一个涉及2个三角形的不等式猜想的证明

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(新昌中学 浙江新昌 312500)

一个涉及2个三角形的不等式猜想的证明

●吴裕东

(新昌中学 浙江新昌 312500)

本文中约定△ABC与△A′B′C′的3个内角分别为A,B,C，A′,B′,C′,3条边长分别为a,b,c，a′b′c′.

安振平老师在文献[1]提出了如下有趣的涉及2个三角形的不等式猜想:

猜想对任意△ABC和△A′B′C′,证明或否定

cotA′(cotB+cotC)+ cotB′(cotC+cotA)+cotC′(cotA+cotB)≥

(1)

本文给出不等式(1)的证明.

即

同理

cotA′(cotB+ cotC)+cotB′(cotC+cotA)+cotC′(cosA+cotB)≥

⟺a2b′c′+b2c′a′+c2a′b′+a′2bc+b′2ca+c′2ab≥a(b+c)b′c′+b(c+a)c′a′+c(a+b)a′b′.

(2)

a=y+z,b=z+x,c=x+y,a′=y′+z′,b′=z′+x′,c′=x′+y′,且x>0,y>0,z>0,x′>0,y′>0,z′>0,

从而不等式(2)等价于

(y′+z′)2x2-2[(y+z)(y′+z′)x′+(y′-z′)(yz′-y′z)]x+(y+z)2x′2+2(y-z)(yz′-y′z)x′+(yz′-y′z)2≥0,

(3)

不等式(3)显然成立,故不等式(2)成立,即不等式(1)得证.

利用不等式(1)与文献[1]中的定理1可得如下不等式链:

cotA′(cotB+ cotC)+cotB′(cotC+cotA)+cotC′(cotA+cotB)≥

[1] 安振平.涉及2个三角形角元的一个不等式[J].中学数学教学参考,2012(9):28-29.