献是1－0+0－0+…+(－1)m0=1.