奇素数函数及应用

李明玉

(渭南市气象局，陕西渭南714000)

1 奇素数函数V(u)

定义1 如果 U={u|u∈Z，且u≠0，u≠－4ab+a － b，u≠4ab－ a － b，u≠4ab+a+b，a，b∈N}，则

称作奇素数函数，u称作奇素数函数变量.

定理1 给出函数变量 u，u∈Z，如果u≠0，u≠－4ab+a－b，u≠4ab－a－b，u≠4ab+a+b，a，b∈N，则函数的值域构成奇素数全集.

证明 设f(x)=︱4x+1︱为奇数函数，x∈z.

首先证明f(x)=︱4x+1︱包含了所有的奇素数.

当x=0时，f(x)=|4x+1|=1，即它既不是合数，也不是素数;

当x＞0时，f(x)=|4x+1|⇔f(x)=4x+1;

当x＜0时，f(x)=|4x+1|⇔f(x)=4×|x|－1.

设N是正整数，则

N ≡1(mod 4)，N=4x+1;

N≡2(mod 4)，N是偶数，其中只有2是素数;

N≡3(mod 4)，N=4x－1;

N≡0(mod 4)，N没有素数，是偶合数.

由此可见，所有的奇素数都包含在奇数函数f(x)=|4x+1|之中，无一例外.

下面证明，若x∈ Z，x≠0，x≠－4ab+a － b，x≠4ab－ a － b，x≠4ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|4x+1|都是奇素数.

设 f(x)=|4x+1|是奇合数，x≠0，则 ∃y1，y2∈ N，使 f(x)=|4x+1|=y1y2.

由于f(x)为奇数，所以y1，y2均为奇数，即∃a，b∈N，使得y1=4a+1或者4a－1;y2=4b+1或者4b－1.

由于a，b的任意性，所以f(x)=|4x+1|=y1y2只能是下面三种情况之一:

所以，如果f(x)=|4x+1|为合数，则x的值只能为x=－4ab+a－b，或x=4ab+a+b，或x=4ab－ a － b.也就是说，若 x∈ Z，x≠0，x≠－4ab+a － b，x≠4ab－a － b，x≠4ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|4x+1|都是奇素数.

因为u∈Z，u≠0，u≠－4ab+a－b，u≠4ab－a－b，u≠4ab+a+b，所以，函数V(u)= ︱4u+1︱既没有1和奇合数，又包含了所有的奇素数.因此，V(u)=︱4u+1︱的值域是奇素数全集.

2 简化素数函数V(m)

定义2 如果m={m|m∈Z，且m≠0，m≠－6ab+a－b，m≠6ab－a－b，m≠6ab+a+b，a，b∈ N}，则

称作简化素数函数，亦称作不小于5的素数函数，m称作简化素数函数变量.

虽然函数V(m)比奇素数函数V(u)少了奇素数3，但在使用中就方便多了.与奇素数函数V(u)相比，简化素数函数V(m)在函数值域相同的情况下，其函数变量的定义域的取值范围却显著缩小，因此，在实际计算中，工作量明显减少，数字越大越明显.所以，将函数(2)称作简化素数函数.

定理2 给出函数变量m，m∈Z，如果m≠0，m≠－6ab+a－b，m≠6ab－a－b，m≠6ab+a+b，a，b∈ N，则函数的值域是不小于5的素数集合.

证明 设f(x)=|6x+1|是奇数函数，x∈Z.

首先证明f(x)=|6x+1|，包含了除2和3之外的所有素数.

当x=0时，f(x)=|6x+1|=1，即它既不是合数，也不是素数;

当x＞0时，f(x)=|6x+1|⇔f(x)=6x+1;

当x＜0时，f(x)=|6x+1|⇔f(x)=6×|x|－1.

设N是正整数，则

N ≡1(mod 6)，N=6x+1;

N≡2(mod 6)，N是偶数，其中只有2是素数;

N≡3(mod 6)，N是能被3整除的数，其中只有3是素数;

N≡4(mod 6)，N是偶数，都是合数;

N≡5(mod 6)，N=6x－1;

N≡0(mod 6)，N没有素数，是偶合数.

由此可见，除了2和3外，奇数函数f(x)=|6x+1|包含了其余所有的素数.

下面证明，若x∈ Z，x≠0，x≠－6ab+a － b，x≠6ab－ a － b，x≠6ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|6x+1|都是奇素数.

设 f(x)=|6x+1| 是合数，x≠0，则 ∃y1，y2∈ N，使 f(x)=|6x+1|=y1y2.

由于f(x)为奇数，所以y1，y2均为奇数，即∃a，b∈N，使得y1=6a+1，或6a－1，或6a+3;y2=6b+1，或6b － 1，或6b+3.

又由于f(x)=|6x+1|=y1y2是不存在素因子3的奇数，因此，y1，y2均不可能为6a+3和6b+3.

所以y1=6a+1或6a－1;y2=6b+1或6b－1.

由于a，b的任意性，所以f(x)=|6x+1|=y1y2只能是下面三种情况之一:

所以，如果f(x)=|6x+1|为合数，则x的值只能为x=－6ab+a－b，或x=6ab+a+b，或x=6ab－ a － b.也就是说，若 x∈ Z，x≠0，x≠－6ab+a － b，x≠6ab－a － b，x≠6ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|6x+1|都是大于3的奇素数.

由于奇数函数f(x)=|6x+1|包含了除2和3之外的全部素数.又因为m∈Z，m≠0，m≠－6ab+a－b，m≠6ab+a+b，m≠6ab－a－b，所以，函数V(m)=|6m+1|既没有1和合数，又包含了除2和3之外的全部素数.因此，V(m)=|6m+1|的值域是不小于5的素数集合.

3 应用

3.1 求素数判别函数f(b)

若函数f(b)的值都不是整数时，则n就是素数，否则就是合数.

例1 用判别函数识别299是素数还是合数.

因为判别函数值是整数，所以299是合数，299=13×23.

例2 用判别函数识别253是素数还是合数.

因为判别函数值是整数，所以253是合数，253=11×23.

3.2 求素数及个数

例3 求51到100内的素数和素数个数.

解 在函数V(u)=︱4u+1︱中，

1

若u1=－4ab+a－b，有 －25≤－4ab+a－b≤－13，即

而u1≠－4ab+a－b，所以{u1}={－15，－17，－18，－20，－21}.

2

若u2=4ab－a－b和u2=4ab+a+b，有 13≤4ab－a－b≤24，13≤4ab+a+b≤24，即

而 u2≠ 4ab － a － b，u2≠4ab+a+b，所以{u2}={13，15，18，22，24}.

所以{u}={u1}∪ {u2}={－15，－17，－18，－20 －21}∪ {13，15，18，22，24}={－ 15，－ 17，－ 18，－ 20，－ 21，13，15，18，22，24}.

所以n(U)=10.

将素数函数变量代入V(u)=|4u+1|，得:

例4 求9951到10000内的素数和素数个数.

解 设素数函数为V(m)=|6m+1|，M为素数函数变量m的集合，M补为素数函数变量集合的补集，则M补={－6ab+a－b}∪{6ab－a－b}∪{6ab+a+b}.

若m1=－6ab+a－b，则 －1666≤－6ab+a－b≤－1659，(这时设m1∈M补1).

当a=b时，－6ab+a－b=－6a2≥－1666，有 a≤16.同理可得:b≤16.

当a=1时，－1666≤－6b+1－b≤－1659，即238≥b≥238，则有

当a=2时，－1666≤－6×2b+2－b≤－1659，即128≥b≥128，则有

…

同理可得:

若 m2=6ab－a－b，m2=6ab+a+b，则1659≤6ab－a－b≤1666，1659≤6ab+a+b≤1666(这时设m2∈M补2).

当a=b时，6ab－a－b=6a2－2a≤1666， 6ab+a+b=6a2+2a≤1666.即

解得:

所以a≤16.

由于6ab－a－b和6ab+a+b都是对称函数，所以a和b是同型项，b不需计算.

当a=1时，1659≤6b－1－b≤1666，即 332≤b≤333.

1659≤6b+1+b≤1666，即237≤b≤237.

所以6ab－a－b=6×1×332－1－332=1659，6ab－a－b=6×1×333－1－333=1664，6ab+a+b=6×1×237+1+237=1660，

…

同理可得:

则 M={1661，1662}.

所以n(M)=2.

所以从9951到10000内的素数为{9967，9973}，共2个.

3.3 梅森素数的素数函数F(p)

因为 － 2p－2≤－ 1，即2p－2≥1，所以 p ≥2.

又因为 － 2p－2≠－ 4ab+a － b，即2p－2≠4ab － a+b，有2p≠16ab － 4a+4b.

所以p≠log2(16ab－4a+4b)=2+log2(4ab－a+b).

所以梅森素数的素数函数是:F(p)=2p－1，其中p≥2，p≠2+log2(4ab － a+b)，a，b≥1，a，b∈N.

3.4 高斯素数的素数函数F(u)

所谓高斯素数，就是在奇素数函数V(u)=︱4u+1︱中，素数函数变量为负整数的一类素数.高斯素数是在复数域中仍不能分解的一类素数.这类素数形如4u－1.

因为F(u)=4u－1=－﹝ －(4u－1)﹞ =－﹝4×(－u)+1﹞ =|4×(－u)+1|，而 －u≤－1，即 u ≥1.

又因为 －u≠－4ab+a－b，即u≠4ab－a+b.

所以高斯素数的素数函数是:F(u)=4u － 1，其中 u≥1，u≠4ab － a+b，a，b≥1，u，a，b∈ N.

3.5 形如 s2+1的素数函数F(s)

在二次式s2+1中，当s是奇数时，s2+1是偶数，其中，只有s=1时，s2+1是素数2，其余都是合数.所以，素数s2+1中的奇数变量不是变量，而是常量1;当s是偶数时，s2+1是奇数，所以，s2+1既有合数，也有素数.因此，素数s2+1的变量s是偶数，不是奇数.因而，s2能被4整除.

又因为s是偶数，所以s≤－2n或s≥2n，n∈N.

所以s2≠4×(4ab－a－b)， s2≠4×(4ab+a+b)，

因为此函数的变量都是偶数，所以，我们将它称作偶变量素数函数F(s).

3.6 孪生素数的素数函数F(mr)

所谓孪生素数是指差为2的相邻素数.

当素数函数变量m1＞0时，则其素数p1可表示为p1=6m1+1.

当素数函数变量m2＜0时，则其素数p2可表示为

如果m1=－m2，则p1－p2=(6m1+1)－﹝6×(－m2)－1﹞

这说明了当素数变量m1=－m2时，则其素数就是一对孪生素数.

设 m1，m2，mr都是素数函数变量，m1≥ 1，m2≤－ 1，mr=m1= － m2，则 mr≥ 1.

因为m1≠6ab－a－b， m1≠6ab+a+b，所以mr≠6ab－a－b， mr≠6ab+a+b

又因为m2≠－6ab+a－b，所以mr≠6ab－a+b.

所以孪生素数的素数函数是:F(mr)=6mr±1.其中 mr≥1，mr≠6ab－a－b，mr≠6ab+a+b，mr≠ 6ab － a+b，a，b ≥1，mr，a，b ∈ N.

3.7 费马素数的素数函数F(k)

设 n=2k，则 F(k)=2n+1=2n+1+1 － 1=2 × (2n－1+1)－ 1.

因为n=2k，所以n－1是奇数，2n－1+1能被3整除.

又因为n=2k，所以k≥1，k∈N.

所以费马素数的素数函数可以表示为:

3.8 艾森斯坦素数的素数函数F(n)

数学家艾森斯坦也定义了一种素数:形如n+mω的数被称为艾森斯坦整数，而艾森斯坦素数则是艾森斯坦整数的一个子集.这类素数都是除以3余2的素数，除了2不可以用函数表示外，其余素数都可以用6n－1来表示.

因为F(n)=6n－1=－﹝6×(－n)+1﹞ =|6×(－n)+1|，所以艾森斯坦素数，除了2，其余素数都是简化素数函数V(m)=|6m+1|中变量为负整数的一类素数.

因为 －n≤－1，所以n≥1，又因为 －n≠－6ab+a－b，所以n≠6ab－a+b.所以艾森斯坦素数，除了2，都可以用下列函数表示:

3.9 等差素数的变量是等差数列

设素数 p1，p2，p3是等差数列，则 p2－ p1=p3－ p2.

当素数函数变量mi≥1时，有 p1=6m1+1，p2=6m2+1，p3=6m3+1.

因为p2－p1=p3－p2，所以6×(m2－m1)=6×(m3－m2)，即m2－m1=m3－m2.

当素数函数变量 mi≤－1时，p1=|6m1+1|=－6m1－1，p2=|6m2+1|=－6m2－1，p3=|6m3+1|=－6m3－1.

因为p2－p1=p3－p2，所以6×(m1－m2)=6×(m2－m3)，即m1－m2=m2－m3.

这说明，当几个素数是等差素数时，其素数函数的变量是等差数列.

3.10 形如q2+2的素数函数F(q)

由于F(q)=q2+2是素数，所以q是奇数.

当q≡1(mod 3)时，q2≡1(mod 3)，这时只有q=1时，q2+2是素数3，其余都是能被3整除的合数;

当q≡2(mod 3)时，q2≡1(mod 3)，这时q2+2全是能被3整除的合数;

当q≡0(mod 3)时，q2≡0(mod 3)，这时q2+2有素数也有合数.

所以形如q2+2的素数，除了q=1外，其它素数都出现在能被3整除的奇数q中，即q≡0(mod 3).

因为 －(q2+3)/6≤－1，所以q2≥3.

因为q都出现在能被3整除的奇数中，所以q≤－3×(2n+1)，q≥3×(2n+1)，n≥0，q，n∈Z.

因为此函数的变量都是奇数，所以，我们将它称作奇变量素数函数F(q).

4 结语

(1)素数除了2是偶数外，其余素数都是奇数.奇素数除了3之外，都分布在能被6整除的偶数的两旁，即6k+1或6k－1.素数可以通过素数函数V(m)=|6m+1|和V(u)=|4u+1|进行计算.

(M，U 是素数函数变量集合，a，b≥1，a，b∈ N).

(2)素数分类的方法很多，最好的分类方法是以下两种:

第一种是用奇数3进行分类:

i)3 3≡0(mod 3)

ii)6m+1 (6m+1)≡1(mod 3)(m是正整数)

iii)2和6|m|－1 (6|m|－1)≡2(mod 3)(m是负整数)

第二种是用偶数4进行分类:

i)4u+1 (4u+1)≡1(mod 4)(u是正整数)

ii)2 2≡2(mod 4)

iii)4|u|－1 (4|u|－1)≡3(mod 4)(u是负整数)

［1］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.第2版.北京:北京大学出版社，2003.

［2］闵嗣鹤，严士健.初等数论［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2003.

［3］［美］罗森.初等数论及其应用［M］.夏鸿刚，译.北京:机械工业出版社，2009.