E-半预不变拟凸函数性质及解集特征

苏文涛，廖 伟，张 贞

(重庆师范大学 数学学院，重庆401331)

广义凸在数学规划和优化理论中起着重要的作用.自20世纪60年代以来，凸函数的概念通过不同的途径被扩充.Hanson［1］把凸函数的概念推广到预不变凸函数，之后Ben-Israel［2］等和杨新民［3］又推广和研究了预不变凸、广义半预不变凸函数，Youness［4］和Emam［5］将凸函数推广得到了E-凸函数和半E-凸函数，彭再云［6］进一步研究了E-拟凸函数的一些性质及其判定条件，给出了E-拟凸函数与拟凸函数在一定条件下的等价关系，谭仁新在文献［7］中将E-预不变凸函数进一步推广，得到了半E-预不变凸函数的概念，讨论了这类函数解集的特征，提出了可微最优化问题的最优解，同时在文献［8］中提出了E-半预不变拟凸函数的概念，但并未对其性质做过多的讨论，此处在文献［7］和文献［8］的基础上，结合半E-预不变凸函数的性质以及E-拟凸函数的一些性质，对E-半预不变拟凸函数的性质做进一步讨论，同时给出其优化解集特征.

1 预备知识

下面给出E-不变凸集、半E-凸函数、E-预不变凸函数、半E-预不变凸函数和E-半预不变拟凸函数的定义.

定义1［9］称集合 A⊂Rn是关于 η 的 E-不变凸集，如果对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A.

显然，由定义可知E(A)⊆A.

定义2［5］称函数f:M⊆Rn→R是在E凸集M上是半E-凸函数，如果存在一个映射E:Rn→Rn，对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有

定义3［9］称函数f:A⊆Rn→R是在E-不变凸集A上关于η的E-预不变凸函数，如果存在一个映射η:Rn×Rn→Rn，对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有

定义4［7］称函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的半E-预不变凸函数，如果存在一个映射η:Rn×Rn→Rn，对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有

定义5［8］称函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-半预不变拟凸函数，如果存在一个映射 η:Rn× Rn→Rn，对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有

2 E-半预不变拟凸函数的性质

下面给出E-半预不变拟凸函数的几个性质:

定理1 设函数 f:A⊆Rn→R是在 E不变凸集 A上关于 η的 E-半预不变拟凸函数，集合 Lα=，f(x)≤α，∀α∈R }，则 Lα是 E-不变凸集.

证明 ∀x，y∈Lα，有 x，y∈A，且 f(x)≤α，f(y)≤α.

因为f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-半预不变拟凸函数，所以存在η:Rn×Rn→R，使得∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A，且 f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤max{f(x)，f(y)}≤α，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈Lα.故 Lα是 E 不变凸集.

定理2 设函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-半预不变拟凸函数，g:R→R是一非减函数，那么复合函数g·f:Rn→R是A上的E-半预不变拟凸函数.

证明 因为f:Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-半预不变拟凸函数，所以存在映射η:Rn×Rn→Rn，对于∀x，y∈A，∀λ∈［0，1］，有

又g:R→R是一非减函数，所以

g ·f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤g{max［f(x)，f(y)］}≤max{g ·f(x)，g ·f(y)}，故复合函数 g ·f:Rn→R是A上的E-半预不变拟凸函数.

定理3 设函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-预不变拟凸函数，则f(x)是A上关于η的E-半预不变拟凸函数的充要条件是f［E(x)］≤f(x)或者f［E(x)］≤f(y).

证明 先证必要性.设函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-半预不变拟凸函数，则

同理可得 f［E(y)］≤f(x)或 f［E(y)］≤f(y).

再证充分性.设函数f:A⊆Rn→R是在E不变凸集A上关于η的E-预不变拟凸函数，所以有

3 E-半预不变拟凸规划解集的特征

考虑下面单目标问题:

其中 E:Rn→Rn，f:M⊆Rn→R，gk:Rn→R，k=1，2，…，m 都是关于 η 的 E-半预不变拟凸函数，M={x∈X(x)≤0，k=1，2，…，m}，X 是关于 η 的 E － 不变凸集.

定理4 问题(P)的可行解集M是关于η的E－不变凸集.

证明 设∀x，y∈M⊆X，由X 是关于η 的E-不变凸集知，∀λ∈［0，1］，有E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈X.

又知gk(x)在X上是关于η的E-半预不变拟凸函数，所以有

又 gk(x)≤0，gk(y)≤0，于是 gk{E(x)+λη［E(x)，E(y)］}≤0，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈M，所以 M是关于η的E－不变凸集.

定理5 问题(P)的最优解集D⊆M也是关于η的E－不变凸集.

证明 设 x，y∈D，则

于是E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈D，∀λ∈［0，1］，即最优解集D也是关于η的E－不变凸集.

［1］HANSON M A.On Sufficiency of the Kuhn-Tucker Conditions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1981(80):545-550

［2］BEN-ISRAEL A，MOND B.What Is Invex［J］.Journal of the Australian Mathematical Societu，1986(28B):1-9

［3］ YANG X M，LIU S Y.Technical Note Three Kind of Generalized Convexity［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1995(86):501-513

［4］ YOUNESS E A.E-convex Sets，E-convex Functions and E-convex Programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999(102):439-450

［5］YOUNESSE A，EMAM T.Semi Strongly E-convex funcitons［J］.Journal of Mathematical and Statistics，2005(1):51-57

［6］彭再云，吕玉刚.E-拟凸函数的几点注记［J］.内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版，2007(36):551-554

［7］谭仁新.半E-预不变凸函数及最优性条件［J］.贵州大学学报:自然科学版，2010(27):10-12

［8］谭仁新.一类广义E-凸函数及其应用［D］.重庆:重庆师范大学，2011

［9］ FULGA C，PREDA V.Nonlinear Programming with E-preinvex and Local E-preinvex functions［J］.European Journal of Operational Research，2009(192):737-743

［10］唐艳.一族强单调映射的公共零点的强收敛定理［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2013(3):13-16