高中数学知识拓展课一则

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(温州市第二中学 浙江温州 325007)

高中数学知识拓展课一则

●黄可旺

(温州市第二中学 浙江温州 325007)

笔者有幸参加了一次关于“知识拓展课开发”的市级研讨会，并观摩了一节公开课——勾股数引出的思考，可谓震撼心灵，感触颇深.

1 课堂简录

教师操作：播放一段极具震撼力的视频，展示在人类文明的发展进程中，人们通过无数次对土地、建筑、器物的测量和天文观测，对直角三角形3条边之间的长度关系积累了丰富的认识，逐渐形成了“千古第一定理”——勾股定理．人类开始不断探索由勾股定理延伸出来的问题，譬如“勾股数”.

(视频立体视觉冲突，极大调动学生积极性.)

教师：凡可以构成一个直角三角形3条边的一组正整数，称之为勾股数．古希腊数学家毕达哥拉斯曾研究过下列勾股数组(见表1)：

表1 x,y,z的取值

观察表1,回答以下问题：

(1)每一组数中x,y,z有哪些关系？

(2)若x为n(n≥3,n为奇数).由上面发现的关系，猜想y和z分别是什么？并判断这3个数是不是勾股数．

经验证x,y,z构成一组勾股数.

表2 x,y,z的取值

观察表2，回答以下问题.

(1)这一组数中x,y,z有哪些关系？

(2)若x为n(n≥4,n为偶数)．由上面发现的关系，猜想y和z分别是什么？并判断这3个数是不是勾股数．

经验证x,y,z是一组勾股数.

生3：我觉得没有其他勾股数了.

教师:你能详细说说你的猜想吗？

生4：奇数与偶数并在一起就是所有整数的情况了，而1或2不可能与其他整数构成勾股数.

教师：生3的观点，其他同学赞同吗？

一石激起千层浪……

生5：我有反例:9，12，15是勾股数，但不属于上述2种情形.

生6：我也有反例：20，21，29.

……

教师：确实如此，除了以上概括的2类勾股数外还有很多勾股数.历史上，在这之后，研究勾股数还有“几何学之父”之称的欧几里德，代数学鼻祖丢番图等都曾寻找过概括勾股数的一般公式，有兴趣的同学可以自己查阅资料进一步了解.

教师：除了寻找概括勾股数公式外，人们还尝试从不同的角度继续研究勾股问题，有的人从维度的角度出发，研究了如下问题：满足方程x2+y2+t2=w2(x,y,t,w∈N)的解x,y,t,w称为三维勾股数,请你完成下列表格(见表3),使得每一行中的4个数为一组3维勾股数．

表3 x,y,t,w的取值

生7：在y与t之间插入一列表格z，令x2+y2=z2，只需寻找满足z2+t2=w2的勾股数.运用毕达哥拉斯与柏拉图的勾股数公式，表格从左到右、从上到下依次填13，84，85，60，1 860，1 861，48，624，626.最后一行对n为奇数、偶数情况进行讨论，具体还没想好.

教师：你能引入一个变量将三维勾股数转化为熟悉的二维勾股数问题，并将掌握的知识应用于新问题中，已经做得非常好，最后一行的问题留给大家做为课后的作业去探究．

(这里教师让学生自己设计问题，并没有继续带领学生解题，点而不破，是拓展课的一大亮点.)

教师:如果让你设计一个问题继续研究，你会怎样设计?

生7：可以去研究四维甚至五维勾股数问题.

生8：我想设计一个算法程序把所有勾股数罗列出来.

生9：我想是不是可以从次数上考虑，研究x3+y3=z3的解.

生10：我想研究xn+yn=zn的解.

……

师：大家都非常厉害!事实上，当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程xn+yn=zn有无正整数解的问题就是著名的费马猜想．

(全班一片哗然,响起了热烈的掌声.)

教师：关于这个猜想还有个美丽的故事：据说，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的．关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下．”费马的这段话，引来无数数学家投入到证明猜想当中，其中包括欧拉、高斯等伟大的数学家，很遗憾他们都未能找到证明方法，直到1994年英国数学家怀尔斯证明了费马猜想是正确的.

教师：时间过得很快，请允许我用著名华裔数学家、哈佛大学终身教授、菲尔兹奖得主丘成桐先生在北京师范大学附属中学的演讲作为本课的小结：……“做数学”需要质疑权威，开辟荒原的精神……

(数学家的魅力不仅仅是他在数学上的成就，更在于他崇尚科学、孜孜追求真理的人格品质.他们做人、做事的态度与方法是我们学习的楷模，他们做学问的方法是今后学业道路上的一盏明灯，这是任何其他语言所无法替代的.这样的结尾别出心裁，契合主题.)

2 听课反思

这节课从始至终给人以启迪和美的享受，没有口若悬河的教师个人解题能力的展示，没有变式训练，只有学生一个个令人赞叹的奇思妙想和如坐春风般的美妙感受，以及有关大数学家动人的故事.笔者不禁要问什么样的数学知识拓展课才算得上是一节精彩而值得回味的好课，结合本课与专家的点评，笔者认为一节优质的知识拓展课应具备以下几个基本要素：

2.1 趣味性

教育家苏霍姆林斯基指出:“不动情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习就会成为学生的沉重负担．”从这句话中我们可以知道，积极的思维活动应建立在浓厚的兴趣和丰富的情感上．知识拓展课作为选修课，没有兴趣必将被学生所抛弃.因此，轻松活泼、生动有趣的课堂氛围是拓展课的先决条件，本课将知识探究与数学史交替呈现的方式大大增加了学生学习的兴趣，让学生在不经意间发现“我也能像数学家那样发现问题、思考问题”，从而获得极大的自信心与满足感，大大激发了学生学习的热情．而一个好的学习情境往往又会使学生产生亲切感，使他们心情愉快、心理轻松，能激发出他们的探究欲望和潜能，拓宽他们的思路，从而奇妙的问题、精彩的见解会源源不断地涌现．

2.2 知识性

知识拓展类课程不等于任由学生天马行空、不沾边际做粗浅的表面文章，更要避免学生热火朝天但毫无思维深度的活动课．知识拓展课是教师预设研究内容，学生主动探究学习的过程．在这个学习过程中，学生学会像数学家那样运用直觉判断和类比推理来发现和猜想问题的结果，寻求解决问题的办法,从中习得数学的方法与知识．大数学家欧拉说过:“数学这门学科，需要观察，还需要实验．”这些需要教师为学生预设,开发出他们的数学潜能，因此，课程必需具备一定的难度与思维容量．

2.3 人文性

“人文教育”与“科学教育”一样重要，科学探索客观，人文体察人情，前者重“理”，后者重“情”．通过科学，人类不断深化对客观世界的认识，提高改造客观世界的能力；通过人文精神，人类体会为人之意义与态度，实践做人之道．正如钱学森所说：科学与人文是一枚硬币的2个面，缺一不可．在探寻勾股数一般性公式及解答由勾股定理延伸出来的问题的过程中，无数大数学家表现了坚强的意志、崇高的品质与追求真理的精神境界，值得我们尊重和学习，这其中起到的榜样的力量是无穷的．

2.4 启发性

美国当代教育家布鲁纳有句名言:“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理.”拓展型课程本身的特征决定了我们在教学中更应该重视数学思想方法的渗透，而非知识的传送．关注学生发现问题、提出问题能力的培养，虽然学生的问题有时有些“幼稚”与“不着边际”，科学往往就在这一闪念中诞生，我们要再大胆一点，更放得开一些，把问题留给学生，不要在意过程与细枝末节，更不必过分看重课堂知识掌握程度，给学生多一些“留白”，多一些想像的空间，变“不愤不启，不悱不发”为“不得不愤，不得不悱”.