关于多元多项式的因式分解

2013-10-30姜文英

衡水学院学报 2013年1期

姜文英

(衡水学院数学与计算机科学学院，河北衡水 053000)

多元多项式是一元多项式的推广，是多项式理论研究的重要对象．它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到．多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，也是数学研究的重要内容之一，又是一个在数学科学中既重要又极为困难的问题，还是符号计算和计算机自动推理中的最基本算法之一．

1 带余除法分解因式

定义[1]若 f （ x1, x2,..., xn）与 g （ x1, x2,..., xn-1）是F ［ x1, x2,..., xn］中的任意2个多项式，则存在唯一的一对多项式q （ x1,x2,..., xn）与r （ x1, x2,..., xn-1），使得

r （ x1, x2,..., xn-1）与q （ x1, x2,..., xn）分别叫做 xn-g （ x1, x2,...,xn-1）除f （ x1, x2,..., xn）所得的余式和商式．

定理1[1]f （x1,x2,..., xn-1, g （ x1, x2,...,xn-1））=0 的充分必要条件是f （ x1, x2,..., xn）能被 xn-g （x1, x2,...,xn-1）整除．

例1 把多项式x3+ y3+ z3- 3xyz 写成2个多项式的乘积．

解令 f （ x , y ,z ）= x3+ y3+ z3-3xyz ，

由定理1 知x + y+z 整除 f （ x , y ,z ），视x 为未知量， y 、 z 为已知量，用一元多项式里的带余除法，以x + （ y +z）除x3- （ 3yz ）x +（ y3+z3），有

2 二次型法分解因式

定理2[2]一个实二次型 q （ x1, x2,..., xn）可分解为2个实系数 n 元一次齐次多项式的乘积的充要条件是，或者 q的秩等于1，或者 q 的秩等于2 且符号差等于0．

例2 在实数域上分解因式：

解令 q （ x , y , z , t ） =-3 xy + 18 xz - 6 xt - 2 z2+ 17yz -5 yt - 30 z2+ 16 zt -2t2，则f （ x, y ,z ）可分解为2个一次多项式的乘积的充要条件是q （ x, y , z ,t ）可分解为2个一次多项式的乘积，而

所以 f （ x , y ,z ）=(3x + 2 y - 5 z+ 1)(-y + 6 z-2)．

3 导数法分解因式

定理[3]关于多项式 F （ x1,x2,..., xn），对于某个 xi（ i = 1,2,...,n），若 F 'xi（ x1,x2,...,xn）与F （x1, x2,...,xi-1,0, xi+1,...,xn）有公因式，则 F （ x1, x2,..., xn）可以因式分解，且至少有因式d （x1, x2,...,xi-1,0, xi+1,...,xn）．

例3 分解因式：（ x + y ）2（ - x + y + z ）（ z + x - y ） + （ x - y ）2（x + y + z ）（ x + y - z）．

解把 x、 y 看成给定数域 P 中的数，原多项式即是关于 z 的多项式，可以化为：