开放式数学教学“二度”体验与反思

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(湖州市第二中学 浙江湖州 313000)

开放式数学教学“二度”体验与反思

●俞昕

(湖州市第二中学 浙江湖州 313000)

开放式教学一方面指课堂教学要为学生创设一个有利于群体交流的开放的活动环境，成为师生思维活动双向暴露过程，通过合作讨论，让学生的思维见解、情感体验、意志欲望、行为方式受到尊重，引发他们积极进取和自由探索；另一方面指在问题设计和讨论中保留开放状态，给学生的创新思维提供更广阔的天地，得到更充分的发展.很多文献都是以数学开放题作为载体来阐述开放式教学，笔者认为这只是“开放式数学教学”的一个侧面反映，下面笔者以2个课堂实例与读者共同体验与反思“开放式数学教学”.

1 数学新知的开放式建构

课例片段“分类计数原理和分步计数原理”第一课时

教师给出问题(自主探究)：尝试完成下列计数问题，并从数学的角度对这些问题进行分类，试说明分类的依据.

图1

(1)如图1所示，从B村到A村有2条路，从B村到C村有3条路.从B村到A村或C村，总共有多少种不同的走法？

(2)如图1所示，从A村到B村有2条路，从B村到C村有3条路.从A村经B村到C村，总共有多少种不同的走法？

(3)从5幅不同的油画，2幅不同的国画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

(4)班级的某小组中有男生7人，女生5人，现要从男生或女生中选出一个组长，总共有多少种不同的选法？

(5)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

(6)用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,…,B1,B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

教师给出合作探究任务：完成表1和表2，归纳结论.

表1 任务1

表2 任务2

大约4分钟左右，教师请学生回答，有学生已完成题组分类工作，教师继续给学生大约6分多钟，请学生归纳各题组的结论.

体验以上的教学过程总共化了12分钟左右，这是教师精心设计的开放式数学教学.本节课的一个重点是“分类与分步计数原理”这2个原理的得出过程，我们常规的教学是让学生在教师的引导下得出这2个原理，以教师引导为主.但在以上的开放式教学中，教师抛出“计数问题”这个概念后，就直接给出一组题组，让学生自己计算、进行归纳和类比.在此过程中，教师没有说过任何有关于问题结论的话，充分地体现了开放式教学“合作讨论”、“自主探究”的特点.笔者认为这样的开放式教学具备以下3点价值：(1)新知内容适宜开放式教学.教师给出的6个问题都是涉及到“两类”和“两步”的问题，从简单的“两类”和“两步”问题出发，便于学生对新知的逐步建构，以致能顺利地完成开放式教学.(2)在开放式教学过程中让学生不自觉地运用了“归纳”和“类比”这2种重要的数学思想方法.这样的教学设计“一箭双雕”，既让学生通过自主探究掌握了数学新知，又让学生在探究过程中体会了数学思想方法的重要性.众所周知，学习数学的思想方法往往比学习新知更为重要，掌握了数学思想方法，就等于拥有了开启数学新知之门的金钥匙.(3)学生有充足的时间对新知进行内化.以往教师对2个原理的引出笔墨较少，甚至直接给出结论，而是将更多的时间放置于2个原理的应用上，通过大量的例题与习题以熟练学生对2个原理的应用.殊不知在学生没有完全将“2个原理”这个新知内化到自己的认知结构中去时，学生并没有真正理解这2个原理，那么在应用原理解题时势必会出现混淆不清的局面，以致于造成错误的解答.而开放式教学在留给学生充足的时间进行自我探究、自我建构的同时，也留给学生充足的时间进行知识的内化，真正将知识融入到认知结构中去，对“2个原理”能进行清晰地辨析与理解.

反思基于以上数学新知的开放式教学，笔者认为有必要提出以下2点与同行们商榷：(1)是不是所有的数学新知都适合“开放式教学”？(2)在开放式数学教学中，教师应扮演何种角色？这2个问题是很值得思索的.郑毓信教授曾指出：我们不应将学习者的主动建构与向其他人学习绝对地对立起来.基于建构主义的开放式教学我们要用，但是要慎用.笔者认为建构理论在开放式课堂教学中可以体现在以下2点：(1)有些数学知识不只是通过教师传授获得的，而是学生在一定的情景下，借助于其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资源和相应的学习过程，通过意义结构获得的.注意我们这里使用“有些数学知识”，而不是“所有数学知识”.数学是高度抽象的，若是所有数学知识都让学生在开放的环境下自己建构，这显然是不符合学生的认知结构的，更何况高中教育是普及性的教育，不是精英教育，因此实施开放式教学的内容要细心谨慎选择，比如上面的课例“分类与分步计数原理”第一课时的内容是在学生的最近发展区内，比较适合让学生进行开放式的自主探究学习.(2)教师的“教”应服从学生的“学”.教师要研究在教学过程中如何引导学生主动去观察、思考、探索，力求通过他们自己的努力获取知识，研究如何培养学生独立学习的能力，以达到教学的最终目的，使学生不仅学会知识，而且学会学习.但在这一过程中，绝对不能忽视教师的引导作用.教师在教学中的主导作用，在于设计问题的情境、提出问题，对学生的不同答案做出评价，进一步深化问题.在整个教学中，教师的地位是启发者、鼓励者、咨询者、指导者和示范者，学生的地位则是参与者和实践者.教师在肯定学生认知主体地位的同时，还应强调教师的主导作用，即教师应是学生主动构建的组织者、帮助者、促进者.比如上述课例中，教师给出6分多钟的时间让学生自己归纳总结2个计数原理，若教师一言不发，就会出现“冷场”，教室里很安静(学生不知道怎么讨论)，或是学生会出现没有明确方向的无目的性讨论(无价值的讨论).此时，教师应该根据学生讨论的情形给予适当的方向性引导，让学生的自主探究始终围绕主题，一针见血.同时，教师对学生的评价也是必不可少的，评价其实也可以看成是对学生的引导.

2 数学问题的开放式探究

课例片段直线与圆锥曲线相交问题探究

教师让学生先思考2分钟，然后前后4个人一组，集中做一道题.过10分钟左右，教师挑几个小组的成果进行展示，其中有关于“垂直问题”、“中点弦问题”、“弦长问题”等题目的展示.由于是学生临时给出的数据，因此计算量比较大，有些小组虽然添加了条件，但未能计算出结果.

体验数学开放题是相对数学封闭题而言的，它能有效地反映学生高层次的思维，在数学教学中引进开放性问题对改革目前的数学教学有重要意义.关于什么是“数学开放题”，笔者在这里就不再赘述了，很多文献都有详细的论述.笔者认为解析几何的教学中引进“开放题”这样的开放式数学教学是有必要的.众所周知，高中解析几何内容的解题具有通性通法、计算量大的特征.正因为这样,导致很多学生在学习解析几何时有这样的感觉：拿到题目感觉似曾相识，有点思路，但真的动笔算下去，要么算不出来要么就算不下去.通性通法是数学发展的基石，是数学教育的核心，是数学学习的主要内容之一.上述课例中的这道开放性例题就为学生提供了掌握解析几何中通性通法的良好途径，比如学生想到的“垂直问题”、“中点弦问题”、“弦长问题”等.学生在解析几何学习中的另一个问题就是计算问题.有些教师在课堂上抓紧时间讲题目，而认为计算是次要的，让学生自己课后进行计算，殊不知真正能够自觉在课后进行计算的学生并不多，这样的教学处理容易造成学生“眼高手低”，也认为解析几何只要方法知道就行了，计算是次要的，久而久之就导致了在考试中“永远只知道方法但算不出来”的局面.因此在上述课例的开放式教学中，教师让学生对自编的题目进行详细计算，而且数据也不是凑好的易算数据，这样对培养学生的计算能力是有帮助的.

总的来说，以“开放题”为载体的开放式数学教学存在这样的教育价值：(1)在开放题的解决过程中，学生从各自不同的已有认知基础出发，真正参与到教学中，去体验数学，建构自己的认知结构，通过这种方式进行知识的同化和顺应，其结果更加牢固.(2)在这样的开放式教学中，学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探讨，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成；学生通过开放题的解答这种数学活动形式，可以在一定程度上体会并掌握科学研究的一些思维方式和基本方法，如观察、分析、抽象、合情推理、实验、验证等等；开放题教学要注意师生之间、学生之间的数学交流，从而有利于提高学生用数学语言表述问题的能力.(3)开放题的教学方式还具有人文教育价值.开放题在激发学生学习的兴趣，树立学习的自信心，凸现学生的主体意识，形成独立的人格和克服困难、勇于探索的意志品质，培养群体意识和合作精神，增强竞争机制，培养探索意识和创新意识，形成正确的科学态度等方面都具有极大的优势.

反思基于以上以“开放题”为载体的开放式数学教学，笔者认为有以下2点值得我们反思.

第一，基于开放式教学中“小组合作”的反思.在上述案例中，笔者发现有些小组合作讨论的效果不是很明显，有些学生的参与度不够，反思跟分组有关.笔者认为我们要为学生创造良好的“数学学习共同体”，使每个学生都能积极参与共同体中的学习与讨论.这个“数学学习共同体”的创设尤为重要，教师可以以学生的自由组合为主，但要进行适当的调整，做到组间同质、组内异质，保证每个小组有一个组长，统领整个小组的讨论方向，而这个组长需要具有比较扎实的数学基础.另外尽量做到使每个共同体内部的成员都参与，特别是学困生，要特别指定一些学生帮助那些数学学困生，以免使“小组讨论”变成“学困生被遗忘的角落”，而造成这些学困生产生自卑感，更加不愿意表达自己的想法，更加排斥数学.这一点一定要引起教师的重视.此外，“小组讨论”显然也不应该被看成“合作学习”的唯一形式，恰恰相反，教师应当根据具体的教学内容、对象和环境，灵活地应用各种可能的教学形式，包括全班讨论、师生问答或集体评价等.

第二，笔者认为上述开放式教学中还应注意教师评价的作用.无论开放度有多大，就像放风筝一样，无论风筝飞得多远，教师总要把握好方向，把握好自己手中的风筝线.教学中针对学生已经做出的多种不同解答(或多种不同解法)，教师应积极引导学生对此做出进一步的比较和评价，帮助学生对自己在数学上的收获做出自觉的总结.即通过比较去发现各种不同解答之间可能存在的逻辑联系，对各种解答(与解答方法)的正确性(有效性)做出判断并给出必要的论证，以及做出必要的修正或推广.当然这对数学教师本身的素养有很高的要求.

以上是笔者对开放式数学教学的“二度”体验与反思，开放式教学理应成为数学课堂教学的“座上客”，但我们要慎用、巧用、妙用、细用，使它服务于我们的数学课堂教学，而不是为了“开放”而“开放”、“反客为主”，使得数学课堂教学为“开放”所累.