四阶矩阵代数中两个新的Kadsin-singer格*

王 宁

(重庆师范大学 数学学院，重庆401331)

1 基本概念

经过一个多世纪的发展，von neumann代数的理论已经作为自伴算子代数理论的重要研究对象之一.为了研究有界线性算子的结构性质，如不变子空间的相关问题，Kadison和singer［1］平行于Von Neumann代数理论，引入了三角代数.2008年，葛力明和袁巍［2，3］将三角代数、自反代数和von Neumann代数理论相结合，引入了一类新的非自伴算子代数——Kadison-singer代数，简称KS-代数.KS-代数与Von Neumann代数之间的联系是通过不变投影格来实现的.这些投影格是自反的［4］，且在生成KS-代数的对角子代数的意义下具有“极小性”.如果不变投影格中的所有投影是相互交换的，则称之为交换格.套代数是不变投影格为交换格的唯一KS-代数.因此，在这种意义下，KS-代数可以看成是“量子化”的套代数.

董瑷菊等［5］证明了在相似意义下分别生成von Neumann代数为M2(C)和M3(C)的KS-格M0是唯一的，即每个生成M2(C)，M3(C)的KS-格都相似于M0或I－M0，M0是单点扩张下生成的M3(C)的KS-格.在此基础上，把这两种KS-格分别嵌入到M4(C)中，构成了生成von neumann代数为M2(C)⊕C⊕C和M3(C)⊕C的KS-格，并加以证明.

下面介绍所涉及的基本概念和符号.

令H为可分的复Hilbert空间，B(H)为H上的有界线性算子的全体.(B(H))是B(H)中的全体投影组成的集合.

设S为B(H)中的正交投影集，用A lg S表示使得S中每个投影都不变的有界线性算子的全体构成的代数，它是B(H)中一个弱算子的闭子代数，记为

相应地，对于B(H)中的子集L，用Lat L表示L中的不变投影格，记为

在一般情况下，总有S⊆Lat A lg S和L⊆A lgLat L.

定义1 设A是B(H)的一个子代数，如果A=A lgLat A，则称A是自反代数.设L是B(H)的子空间格，如果L=Lat A lg L，则称L是自反格.

定义2 设N为Hilbert空间H上的一个投影集，如果N为全序集且包含0和恒等算子I，则称N为一个套，套具有自反性.N相应的不变子空间的格代数A lg N为套代数，由N生成的Von Neumann代数N″为套代数的核，称A lg N∩(A lg N)*为套代数A lg N的对角.

定义3 设A为B(H)中的子集，称A'={B∈B(H):AB=BA，∀A∈A}为A在B(H)中的交换子.A的二次交换子A″是A'的交换子，即A″=(A')'.

定义4 设M1和M2是作用在H上的两个投影格，若存在H上的可逆算子T，使得TM1=M2，则称M1和M2相似，其中TM1={Ran(TPT－1):P∈M1}，Ran(A)表示算子A的值域投影，即H到A的值域闭包上的投影.

定义5 设L是B(H)的子空间格，E∈L，定义:

定义6 若B(H)的子代数A满足:

(1)A是自反代数.

(2)如果B(H)的自反子代数B包含A，即A⊆B，并且有B∩B*=A∩A*，那么A=B，则称A为Kadison-singer代数(或 KS-代数).

若KS-代数A的对角子代数A∩A*为因子时，称此类KS-代数为Kadison-singer因子，简称KS因子.若B(H)中的投影格L是生Von Neumann代数L″的最小自反格，即L自反且A lg(L)是KS-代数，则称L为KS-格.

In表示n阶矩阵单位，在不引起混淆时，简记为I.另外，引入矩阵代数Mn(C)中的矩阵单位系统Ei，j，i，j=1，2，…，n，其中 Ei，j表示第 i行第 j列为 1，其他位置为 0 的 n 阶方阵.由于讨论的为四阶矩阵，因此，这里n=4.

引理1 设L是B(H)的一个有限投影格，则L为完全分配格等价于∀E∈L，E#=E［6］.

引理2 设V是无限域上的有限维向量空间，L是V的子空间格的有限格，那么，L是自反的当且仅当L 是分配格［7，8］.

接下来的部分就是利用这两个例题中出现的KS-格，嵌入到四阶矩阵代数中得到的新的KS-格.

2 四阶矩阵代数中两个新的kadison-singer格的例子

命题1 设 P1=E11，+E33，P3=P1∨ P2=，则 L= {0，P1，P2，P3，I}为生成Von Neumann代数M2(C)⊕C⊕C的KS-格.

证明 首先，由于P1∧P2=0，P1∨P2=P3，所以易证L为一个格.进一步验证，L是一个分配格.经简单计算，对任意E，F，G∈L，均有(E∨F)∧G=(E∧G)∨(F∧G).因此，L是一个自反格.

设 A=(aij)∈A lg(L)，aij∈C ，根据 P1AP1=AP1，可得 a21=0，a31=0，a41=0;根据 P2AP2=AP2，可得a11+a12=a22，a13=a23，a42=0，a43=0.所以，

从而有L'=(A lg L)∧(A lg L)*=C I2⊕C⊕C，可得L″=M2(C)⊕C⊕C.

下面证明L的极小性.

去掉 P1，则 M0={0，P2，P3，I}⊆L，M0的格代数为

进一步得到L″=C I2⊕C⊕C，即L不能生成von neumann代数M2(C)⊕C⊕C，所以P1不能去掉.

去掉P2，则L中余下的元素组成的集合M0= {0，P1，P3，I}，P1，P3同上.显然，M0中的元素是可交换的，因此，M0生成的von neumann代数是可交换的，与M2(C)⊕C⊕C的不可交换性矛盾.所以，P2不能去掉.极小性得证.

从而可得:L″=M3(C)⊕C.

下面证明L的极小性.

去掉 P1，则 L= { 0，P2，P3，P4，I}.由于P1=P2∧P4，此时，P2∧P4∉L，由格的定义可知，L不是一个格，所以L更不可能为一个KS-格.

可得L'=(A lg L)∧(A lg L)*=C⊕C I2⊕C，所以L″=C⊕M2(C)⊕C≠M3(C)⊕C，因此，P3不能去掉.

由于P4=P1∨P3，当P1，P3∈L时，保证L为一个格，P4必须∈L.

由以上所述可知，L={0，P1，P2，P3，P4，I}为生成Von Neumann代数M3(C)⊕C的KS-格.

利用低阶矩阵代数中已经研究的比较彻底的KS-格嵌入到高阶矩阵中，进而构造出高阶矩阵代数中一些新的KS-格的方法，可以作为一种构造KS-格的方法在研究KS-格时使用.

［1］KADISON R.SINGER I.Triangular operator algebras.Fundamentals and hyper-reducible theory［J］.Amer Journal of math，1960(82):227-259

［2］GE L，YUAN W.Kadison-Singer algebras，Ι［J］.hyperfinite case，Proc.Natl.Acad.Sci.USA，2010，107(5):1838-1843

［3］GE L，YUAN W.Kadison-Singer algebras，Ⅱ［J］.hyperfinite case，Proc.Natl.Acad.Sci.USA，2010，107(11):4840-4844

［4］HOU G J.Cohomology of a class of Kadison-Singer algebras.Science in China Series A［J］.Mathematics，2010，53:1827-1839

［5］董璦菊，侯成军，谭军.矩阵代数Kadison-Singer格的分类［J］.数学学报:中文版，2011，54(2):333-342

［6］鲁世杰，陆芳言，李鹏同，等.非自伴算子代数［M］.北京:科学出版社，2004

［7］胡长流，宋振明.格论基础［M］.开封:河南大学出版社，1990

［8］周惊雷.分配格上向量线性相关性探讨［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2010，27(4);319-321