妙建模型求最值

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(绍兴县实验中学 浙江绍兴 312030)

妙建模型求最值

●占新华毛幼娥

(绍兴县实验中学 浙江绍兴 312030)

几何最值问题近几年广泛出现在各地中考与竞赛试卷中．此类问题往往以平面图形或直角坐标系为载体，且形式多样,具有较强的综合性，对考生的能力要求较高．此类问题常具有很强的探索性，需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法解决,需要我们善于引导学生挖掘问题的本质，从中归纳出思想、方法．

本文试图从“妙建数学模型”入手，挖掘教学资源、注重多题一解，在培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索．

1 妙用几何不等式模型

1.1 和最小模型

图1

“和最小模型”的一般表述是：如图1，已知A，B是直线l同侧的2个点，试在l上找一点P，使得线段PA与PB之和最短．

这里要注意：(1)A，B是已知直线l同侧的2个定点,P是l上的动点；(2)求的是当线段PA,PB的总长度最小时,点P在l上的位置．只有(1)，(2)全符合时，才能使用“和最小模型”．

图2 图3

(2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛试题)

分析由于点M,N均在某个范围内连续变化，故应整体考虑，注意到平分关系，可以考虑轴对称变换，化“折”为“直”，利用最小值模型求解．

解如图3，因为AD平分∠BAC,可以作点B关于AD的对称点B1,联结B1M,再作B1N1⊥AB,垂足为点N1,交AD于点M1,则

BM+MN=B1M+MN≥B1N1,

当点M,N分别处于点M1,N1位置时,BM+MN=B1N1取到最小值．因为

所以B1N1=4,即BM+MN的最小值为4.

例2河岸l同侧的2个居民小区A,B到河岸的距离分别为am,bm(即图4中所示AA′=am，BB′=bm)，A′B′=cm.现欲在河岸边建一个长度为sm的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.

(1)在图4中画出绿化带的位置，并写出画图过程；

(2)求AC+BD的最小值．

(第21届江苏省初中数学竞赛试题)

图4 图5

分析同样是求2条线段和的最小值问题，不同之处在于2条线段AC和BD没有公共端点.注意到所给的绿化带CD的长是一个定值，若将线段AC(或BD)沿与直线l平行的方向平移与CD等长的距离，就可以使它们的一端重合，将问题转化成有公共端点的直线同侧2条线段和的最小值问题，从而使问题得到解决．

解(1)如图5，作线段AP∥直线l，使AP=s，且点P在点A的右侧，取点P关于直线l的对称点P1，联结BP1交直线l于点D，在直线l上点D的左侧截取DC=s，则CD即为所求绿化带的位置．

(2)由对称性得P1D=PD，又PD=AC，于是P1D=AC，若绿化带建于直线l上任一位置C1D1，则

AC1+BD1=PD1+BD1=P1D1+BD1≥BP1，

且当点D1在线段BP1与直线l的交点时等号成立，从而

AC+BD=P1D+BD=P1B=

例3如图6，在边长为1的正方形ABCD中，点M,N,Q,P分别在边AB,BC,CD,DA上．如果AM=BM，DP=3AP，求MN+NQ+QP的最小值.

图6 图7

分析尽管本题变成了3条线段和的最值问题，但实质还是通过轴对称求最小值．

小结通过上面的例子可以看出，在求线段和的最小值时，往往运用“对称”或“平移”等方法，起到“化折为直”的作用，运用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等几何原理，巧用“和最小模型”以不变应万变，最终形成解决问题的基本策略．

1．2 差最大模型

“差最大模型”和“和最小模型”类似，下面举例说明．

例4如图8，已知点A(1，3),B(5，-2)，试在x轴上找一点P，使|AP-BP|最大，求满足条件的点P的坐标．

图8 图9

分析点A,B在x轴的2侧，线段AP,PB的长度随点P在x轴上位置的改变而改变，在x轴上找不到特殊的位置使得|AP-BP|最大，于是考虑作点B关于x轴的对称点B1，使点A,B1在x轴的同侧，显然

|AP-BP|=|AP-B1P|.

当点A,B1,P构成三角形时,

|AP-BP|=|AP-B1P|

当点P在直线AB1与x轴的交点处P1时(特殊位置)，

|AP-B1P|=AB1,

除了点P1外，另外在x轴上的任意一点都与点A,B1构成三角形.因此当点P在点P1的位置时，|AP-BP|最大．

解如图9，作点B关于x轴的对称点B1，则B1(5,2)，可求得直线的解析式为

令y=0,得x=13，故点P(13,0).

图10 图11

例5如图10，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1.在运动过程中，点D到点O的最大距离为

( )

分析如图11，取AB的中点P，联结PD,PO，在运动过程中，线段PD,PO的长度保持不变，联结DO.不难发现，当点D,O,P构成三角形时，DO

解取AB的中点P，联结PD,PO，则

通过上面的例子我们可以看到，在求“和的最小值”和“差的最大值”时，往往借助某个三角形模型，利用“三角形2边之和大于第3边”或“三角形2边之差小于第3边”得以解决．

2 妙用代数不等式求最值

由于几何最值都是在动点背景下产生的，当运用几何方法较难解决问题时，可以设某条变化的线段长为自变量，结合图形特点，构造函数或方程求最值．

2.1 基本不等式

可以利用如下基本不等式来求最值：

图12

例6如图12，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于点Q，求AP+BQ的最小值．

解设AP=x，由△APD∽△BPQ，得

即

从而

又因为

2.2 构造一元二次方程

可以构造一元二次方程，利用一元二次方程必定有解的代数模型求最值．

例7已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的3条边上，求△ABC直角边长的最大可能值．

分析顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上.当顶点Z在斜边AB上时，取XY的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值;当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.

解(1)如图13，顶点Z在斜边AB上，取XY的中点M，联结CM,ZM,CZ，并作边AB上的高CN，则

图13 图14

(2)如图14，顶点Z在直角边CA(或CB)上，由对称性，不妨设点Z在CA上，设CX=x，CZ=y,并过点Y作YH⊥CA于点H，易证△ZYH≌△XZC，得

HZ=CX=x，HY=CZ=y.

又△AHY为等腰直角三角形，则AH=y，设AC=b，则2y+x=b，即x=b-2y，在Rt△CXZ中，

y2+(b-2y)2=12,

即

5y2-4by+b2-1=0.

因为y为实数，则

Δ=16b2-20(b2-1)=20-4b2≥0，

所以

适当选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识求解，也是求几何最值问题的一种常用的方法．