π-余代数的楔积

周丽娜，李金其，郑清月

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

π-余代数的楔积

周丽娜，李金其，郑清月

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

给出了π-余代数C上的楔积XαΛYβ的概念，把余代数上楔积的相关性质推广到π-余代数上．研究了π-余代数C上π-子余代数、π-余理想的性质，给出了XΛY与它们之间的联系．

π-余代数；楔积；π-子余代数；π-余理想

本文中，设π是一个乘群，k是一个域，所有的空间都是k上线性空间，映射首先是k-线性映射，⊗是指⊗k．

定义1[1]一个π-余代数C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是指一族空间C={Cα}α∈π以及一族映射Δ={Δα,β:Cαβ→Cα⊗Cβ}α,β∈π和映射ε:C1→k，满足

1) (Δα,β⊗ΙCr)Δαβ,r=(ΙCα⊗Δβ,r)Δα,β r；

2) (ΙCα⊗ε)Δα,1=ΙCα=(ε⊗ΙCα)Δ1,α．

从定义知道(C1,Δ1,1,ε)是通常意义下的余代数．

定义2设C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代数，X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π和Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π是C的子空间族，则XαΛYβ是指下列线性映射合成的核：

即XαΛYβ=ker(πXα⊗πYβ)Δα,β．

设V，W是线性空间，定义线性映射ρV,W:V*⊗W*→(V⊗W)*为对任意的v∈V，w∈W，v*∈V*，w*∈W*，ρV,W(v*⊗w*,v⊗w)=〈v*,v〉〈w*,w〉．则ρV,W为单线性映射．此时记V*⊗W*⊆(V⊗W)*．

因此，对任意的xαβ∈XαΛYβ，由(πXα⊗πYβ)Δα,β(xαβ)=0，得

Δα,β(xαβ)∈ker(πXα⊗πYβ)=Cα⊗Yβ+Xα⊗Cβ．

所以

定义4[1]一个π-代数A=({Aα}α∈π,m,μ)是指一族空间A={Aα}α∈π以及一族映射m={mα,β:Aα⊗Aβ→Aαβ}α,β∈π和映射μ:k→A1，满足

1)mαβ,γ(mα,β⊗IAγ)=mα,βγ(IAα⊗mβ,γ)；

2)mα,1(IAα⊗μ)=m1,α(μ⊗IAα)．

从定义知道(A1,m1,1,μ)是通常意义下的代数．

证明根据定义3，可以得到：

命题4设X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π，Z={Zγ|Zγ⊆Cγ}γ∈π是π-余代数C的子空间族，则

(XαΛYβ)ΛZγ=XαΛ(YβΛZγ)=ker((πXα⊗πYβ⊗πΖγ)((Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ))．

证明由命题1可得

Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=(XαΛYβ)⊗Cγ+Cα,β⊗Zγ．

(1)

对式(1)两边同时作用Δα,β⊗ICγ，得

(Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=Cα⊗Yβ⊗Cγ+Xα⊗Cβ⊗Cγ+Cα⊗Cβ⊗Zγ．

(2)

对式(2)两边同时作用πXα⊗πYβ⊗πΖγ，得

(πXα⊗πYβ⊗πΖγ)(Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=0．

从而

((XαΛYβ)ΛZγ)=ker((πXα⊗πYβ⊗πΖγ)(Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ)．

同理，

(XαΛ(YβΛZγ))=ker((πXα⊗πYβ⊗πΖγ)(Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ)．

由(Δα,β⊗ICγ)Δαβ,γ=(ICα⊗Δβ,γ)Δα,βγ，得(XαΛYβ)ΛZγ=XαΛ(YβΛZγ)．

命题5设X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π，V={Vα|Vα⊆Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π，W={Wβ|Wβ⊆Cβ}β∈π是π-余代数C的子空间族，且满足对任意的α,β∈π，有Xα⊆Vα；Yβ⊆Wβ，则XαΛYβ⊆VαΛWβ．

证明对任意的xαβ∈XαΛYβ，则Δα,β(xαβ)∈Xα⊗Cβ+Cα⊗Yβ⊆Vα⊗Cβ+Cα⊗Wβ．从而xαβ∈ker((πνα⊗πwβ)Δα,β)．故XαΛYβ⊆VαΛWβ．

命题6设X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是π-余代数C的子空间族，则XαΛ(kerε)=Xα=(kerε)ΛXα．

证明

(3)

由

Cα/Xα⊗C1/kerε≅Cα/Xα⊗k≅Cα/Xα

,

则式(3)可以改写为：

同理可得(kerε)ΛXα=Xα．从而XαΛ(kerε)=Xα=(kerε)ΛXα．

由命题5，6可得：

命题7设Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π是π-余代数C的子空间族，若Y1⊆kerε，则XαΛY1⊆Xα，Y1ΛXα⊆Xα．

定义5[1]设C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代数，X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是C的子空间族，若对任意的α,β∈π，有Δα,β(Xα,β)⊆Cα⊗Xβ+Xα⊗Cβ，且ε(X1)=0．称X是C的π-余理想．若对任意的α,β∈π，Δα,β(Xα,β)⊆Cα⊗Xβ，称X是C的左π-余理想．若对任意的α,β∈π，Δα,β(Xα,β)⊆Xα⊗Cβ，称X是C的右π-余理想．

定理1若X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是π-余代数C的左(右)π-余理想，则XΛY={(XΛY)ν}ν∈π是C的左(右)π-余理想，且X⊆YΛX(X⊆XΛY)．

(4)

对式(4)两边同时作用(ΙCν⊗πXσβ-1⊗πYβ)，得到(ΙCν⊗πXσβ-1⊗πYβ)(ΙCν⊗Δσ)Δν,σ((XΛY)νσ)=0．即，对任意的ν,σ，有Δν,σ(XΛY)νσ⊆Cν⊗(XΛY)σ．因此，XΛY是C的左π-余理想．

同理可得，若X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是C的右π-余理想，则XΛY是C的右π-余理想，且X⊆XΛY．

定义6[1]设C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代数，X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是C的子空间族，称X是C的π-子余代数，若对任意的α,β∈π，有Δα,β(Xαβ)⊆Xα⊗Xβ．

定理2若X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π是π-余代数C的左π-余理想，并且Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π是π-余代数C的右π-余理想，则XΛY是C的π-子余代数．

证明由条件知，对任意的α,β∈π，有

Δα,β(Xαβ)⊆Cα⊗Xβ，Δα,β(Yαβ)⊆Yα⊗Cβ．

由定理1可得

Δν,σ(XΛY)νσ⊆Cν⊗(XΛY)σ，Δν,σ(XΛY)νσ⊆(XΛY)ν⊗Cσ．

从而

Δν,σ(XΛY)νσ⊆((XΛY)ν⊗Cσ)∩(Cν⊗(XΛY)σ)⊆(XΛY)ν⊗(XΛY)σ．

因此，对任意的ν,σ∈π，有

Δν,σ(XΛY)νσ⊆(XΛY)ν⊗(XΛY)σ．

即XΛY是C的π-子余代数．

定理3若X={Xα|Xα⊆Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ⊆Cβ}β∈π是π-余代数C的π-子余代数，则XΛY是C的π-子余代数，且X+Y⊆XΛY，其中X+Y={Xα+Yα}α∈π．

证明由条件知，X是C的左π-余理想，Y是C的右π-余理想．由定理2知，XΛY是C的π-子余代数．

由条件知，X是C的右π-余理想，Y是C的左π-余理想．由定理1知，X⊆XΛY；Y⊆XΛY．因此，X+Y⊆XΛY．

[1] Virelizier A．Hopf group-coalgebra[J]．Journal of Pure and Applied Algebra,2002，171：75-122．

[2] Sweedler M E．Hopf algebra[M]．New York：Benjiamin，1969．

[3] 方小利，李金其．关于π-余代数的几个性质[J]．绍兴文理学院学报，2004,24(7)：41-44．

TheWedgeofπ-coalgebras

ZHOU Lina, LI Jinqi, ZHENG Qingyue

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)

This paper introduced the notion ofXαΛYβof π-coalgebras, generalized the properties of the wedge of coalgebras to the π-coalgebras, studied some properties ofC-π-subcoalgebras andC-π-coideals, and provided the relations betweenXΛYand them.

π-coalgebras；wedge；π-subcoalgebras；π-coideals

2013-05-12

国家自然科学基金项目(11271319).

李金其(1964—)，男，教授,主要从事Hopf代数等方面研究．E-mail：lijinqi@zjnu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.06.005

O153．3MSC201016T99

A

1674-232X(2013)06-0503-04