自主招生中的立体几何问题

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(松阳县第一中学 浙江松阳 323400)

自主招生中的立体几何问题

●李玉梅

(松阳县第一中学 浙江松阳 323400)

立体几何试题是考查空间想象能力最好的载体.在自主招生试题中，这部分内容主要考查空间图形中线面的位置关系以及空间角、距离的计算，解题时往往将空间问题转化为平面问题来解决，体现数学中的转化与化归思想.另外，建立空间直角坐标系，将几何元素之间的关系数量化，可以看出用空间向量来解题的优势.本文主要谈谈自主招生中的立体几何问题.

1 求角的问题

( )

(2011年清华大学等七校联考试题)

评注本题也可以平移DM与AN共面，即点M移到点N,点D移到CD的中点Q,或平移AN与DM共面,亦即点A移到点M，点N移到PN的中点Q，平移是解决线线问题的基本方法.

图1 图2

例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F∶FB1=1∶3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为

( )

(2011年同济大学等九校联考试题)

评注“线线角”问题的常用方法是平移法，此题也可以用坐标法求解.

例3三棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一点P，设△PA′C′与底面的二面角为α，△PB′C′与底面的二面角为β，则tan(α+β)的最小值是

( )

(2009年复旦大学自主招生试题)

图3

分析如图3，Q为点P在平面AB′C′上的射影，作QE⊥A′C′，QF⊥B′C′，则∠PEQ,∠PFQ分别为二面角P-A′C′-B,P-B′C′-A′的平面角,即∠PEQ=α,∠PFQ=β.设B′Q=x,A′Q=1-x(0

从而

又

于是

评注求二面角的关键是根据已知条件准确地找出或作出要求的角．

2 距离问题

例4在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为

( )

(2011年同济大学等九校联考试题)

分析本题每个选项中只有一个结果，因此满足条件的任何一个三棱柱中所求距离为同一个数字.不妨取三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，如图4所示，运用等体积法，易求得点C1到平面AB1E的距离

故选D.

评注当一般情况不易解决时，要注意把问题特殊化，如特殊数字、特殊函数、特殊图像等，这样可以使解题思路豁然开朗.

例5设ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面边长和高都为1，点P是侧面ABB′A的中心，则点P到侧面ACC′A′的对角线的距离是

( )

图5 图6

分析如图5，作PQ⊥AC′,则PQ即为所求的距离.将△AB′C′分离出来，作B′E∥PQ,交AC′于点E，取B′C′的中点F，联结AF，如图6.设PQ=h，则

评注空间的距离常转化为平面的距离，而等面积法是求距离的常用方法之一.

例6有一个圆柱形杯子，底面周长为12 cm，高为8 cm，点A在内壁距杯口2 cm处，点A对面外壁距杯底2 cm处有一只小虫，问小虫至少走______cm长的路才能到点A处饱餐一顿？

(2009年南京大学自主招生试题)

分析根据题意可将圆柱形杯子展开，如图7所示，小虫从点B到点A′的最短距离可利用勾股定理求得，即为10 cm.

评注几何体的展开是求最短距离的常用办法之一.

图7

3 内接外切问题

( ).

A.32 B.30 C.28 D.26

(2010年复旦大学自主招生试题)

图8 图9

分析如图8为过球心的截面图，设小球的半径为r，依题意有

解得

从而

所放入的小球如图9所示的方式摆放，相邻2个小球的球心B，C与圆心A构成等腰三角形，点D为2个小球的切点，则

从而

∠CAB≈2×11.95°=23.9°<24°,

评注在解决立体几何问题时，常会遇到若干个球按照一定的法则“叠加”的问题，我们将这类问题简称为“多球”问题.对于“多球”问题,往往可以从多球中提炼出各球球心所组成的图形，将问题简化，然后通过解决该简化的问题,获得原问题的待求结论,这是解决“多球”问题的常用方法之一.

例8半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大值是

( )

(2009年复旦大学自主招生试题)

图10

因为

AO=R-r,

所以

评注此题也是一个“多球”问题，也可以从多球中提炼出各球球心所组成的立体图形，将问题简化.

例9一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长均为a，则这个球的体积为

( )

分析设正四面体为P-ABC，O为球心，R为球半径，PO交底面ABC于点D，则点D是△ABC的重心.联结AD，作DE⊥AB于点E，联结OE.在Rt△ODE中，

在Rt△PAD中，

从而

评注球的内接外切问题的关键是分析几何体的特征，根据条件求出球的半径.

4 体积问题

例10在四棱锥V-ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为

( )

A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶3

图11

评注体积问题常常利用“等(同)底等(同)高的体(面)积相等”来求解.

例11设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形分别如图12所示，则该多面体的体积为

( )

(2010年复旦大学自主招生试题)

图12

解联想由正方体变化得到的几何体，如图13所示，其图形即为正方体去掉“一个角”，则

图13 图14

分析设点A到平面DBC的距离为h.在△ABC中，因为AE∶EC=d1∶d2,所以

从而

又因为

VG-AEF=VG-AEH,

评注体积问题是立体几何中的重要问题.在高中数学竞赛与自主招生试题中，利用体积法解题形式简洁，构思容易,内涵深刻，应用广泛，备受青睐．